官利娟

摘 要：數(shù)學(xué)教材中的“閱讀與思考”材料旨在了解數(shù)學(xué)科學(xué)與人類發(fā)展之間的相互作用，尋求數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史軌跡，傳遞數(shù)學(xué)文化育人價(jià)值。筆者以斐波那契數(shù)列的介紹為例，進(jìn)行了“閱讀與思考”材料的教學(xué)探究，挖掘材料的數(shù)學(xué)育人功能。

關(guān)鍵詞：閱讀與思考;問題解決;興趣培養(yǎng);數(shù)學(xué)與美育

在新教材《普通高中教科書人教A版》中仍保留了“閱讀與思考”欄目，并且在必修和選擇性必修教材中共編入25篇閱讀與思考材料。這些材料有的是介紹數(shù)學(xué)史，比如函數(shù)概念的發(fā)展歷程、中外歷史上的方程求解、向量及向量符號(hào)的由來、海倫與秦九韶等;有的是教學(xué)知識(shí)點(diǎn)的拓展，比如集合中元素的個(gè)數(shù)、幾何命題與充分條件和必要條件、代數(shù)基本定理等;有的是學(xué)科交叉知識(shí)的運(yùn)用，比如三角學(xué)與天文學(xué)、畫法幾何與蒙日、振幅、周期、頻率、相位等。

數(shù)學(xué)教材中的“閱讀與思考”材料旨在了解數(shù)學(xué)科學(xué)與人類發(fā)展之間的相互作用，尋求數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史軌跡，傳遞數(shù)學(xué)文化育人價(jià)值。但是“閱讀與思考”欄目的閱讀和教學(xué)，在不少教師心中卻是仍未引起足夠重視的荒野。筆者以斐波那契數(shù)列的介紹為例，進(jìn)行了“閱讀與思考”教學(xué)探究，挖掘材料的數(shù)學(xué)育人功能。斐波那契數(shù)列作為新舊教材中受青睞的探究性閱讀材料，有助于培養(yǎng)學(xué)生閱讀和問題解決能力、激發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣、發(fā)揮數(shù)學(xué)美育功能。

一、探究斐波那契數(shù)列，培養(yǎng)數(shù)學(xué)閱讀和問題解決能力

（一）問題的提出：1202年，斐波那契《算盤全書》中提出了一個(gè)有趣的兔子繁殖問題：假設(shè)一對(duì)初生兔子要一個(gè)月才到成熟期，而一對(duì)成熟兔子每月會(huì)生一對(duì)兔子，那么，由一對(duì)初生兔子開始，12個(gè)月后會(huì)有多少對(duì)兔子呢？

（二）問題的解答：我們對(duì)兔子的繁殖做詳細(xì)分析，很容易知道：第一個(gè)月這對(duì)兔子沒長(zhǎng)大，沒有繁殖能力;第二個(gè)月小兔子長(zhǎng)成大兔子;第三個(gè)月這對(duì)大兔子生下一對(duì)小兔子;第四個(gè)月大兔子繼續(xù)生下一對(duì)小兔子，小兔子長(zhǎng)成大兔子，如圖所示，依次類推。

可以看出每個(gè)月兔子的總對(duì)數(shù)構(gòu)成了一個(gè)數(shù)列，如下表：

（三）數(shù)列的引入：兔子總對(duì)數(shù)所組成的這個(gè)數(shù)列有非常明顯的特征，即從第三項(xiàng)起，每一項(xiàng)都是前面相鄰兩項(xiàng)之和。這個(gè)數(shù)列以兔子繁殖問題而引入，故又稱為“兔子數(shù)列”，指的是數(shù)列：1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144、……，它的遞推公式可以表達(dá)為 。

這個(gè)數(shù)列是意大利中世紀(jì)數(shù)學(xué)家列昂納多·斐波那契在《算盤全書》中首次提出的，為了紀(jì)念該數(shù)學(xué)家，又稱其為斐波那契數(shù)列。斐波那契數(shù)列在歐美可謂是人盡皆知，美國數(shù)學(xué)會(huì)從1963年起出版了以《斐波那契數(shù)列季刊》為名的一份數(shù)學(xué)雜志，用于專門刊載這方面的研究成果。

（四）設(shè)計(jì)意圖：斐波那契在書中提出的兔子繁殖問題與實(shí)際的兔子繁殖情況有出入，是一個(gè)抽象化的數(shù)學(xué)問題。要解決這個(gè)問題，首先需要學(xué)生仔細(xì)閱讀并分析清楚每個(gè)月兔子的生長(zhǎng)情況，進(jìn)而選取樹狀圖和表格的形式發(fā)現(xiàn)規(guī)律、解決問題。學(xué)生在已知的問題情境中，經(jīng)歷分析問題和解決問題的過程，有助于培養(yǎng)其數(shù)學(xué)閱讀和問題解決能力。

二、聯(lián)系生活實(shí)際，激發(fā)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣

（一）大自然中的斐波那契數(shù)：在大自然中，斐波那契數(shù)廣泛地存在著，大到星系和颶風(fēng)，小到細(xì)胞分裂，都有斐波那契數(shù)列的存在。譬如，百合和蝴蝶花的花瓣數(shù)是5;藍(lán)花耬斗菜、金鳳花、飛燕草的花瓣數(shù)是8;翠雀花 花瓣數(shù)是13;金盞和玫瑰的花瓣數(shù)是21;紫宛的花瓣數(shù)是34、55或89。

更為大家所熟知的是向日葵花的斐波那契數(shù)。向日葵的花盤中有兩組螺旋線，一組是按照順時(shí)針方向盤繞，一組是按照逆時(shí)針方向盤繞，兩組螺旋線彼此鑲嵌，雖然向日葵的花盤有大有小，栽培品種也不相同，種子排列的順時(shí)針和逆時(shí)針方向、螺旋線的數(shù)量也不盡相同，但是往往不會(huì)超出34和55，55和89或89和144這三組數(shù)字，其中前一個(gè)數(shù)字是順時(shí)針方向盤繞的線數(shù)，后一個(gè)數(shù)字是逆時(shí)針方向盤繞的線數(shù)。而這三組數(shù)據(jù)的每組數(shù)據(jù)都是斐波那契數(shù)列中相鄰的兩個(gè)數(shù)。

不止向日葵懂得斐波那契數(shù)列，雛菊的花盤也有類似的數(shù)學(xué)模式，科學(xué)家們?cè)谥参锏娜~、枝、莖等排列中也發(fā)現(xiàn)了斐波那契數(shù)。植物的這些數(shù)學(xué)特征都是它們?cè)诖笞匀恢虚L(zhǎng)期適應(yīng)和進(jìn)化的結(jié)果，這已經(jīng)成了植物生長(zhǎng)發(fā)育的優(yōu)化方式。

（二）設(shè)計(jì)意圖：教師通過例舉大自然中的斐波那契數(shù)，引導(dǎo)學(xué)生觀察生活和自然，體會(huì)數(shù)學(xué)與自然的聯(lián)系，進(jìn)一步激發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣。

三、探究數(shù)列規(guī)律，發(fā)揮數(shù)學(xué)美育功能

（一）斐波那契數(shù)列與黃金分割：我們知道黃金分割是一種最能引起美感的分割比例。如果將一條線段分割為兩部分，使較大部分與全長(zhǎng)的比值等于較小部分與較大的比值，則這個(gè)比值就是黃金分割。

如圖所示，若C為AB的黃金分割點(diǎn)，則有AC/AB=BC/AC。設(shè)AB的長(zhǎng)為1，AC長(zhǎng)為，則有，可解得。因此黃金分割的比值是，約等于0.618。

我們?cè)賮砜匆唤M數(shù)據(jù)：

不難發(fā)現(xiàn)，斐波那契數(shù)列中的前一項(xiàng)與后一項(xiàng)的比值越來越逼近黃金分割0.618。因此，斐波那契數(shù)列又被稱為黃金數(shù)列。

“黃金分割”在人體結(jié)構(gòu)、建筑物、國旗、繪畫、優(yōu)選法等體現(xiàn)美的共性上有很多的應(yīng)用。譬如，完美人體的頭頂?shù)蕉悄毜木嚯x/肚臍到腳底的距離=0.618;最協(xié)調(diào)的臉龐的眉毛到脖子的距離/頭頂?shù)讲弊拥木嚯x=0.618;生活中拍照時(shí)，人物位于相框的黃金分割點(diǎn)處的位置時(shí)看起來最美觀。

（二）斐波那契螺旋：如果我們將斐波那契數(shù)為邊的正方形拼成一個(gè)長(zhǎng)方形，在其中每一個(gè)正方形中畫一個(gè)90度的扇形，連接起來的弧線，稱之為斐波那契螺旋線。由前面的計(jì)算，我們知道斐波那契螺旋中兩個(gè)相鄰正方形邊長(zhǎng)之比都接近黃金分割。因此，斐波那契螺旋堪稱是自然界最完美的經(jīng)典黃金比例。

斐波那契螺旋線在自然界中大量存在，譬如苗木生長(zhǎng)、向日葵種子排列規(guī)律和動(dòng)物繁殖等都與斐波那契螺旋相關(guān)。此外，其在建筑、藝術(shù)、攝影、影視作品中也被廣泛地使用，在斷臂維納斯、蒙娜麗莎等經(jīng)典畫作中都能找出斐波那契螺旋線。

（三）設(shè)計(jì)意圖：亞里士多德曾經(jīng)講到：“雖然數(shù)學(xué)沒有明顯地提到善和美，但善和美也不能和數(shù)學(xué)完全分離。因?yàn)槊赖闹饕问郊沂恰爸刃?、勻稱和確定性”，這些正是數(shù)學(xué)研究的原則?！膘巢瞧趼菪鳛樽匀唤缱钔昝赖慕?jīng)典黃金比例，其體現(xiàn)出數(shù)學(xué)的和諧、科學(xué)、規(guī)律之美是進(jìn)行美育教育的良好載體。我們應(yīng)當(dāng)抓住這個(gè)載體，充分發(fā)揮數(shù)學(xué)的美育功能，通過斐波那契數(shù)的規(guī)律探究，結(jié)合經(jīng)典著作的分析，促使學(xué)生對(duì)美的感受能夠從感性走向理性。

“閱讀與思考”作為教材中的對(duì)相關(guān)主干知識(shí)的補(bǔ)充，既可以單獨(dú)研讀，也可與主干知識(shí)融合，滲透其育人價(jià)值。對(duì)于數(shù)學(xué)史知識(shí)和數(shù)學(xué)家的介紹，可滲透數(shù)學(xué)文化，發(fā)揮數(shù)學(xué)文化育人價(jià)值，例如函數(shù)概念的發(fā)展歷程、笛卡爾與解析幾何等;對(duì)于有探究性質(zhì)的材料，可作為提升學(xué)生閱讀能力、思維能力、問題解決能力、數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣的載體，例如斐波那契數(shù)列、中國古代數(shù)學(xué)家求數(shù)列和的方法;對(duì)于學(xué)科交叉知識(shí)，可作為學(xué)生跨學(xué)科融合學(xué)習(xí)的教育載體。雖然課標(biāo)對(duì)“閱讀與思考”沒有具體要求，但是如果我們認(rèn)真研磨、仔細(xì)解讀，在教學(xué)中充分發(fā)揮其科學(xué)價(jià)值、人文價(jià)值、應(yīng)用價(jià)值和美育價(jià)值，定會(huì)給課堂帶來生機(jī)，讓整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程更加完整。

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