王曉晨

遼寧鐵道職業(yè)技術(shù)學(xué)院

導(dǎo)數(shù)是《高等數(shù)學(xué)》課程的重要教學(xué)內(nèi)容，學(xué)生學(xué)習(xí)過(guò)程中雖然能夠通過(guò)練習(xí)達(dá)到一般的解決計(jì)算問(wèn)題的能力，但往往在本質(zhì)理解與實(shí)際應(yīng)用的聯(lián)系中缺乏一定的邏輯認(rèn)識(shí)。因此，關(guān)于導(dǎo)數(shù)內(nèi)容的教學(xué)，可以通過(guò)典型的數(shù)形結(jié)合、數(shù)學(xué)建模、軟件繪圖等專業(yè)方面加以深度挖掘，同時(shí)融入課程思政元素，例如勞動(dòng)教育、辯證統(tǒng)一規(guī)律、量變質(zhì)變規(guī)律等。就導(dǎo)數(shù)的幾何意義、函數(shù)單調(diào)性的判定、函數(shù)最值的應(yīng)用、曲線凹凸性的判定這四個(gè)導(dǎo)數(shù)應(yīng)用內(nèi)容進(jìn)行案例教學(xué)設(shè)計(jì)，從專業(yè)學(xué)習(xí)、課程思政育人、教學(xué)創(chuàng)新應(yīng)用等角度加以分析，助力教學(xué)過(guò)程更好地開(kāi)展。

一、曲線的切線

（一）案例：設(shè)函數(shù)f(x)=x2-1，求該函數(shù)在點(diǎn)(2,3)處的切線方程。

【知識(shí)點(diǎn)分析】

導(dǎo)數(shù)的幾何意義，點(diǎn)斜式直線方程公式。

【答案解析】

解：求導(dǎo)得，f'(x)=2x

由導(dǎo)數(shù)的幾何意義知：

函數(shù)在點(diǎn)(2,3)處的切線斜率得，k= 2x|x=2=4

則代入點(diǎn)斜式直線方程公式，整理得，切線方程為：

（二）課程思政切入點(diǎn)探析

本案例屬于導(dǎo)數(shù)幾何意義的理解及應(yīng)用，要求學(xué)生具備求導(dǎo)計(jì)算的能力，通過(guò)這類曲線的切線方程的類型題，注重培養(yǎng)學(xué)生理論聯(lián)系實(shí)際的能力，同時(shí)要掌握的關(guān)鍵點(diǎn)是：當(dāng)所求題目當(dāng)中的點(diǎn)是函數(shù)圖像上面的點(diǎn)時(shí)，才滿足該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)為切線斜率。

（三）教學(xué)技能創(chuàng)新導(dǎo)入點(diǎn)

為了增強(qiáng)學(xué)生的勞動(dòng)精神，可以讓學(xué)生課后自主研究如何使用數(shù)學(xué)軟件《MATLAB》繪制出函數(shù)的圖像以及切線圖像，通過(guò)小組合作的方式，可以舉一反三，編輯相似題目進(jìn)行習(xí)題練習(xí)，對(duì)于簡(jiǎn)單函數(shù)的圖像，可以在紙上進(jìn)行描繪，體現(xiàn)了美育教育與勞動(dòng)教育相結(jié)合的作用。

（四）課外探究與提升

求曲線y=x2在點(diǎn)(1,1)處的切線方程和法線方程。

提示：平面內(nèi)切線與法線的斜率關(guān)系。

二、函數(shù)的單調(diào)性與極值

（一）案例：求函數(shù)y=ex2的單調(diào)性和極值。

【知識(shí)點(diǎn)分析】

復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)問(wèn)題，函數(shù)單調(diào)性的判定條件，函數(shù)極值的求解步驟。

【答案解析】

解：函數(shù)y=ex2的定義域?yàn)椋?-∞,+∞)

計(jì)算復(fù)合函數(shù)y=ex2的導(dǎo)數(shù)得，y'=2xex2

令y'=0，解得駐點(diǎn)x=0

由于ex2＞0，則令y'＞0，解得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間：(0,+∞)

令y'＜0，解得函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間：(-∞,0)

且x=0是函數(shù)的極小值點(diǎn)，極小值是f(0)=1

函數(shù)y=ex2無(wú)極大值。

（二）課程思政切入點(diǎn)探析

本案例屬于導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用（即利用函數(shù)導(dǎo)數(shù)的符號(hào)關(guān)系來(lái)判定原函數(shù)的單調(diào)性的問(wèn)題），要求學(xué)生掌握定理的本質(zhì)，同時(shí)具備抽象的數(shù)學(xué)理解分析能力，明確事物間的邏輯關(guān)系，培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立思考、探索鉆研的科學(xué)精神。

（三）教學(xué)技能創(chuàng)新導(dǎo)入點(diǎn)

通過(guò)介紹“天問(wèn)一號(hào)”火星探測(cè)器升空發(fā)射飛向火星過(guò)程中的軌道運(yùn)行情況，讓學(xué)生了解我國(guó)航空航天事業(yè)的領(lǐng)先科學(xué)技術(shù)進(jìn)一步增強(qiáng)愛(ài)國(guó)情懷和文化自信，并且引導(dǎo)學(xué)生計(jì)算出平面內(nèi)曲線軌道函數(shù)的單調(diào)性與極值的問(wèn)題。

（四）課外探究與提升

求函數(shù)y=2x3-3x2-12x+2的單調(diào)區(qū)間與極值。

三、函數(shù)最值的應(yīng)用

（一）案例1：用一塊邊長(zhǎng)為60厘米的正方形鐵皮，按照將四角分別截去面積相等的小正方形，然后折成一個(gè)無(wú)蓋的鐵盒，請(qǐng)問(wèn)：當(dāng)截去的小正方形的邊長(zhǎng)為何值時(shí)，所得到的鐵盒的容積為最大？

【知識(shí)點(diǎn)分析】

求函數(shù)的最大值，數(shù)學(xué)建模構(gòu)造函數(shù)式，柱體的體積公式。

【答案解析】

解：設(shè)截去的小正方形的邊長(zhǎng)為x厘米，則折成的無(wú)蓋鐵盒的體積為V立方厘米。根據(jù)題意分析可知，該鐵盒的底面正方形邊長(zhǎng)為(60-2x)厘米，高為x厘米，因此根據(jù)柱體的體積公式可得：

求導(dǎo)整理得：

令V'=0，解得唯一駐點(diǎn)：x=10

因此，當(dāng)x=10時(shí)，函數(shù)取得最大值：V(10)=16000(cm3)=0.016(m3)

答：當(dāng)截去的小正方形的邊長(zhǎng)為10厘米時(shí)，所得到的鐵盒的容積最大，最大容積為0.016立方米。

注意：實(shí)際問(wèn)題當(dāng)中，可以靈活運(yùn)用單位間的換算關(guān)系，便于使結(jié)果簡(jiǎn)化。

（二）案例2：要用鐵皮做一個(gè)容積為16πm3的帶蓋圓柱形桶，問(wèn)圓桶的底半徑為何值時(shí)用料最??？

【知識(shí)點(diǎn)分析】

求函數(shù)的最小值，數(shù)學(xué)建模構(gòu)造函數(shù)式，柱體的表面積公式。

【答案解析】

解：設(shè)所做圓桶的底面半徑為r，表面積為S，高為h，容積為V。

根據(jù)題意，V=πr2h=16π，則得

圓桶用料即圓桶的表面積（上下兩個(gè)底圓面積與側(cè)面積之和）：

因此，當(dāng)?shù)酌姘霃綖? m時(shí)，圓柱體的表面積最小。

答：當(dāng)圓桶的底面半徑為2 m時(shí)用料最省，此時(shí)圓桶的高為4 m，最省用料為24π m2。

（三）課程思政切入點(diǎn)探析

這兩個(gè)案例涉及數(shù)學(xué)建模的應(yīng)用意識(shí)，需要學(xué)生具備理解題目、分析題意、轉(zhuǎn)化數(shù)學(xué)問(wèn)題的綜合應(yīng)用能力，在思考問(wèn)題過(guò)程中，體現(xiàn)了學(xué)習(xí)由淺入深、化繁為簡(jiǎn)的對(duì)立統(tǒng)一規(guī)律，強(qiáng)化學(xué)生邏輯抽象思維能力及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用計(jì)算能力。

（四）教學(xué)技能創(chuàng)新導(dǎo)入點(diǎn)

讓學(xué)生以小組合作學(xué)習(xí)的方式，對(duì)這兩個(gè)案例進(jìn)行討論式學(xué)習(xí)，指引學(xué)生可以通過(guò)動(dòng)手畫(huà)圖的方式分析問(wèn)題，也可以制作紙板模型直接觀察理解，課后可以思考使用計(jì)算機(jī)編程進(jìn)行函數(shù)最值的求解，通過(guò)這種創(chuàng)新的學(xué)習(xí)方式，啟發(fā)學(xué)生思考的興趣和主動(dòng)學(xué)習(xí)的意識(shí)。

（五）課外探究與提升

想要制作一定容量的正圓錐形容器，容器的高與底面半徑比例如何，所需材料最少？

提示：圓錐體體積公式，圓錐體表面積公式。

四、曲線的凹凸性與拐點(diǎn)

（一）案例：求曲線f(x)=x^4-2x^3+x+1的凹凸性和拐點(diǎn)。

【知識(shí)點(diǎn)分析】

計(jì)算二階導(dǎo)數(shù)，求導(dǎo)法則，曲線凹凸性的判定條件，曲線拐點(diǎn)的計(jì)算方法，一元二次不等式的解法。

【答案解析】

解：函數(shù)f(x)=x4-2x3+x+1的定義域?yàn)椋?-∞,+∞)

求導(dǎo)得：f'(x)=4x3-6x2+1

求二階導(dǎo)數(shù)得：f'' (x)=12x2-12x=12x(x-1)

令f'' (x)＞0，得曲線的凹區(qū)間是(-∞,0)和(1,+∞)

令f'' (x)＜0，得曲線的凸區(qū)間是(0,1)

令f'' (x)=0，解得x=0或x=1

根據(jù)拐點(diǎn)的定義，可知曲線有兩個(gè)拐點(diǎn)：點(diǎn)(0,1)和點(diǎn)(1,1)。

注意：計(jì)算中每步都需要檢查，尤其注意根據(jù)二階導(dǎo)數(shù)符號(hào)來(lái)判定原函數(shù)的凹凸性。

（二）課程思政切入點(diǎn)探析

曲線的凹凸性根據(jù)文字的音譯與象形的關(guān)系非常直觀易于理解，對(duì)于定理的學(xué)習(xí)同樣可以聯(lián)想“凹凸”圖像的方式加以生動(dòng)傳神的理解記憶。對(duì)比凹凸性，可以升華為學(xué)習(xí)之路有如逆水行舟不進(jìn)則退，求學(xué)攀登之路雖為艱難險(xiǎn)阻，確是無(wú)限風(fēng)光在險(xiǎn)峰，但切忌驕傲自滿，要不斷學(xué)習(xí)。

（三）教學(xué)技能創(chuàng)新導(dǎo)入點(diǎn)

小組任務(wù)項(xiàng)目單：完成曲線圖像的繪制。要求學(xué)生進(jìn)行團(tuán)隊(duì)合作分工，任務(wù)一是完成項(xiàng)目分工明細(xì)責(zé)任清單（即注明任務(wù)的工作分解與責(zé)任人），任務(wù)二是具體完成人的工作任務(wù)詳細(xì)表（即具體的計(jì)算過(guò)程），任務(wù)三是選派小組代表進(jìn)行項(xiàng)目完成的總結(jié)匯報(bào)（即任務(wù)完成情況的總結(jié)）。通過(guò)具體任務(wù)的解決，鍛煉了學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力，同時(shí)也增加了小組團(tuán)隊(duì)合作的互助精神，提升了學(xué)生的交流溝通表達(dá)能力。

（四）課外探究與提升

求曲線y=xe^2x的凹凸區(qū)間與拐點(diǎn)。

高職院校的《高等數(shù)學(xué)》課程的教學(xué)改革應(yīng)與課程思政同向同行，體現(xiàn)專業(yè)與道德品質(zhì)的雙育人模式，通過(guò)數(shù)學(xué)史的案例導(dǎo)入、數(shù)學(xué)建模意識(shí)的案例融入、數(shù)學(xué)軟件的案例創(chuàng)新等形式，讓學(xué)生增添了學(xué)習(xí)的興趣、樂(lè)趣、積極性、主動(dòng)性，充分體驗(yàn)到數(shù)學(xué)之史、數(shù)學(xué)之美、數(shù)學(xué)之思，對(duì)于教師而言，在教學(xué)研究過(guò)程當(dāng)中，也是收貨頗豐，有助于深入挖掘知識(shí)點(diǎn)中所蘊(yùn)含的本質(zhì)原理，從而實(shí)現(xiàn)教研與科研的雙向互動(dòng)提升，對(duì)于基礎(chǔ)學(xué)科的知識(shí)體系要不斷鉆研，求真務(wù)實(shí)，給學(xué)生樹(shù)立正確的科學(xué)技術(shù)攀登精神，讓學(xué)生懂得科技創(chuàng)新的重要性，堅(jiān)定學(xué)生刻苦學(xué)習(xí)的意志品質(zhì)。