解題教學(xué)應(yīng)注重問題的一般化拓展
——以一道解析幾何題為例

劉海濤 (安徽省蕪湖市第一中學(xué) 241006)

何浩成 (廣東省信宜市信宜中學(xué) 525300)

1 試題呈現(xiàn)

題目 已知拋物線C：y2=2px(p>0)的焦點為F，準(zhǔn)線l交x軸于點K，過點F作傾斜角為α的直線與C交于A,B兩點，若∠AKB=60°，則sinα=

分析 該題形式上為一道以拋物線為背景的解析幾何小題，雖結(jié)構(gòu)簡單，但內(nèi)涵豐富、綜合性強、解法靈活，主要考查了拋物線的簡單幾何性質(zhì)、直線與拋物線的位置關(guān)系、三角形的平面幾何性質(zhì)等知識，強化了學(xué)生分析問題、解決問題的能力及轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想，體現(xiàn)了邏輯推理、數(shù)學(xué)運算、直觀想象等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

2 解法探究

評注該法屬于解析幾何的常規(guī)通法，通過聯(lián)立直線與曲線方程得到一元二次方程，接著利用韋達定理解題，體現(xiàn)“設(shè)而不求”的解析幾何思想，另外利用向量處理角度問題，體現(xiàn)了向量是幾何與代數(shù)的“橋梁”的屬性，但是該題有點“小題大做”的感覺，計算量大.

圖1

評注該法是對解法2的優(yōu)化，發(fā)現(xiàn)直線KA,KB關(guān)于x軸對稱這一幾何特征，進一步簡化解題過程，減少計算，解得簡潔明了，體現(xiàn)了“多思少算”的解題策略，給人耳目一新的感覺.

第Ⅱ類的6家研究機構(gòu)名稱及其門戶網(wǎng)站名稱見表2。顯然，從直觀的角度來看，門戶網(wǎng)站名稱和研究機構(gòu)名稱的不一致容易引起受眾的混淆，不易使其留下印象。

圖2

基于此，我們總結(jié)得如下結(jié)論：

3 一般化拓展

數(shù)學(xué)家波利亞曾說：“解題就像采蘑菇一樣，當(dāng)我們發(fā)現(xiàn)一個蘑菇時，它的周圍可能有一個蘑菇圈.”基于結(jié)論1，筆者有如下拓展：

結(jié)論2已知拋物線y2=2px(p>0)，點P(-m,0)，Q(m,0)(m≠0)，過點P的直線(不與坐標(biāo)軸垂直)交拋物線于M,A兩點，直線MQ,AQ與拋物線的另一交點分別為N,B.①P,B,N三點共線;②直線PA,PB關(guān)于x軸對稱;③直線MN,AB關(guān)于x軸對稱.以①②③中任意兩個為條件可以推出余下一個.

下面給出由①②推出③的證明過程，另兩種情況類似可得.

證明直線PA,PB關(guān)于x軸對稱，又拋物線y2=2px也關(guān)于x軸對稱，故點M與B、點N與A關(guān)于x軸對稱，易知直線MN,AB關(guān)于x軸對稱.

圖3 圖4

圓錐曲線不限于拋物線，還有橢圓和雙曲線，基于上述研究，筆者借助幾何畫板探究橢圓與雙曲線，發(fā)現(xiàn)也有類似上述結(jié)論.

說明結(jié)論3的證明參照結(jié)論2.當(dāng)|m|>a時，結(jié)論3如圖5和6所示；當(dāng)|n|>a時，結(jié)論3如圖7和8所示.

圖5 圖6

圖7 圖8

說明結(jié)論4的證明參照結(jié)論2.我們知道橢圓與圓之間可以由伸縮變換得到[1]，令a2=b2，即得以坐標(biāo)原點為圓心、a為半徑的圓，所以結(jié)論3與4在圓中也成立.

說明結(jié)論5的證明參照結(jié)論2.當(dāng)|m|>a時，結(jié)論5如圖9和10所示；當(dāng)|n|>a時，結(jié)論5如圖11和12所示.

圖9 圖10

圖11 圖12

說明結(jié)論6的證明參照結(jié)論2.結(jié)論6如圖13所示.

圖13

4 歸納總結(jié)

筆者在文[3]中介紹了極點與極線的知識，不難發(fā)現(xiàn)點Q為點P對應(yīng)的極線與坐標(biāo)軸的交點，點P為點Q對應(yīng)的極線與坐標(biāo)軸的交點，即“伴侶點”中的一點為另一點對應(yīng)的極線與伴侶點所在坐標(biāo)軸的交點，于是得到如下結(jié)論：

結(jié)論8已知P,Q兩點為曲線(橢圓、雙曲線、拋物線、圓)的一對“伴侶點”，過點P的直線(不與坐標(biāo)軸垂直)交曲線于M,A兩點，直線MQ,AQ與雙曲線的另一交點分別為N,B.①P,B,N三點共線;②直線PA,PB關(guān)于x(或y)軸對稱;③直線MN,AB關(guān)于x(或y)軸對稱.以①②③中任意兩個為條件可以推出余下一個.