對(duì)一道函數(shù)試題的質(zhì)疑

李瑞華 (江蘇省南京市六合區(qū)程橋高級(jí)中學(xué) 211504)

王安寓 (江蘇省南京市六合區(qū)實(shí)驗(yàn)高級(jí)中學(xué) 211500)

臨近高一上學(xué)期期末，高一年級(jí)數(shù)學(xué)組組織教師編撰了3套高一數(shù)學(xué)上學(xué)期期末模擬試卷，其中選了一道高難度的函數(shù)恒成立問(wèn)題(題目1)作為第3套試卷的壓軸題，同時(shí)，題目1也是2018—2019年度南京市高一上學(xué)期期末統(tǒng)考試題的第20題(試卷壓軸題)．筆者在獨(dú)立解答時(shí)發(fā)現(xiàn)，題目1存在瑕疵．下面，筆者將對(duì)題目1的疑惑整理成文，與讀者交流．

1 題目呈現(xiàn)，簡(jiǎn)要分析

題目1(2018—2019南京高一上期末試卷)給定區(qū)間I，集合M是滿足下列性質(zhì)的函數(shù)f(x)的集合：任意x∈I，f(x+1)>2f(x)．

(1)已知I=R，f(x)=3x，求證：f(x)∈M；

(2)已知I=(0,1]，g(x)=a+log2x，設(shè)g(x)∈M，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

(3)已知I=[-1,1]，h(x)=x2+ax+a-5(a∈R)，討論h(x)與集合M的關(guān)系．

標(biāo)準(zhǔn)答案 (1)f(x+1)-2f(x)=3x+1-2×3x=3x>0，故f(x+1)>2f(x)，從而f(x)∈M．

(3)若h(x)∈M，則當(dāng)x∈[-1,1]時(shí)，h(x+1)>2h(x)恒成立，即-(x+1)2+a(x+1)+a-5>2(-x2+ax+a-5)恒成立，即x2-ax-2x+4>0恒成立．記H(x)=x2-ax-2x+4，x∈[-1,1]．

綜上，-7

所以，當(dāng)-73時(shí)h(x)?M．

第(1)問(wèn)的求解是正確的．由于f(x)=3x的定義域是R，所以f(x+1)的定義域也是R，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為對(duì)任意的實(shí)數(shù)x，f(x+1)>2f(x)恒成立，用比較中的最基本方法——作差法求解即可(標(biāo)準(zhǔn)答案中正是如此求解)．

第(2)(3)問(wèn)的求解，筆者認(rèn)為是存在瑕疵的．先從形的角度對(duì)第(2)問(wèn)作簡(jiǎn)要分析．

作出y=g(x),y=g(x+1),y=2g(x)的圖象，我們從圖象上觀察，研究y=g(x+1)與y=2g(x)的函數(shù)值的大小關(guān)系．

對(duì)于不等式g(x+1)>2g(x)，有兩種不同的思考切入點(diǎn)．①g(x+1)與2g(x)中的x不是同一個(gè)x，二者互不相干，即它們是兩個(gè)自由的變量；②g(x+1)與2g(x)中的x是同一個(gè)x．

先看思考切入點(diǎn)①．g(x+1)與2g(x)中的x不是同一個(gè)x，兩個(gè)x是自由的量，沒有關(guān)系，那么g(x+1)>2g(x)，就相當(dāng)于g(x1+1)>2g(x2)對(duì)任意的x1,x2∈(0,1]都成立．由恒成立的知識(shí)知g(x1+1)min>2g(x2)max，反映到圖象上，y=g(x+1)的圖象的所有點(diǎn)都在y=2g(x)的圖象的上方．我們知道，y=g(x+1)的圖象是由y=g(x)的圖象向左平移一個(gè)單位而得到，y=2g(x)的圖象是由y=g(x)的圖象上各點(diǎn)橫坐標(biāo)不變、縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍而得到．左右平移時(shí)，不改變函數(shù)的值域——y值不變，因此，y=g(x+1)的值域與y=g(x)的值域相同．沿y軸伸縮會(huì)影響函數(shù)值域，因此，y=2g(x)的值域是y=g(x)的值域的2倍．

當(dāng)a=0時(shí)(圖1)，y=g(x+1)的值域與y=2g(x)的值域相同，那么g(x+1)>2g(x)恒成立是錯(cuò)誤的；

當(dāng)a<0時(shí)(圖2)，y=2g(x)的值域y=g(x+1)的值域，那么g(x+1)>2g(x)恒成立是錯(cuò)誤的；

當(dāng)02g(x)恒成立是錯(cuò)誤的．

綜上，當(dāng)a<1時(shí)g(x+1)>2g(x)是不能恒成立的．

圖1 圖2

圖3 圖4

讀者會(huì)說(shuō)，在一個(gè)式子中，相同的字母含義是相同的，即應(yīng)該是思考切入點(diǎn)②：g(x+1)與2g(x)中的x是同一個(gè)x．眾所周知，g(x)>f(x)對(duì)x∈I恒成立，反映到圖象上，就是對(duì)任意的x∈I，函數(shù)y=g(x)的圖象在函數(shù)y=f(x)的圖象上方．任意的x∈I，g(x)>f(x)，即任意的x0∈I，當(dāng)x=x0∈I時(shí)，g(x0)>f(x0)．反映到圖象上，就是直線x=x0與y=g(x)的圖象交于點(diǎn)P(x0,g(x0))，直線x=x0與y=f(x)的圖象交于點(diǎn)Q(x0,f(x0))，則點(diǎn)P在點(diǎn)Q上方．

我們來(lái)看第(2)問(wèn)中兩個(gè)函數(shù)y=g(x+1),y=2g(x)的圖象，以a=0的圖象為代表(圖4，另兩類可一樣操作)，作出直線x=x0(x0∈(0,1))，我們直觀地看到，直線x=x0與y=g(x+1)的圖象沒有交點(diǎn)，與y=2g(x)的圖象有一個(gè)交點(diǎn)；沒有交點(diǎn)和有一個(gè)交點(diǎn)，如何比較交點(diǎn)位置？

由此可以看出，兩種思考切入點(diǎn)都是存在問(wèn)題的，從而第(2)問(wèn)的解答是存在瑕疵的．那么是題目錯(cuò)了，還是解答過(guò)程出錯(cuò)了？還有別的解法嗎？還有新的思考切入點(diǎn)嗎？

命題人的意圖是好的，想考查學(xué)生應(yīng)用分離參數(shù)法解決恒成立問(wèn)題，想考查重要的對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)、對(duì)數(shù)運(yùn)算(從標(biāo)準(zhǔn)答案也能看出)，但是標(biāo)準(zhǔn)答案是錯(cuò)誤的，或者說(shuō)是有瑕疵的．為找到錯(cuò)誤的根源，我們?cè)賮?lái)回顧以下幾道題目．

2 類題再現(xiàn)，尋根求源

與題目1的第(2)(3)問(wèn)一樣要注意函數(shù)定義域的題目有很多．舉例如下：

題目2已知函數(shù)f(x)=log3x,x∈[1,9]，求函數(shù)y=[f(x)]2+f(x2)的最大值．

題目3函數(shù)y=lg(x2-2x-3)的單調(diào)遞增區(qū)間是( )．

A．(-∞,1) B．(-∞,-1)

C．(1,+∞) D．(3,+∞)

簡(jiǎn)解 由x2-2x-3>0得x<-1或x>3，故函數(shù)y的定義域是{x|x<-1或x>3}．因?yàn)閡=x2-2x-3在x<1時(shí)遞減，在x>3時(shí)遞增，y=lgu在u>0時(shí)遞增，且當(dāng)x<-1或x>3時(shí)u>0，所以y=lg(x2-2x-3)的單調(diào)遞減區(qū)間是(-∞,-1)，單調(diào)遞增區(qū)間是(3,+∞)，故選D．

評(píng)注在求解題目3時(shí)，有部分學(xué)生錯(cuò)選了C．造成錯(cuò)選的原因很簡(jiǎn)單——學(xué)生忘記在函數(shù)定義域內(nèi)研究函數(shù)的單調(diào)性．這種錯(cuò)誤，每位教師上課時(shí)都會(huì)強(qiáng)調(diào)，且不只一次地強(qiáng)調(diào)．但是輪到考試，總會(huì)有學(xué)生錯(cuò)選．而遇到更隱秘的函數(shù)問(wèn)題時(shí)，甚至部分教師也將函數(shù)定義域“束之高閣”．如題目1的第(2)(3)問(wèn)．也就是說(shuō)，筆者認(rèn)為，題目1第(2)(3)問(wèn)是遺忘了研究使式子有意義的x的范圍．

題目4不等式ln(x2-1)>ln(1-x)的解集為．

簡(jiǎn)解 原不等式等價(jià)于x2-1>1-x>0，解得x<-2．故原不等式的解集為(-∞,-2)．

評(píng)注解不等式時(shí)首先要保證不等式中各式子有意義(即存在)，然后再解不等式．題目4還可以改變?cè)囶}的呈現(xiàn)方式，得題目5．

題目5已知函數(shù)f(x)=lnx，則不等式f(x2-1)>f(1-x)的解集為．

簡(jiǎn)解 易知函數(shù)f(x)在定義域(0,+∞)上單調(diào)遞增，故原不等式可化為x2-1>1-x>0，解之得x<-2，故原不等式的解集為{x|x<-2}．

評(píng)注求解題目5時(shí)，保證不等式中各式子都有意義，再應(yīng)用函數(shù)單調(diào)性去掉法則f，轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的一元一次、一元二次不等式組求解．如同 題目2～題目4一樣，極易忽視函數(shù)定義域．

我們將題目5中的函數(shù)解析式隱去，用抽象函數(shù)命制，得到題目6．

題目6已知定義在區(qū)間(-1,1)上的奇函數(shù)f(x)在[0,1)上單調(diào)遞減，則不等式f(m-1)+f(m2-1)>0的解集為．

評(píng)注無(wú)論是抽象函數(shù)不等式還是顯性函數(shù)不等式，求解時(shí)都必須保證不等式中各式子有意義．無(wú)論是函數(shù)值域單調(diào)性還是解函數(shù)不等式，都離不開函數(shù)的定義域．

由題目2～題目6，我們應(yīng)能想到題目1的第(2)(3)問(wèn)的求解的瑕疵所在——沒有考慮式子f(x+1)>2f(x)中各部分有意義，即x+1和x都得屬于I．

3 對(duì)題目1第(2)(3)問(wèn)的修改

題目7給定區(qū)間I，集合M是滿足下列性質(zhì)的函數(shù)f(x)的集合：任意x∈I，f(x+1)>2f(x)．

(1)已知I=R，f(x)=3x，求證：f(x)∈M；

(2)已知I=(0,2]，g(x)=a+log2x，設(shè)g(x)∈M，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

對(duì)題目1第(3)問(wèn)的解答做修改(題目不變)：

綜上，a>-7．

所以，當(dāng)a>-7時(shí)h(x)∈M；當(dāng)a≤-7時(shí)h(x)?M．

由對(duì)題目1第(2)(3)問(wèn)的質(zhì)疑，我們?cè)俅胃惺艿胶瘮?shù)定義域的重要性．在求解函數(shù)問(wèn)題時(shí)，一定要記得先求函數(shù)的定義域，特別是以復(fù)合函數(shù)形式出現(xiàn)的題目．