顧予恒 周艷 王紅權(quán)

摘? 要：數(shù)學(xué)建模活動(dòng)是基于數(shù)學(xué)思維、運(yùn)用模型解決實(shí)際問題的一類綜合實(shí)踐活動(dòng)，也是高中階段數(shù)學(xué)課程的重要內(nèi)容之一. 如何通過有效的數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)讓數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)落地，是當(dāng)前中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)研究的一個(gè)重要方向. 文章以“體重與脈搏”教學(xué)為例，師生共同親歷發(fā)現(xiàn)問題、收集數(shù)據(jù)、建立模型、計(jì)算求解、檢驗(yàn)?zāi)Ｐ?、解決問題等環(huán)節(jié)，展示中學(xué)數(shù)學(xué)建模的完整過程.

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)建模;核心素養(yǎng);體重與脈搏

眾所周知，數(shù)學(xué)建模是數(shù)學(xué)學(xué)科六大核心素養(yǎng)之一.《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》（以下簡(jiǎn)稱《標(biāo)準(zhǔn)》）對(duì)數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的描述為：數(shù)學(xué)建模是對(duì)現(xiàn)實(shí)問題進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象，用數(shù)學(xué)語言表達(dá)問題、用數(shù)學(xué)方法構(gòu)建模型解決問題的素養(yǎng). 它搭建了數(shù)學(xué)與外部世界聯(lián)系的橋梁，是數(shù)學(xué)應(yīng)用的重要形式.

數(shù)學(xué)建模課的教學(xué)設(shè)計(jì)需要引導(dǎo)學(xué)生面對(duì)現(xiàn)實(shí)問題，經(jīng)歷完整過程，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，檢驗(yàn)改進(jìn)模型. 通過數(shù)學(xué)建模的學(xué)習(xí)，學(xué)生能有意識(shí)地用數(shù)學(xué)語言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界，發(fā)現(xiàn)問題和提出問題，感悟數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)之間的關(guān)聯(lián)，學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問題，積累數(shù)學(xué)實(shí)踐的經(jīng)驗(yàn)，從而最終實(shí)現(xiàn)發(fā)展學(xué)生的“四能”、達(dá)到“三會(huì)”的目的.

數(shù)學(xué)建模課程在大學(xué)階段比較普遍，高中階段還未廣泛、深入地開展. 隨著《標(biāo)準(zhǔn)》的實(shí)施和新教材的啟用，必修課程與選修課程中都加入了數(shù)學(xué)建模課的課時(shí)安排. 那么，究竟該怎樣開展數(shù)學(xué)建模教學(xué)，如何讓數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)在課堂中落地呢？筆者有幸參加了2019年浙江省杭州市高中數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課評(píng)比活動(dòng)，課題內(nèi)容是《標(biāo)準(zhǔn)》中的案例28：體重與脈搏. 這是一個(gè)與數(shù)學(xué)建模相關(guān)的案例，筆者借此展開了一次數(shù)學(xué)建模課的全新嘗試.

一、內(nèi)容與內(nèi)容解析

1. 內(nèi)容

本節(jié)課選自《標(biāo)準(zhǔn)》案例28，結(jié)合體重與脈搏的實(shí)例，經(jīng)歷用函數(shù)建立數(shù)學(xué)模型—解釋生物現(xiàn)象—解決實(shí)際問題的基本過程.

2. 內(nèi)容解析

函數(shù)模型是描述客觀世界中變量關(guān)系及規(guī)律的重要數(shù)學(xué)語言和工具. 結(jié)合對(duì)“體重與脈搏的關(guān)系”的數(shù)學(xué)建模，通過分析、比較各種函數(shù)模型的差異，可以引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步理解函數(shù)的性質(zhì)，并確定合適的函數(shù)類型構(gòu)建數(shù)學(xué)模型.

結(jié)合目前所學(xué)，學(xué)生已經(jīng)具備了從現(xiàn)實(shí)情境中抽象研究對(duì)象、提煉數(shù)量關(guān)系、簡(jiǎn)單應(yīng)用等與數(shù)學(xué)建模相關(guān)的知識(shí)經(jīng)驗(yàn). 雖然其中蘊(yùn)涵了豐富的數(shù)學(xué)建模思想，但學(xué)生還未經(jīng)歷過數(shù)學(xué)建模活動(dòng)的全過程. 本案例要求學(xué)生完整經(jīng)歷數(shù)學(xué)建模的過程，掌握數(shù)學(xué)建模的基本方法和步驟，培養(yǎng)數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)，提升數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象等素養(yǎng). 同時(shí)，在后續(xù)學(xué)習(xí)中，學(xué)生還會(huì)不斷經(jīng)歷和強(qiáng)化數(shù)學(xué)建模過程，培養(yǎng)用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問題的能力和意識(shí).

3. 教學(xué)重點(diǎn)

引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷完整的數(shù)學(xué)建模過程，掌握數(shù)學(xué)建模的一般方法與步驟，體會(huì)每個(gè)環(huán)節(jié)的必要性與重要性.

二、目標(biāo)與目標(biāo)解析

1. 目標(biāo)

（1）根據(jù)生物常識(shí)找出目標(biāo)變量間的關(guān)系，構(gòu)建“比例模型”，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，提高邏輯推理能力，提升數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).

（2）結(jié)合函數(shù)圖象，通過數(shù)據(jù)分析建立合適的數(shù)學(xué)模型，求解數(shù)學(xué)模型并檢驗(yàn)，提高直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)據(jù)分析能力.

（3）通過數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)，在歸納中掌握數(shù)學(xué)建模的一般方法與步驟，理解數(shù)學(xué)模型的多樣性，進(jìn)一步提升數(shù)學(xué)建模素養(yǎng).

2. 目標(biāo)解析

達(dá)成目標(biāo)（1）的標(biāo)志：學(xué)生能通過科普閱讀，了解“血流量”“脈搏率”等生物學(xué)中的專業(yè)術(shù)語，能從素材中找出諸如“消耗能量與血流量”“體重與體積”“表面積和體積”等數(shù)量關(guān)系，初步構(gòu)建“比例模型”，學(xué)會(huì)將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題.

達(dá)成目標(biāo)（2）的標(biāo)志：學(xué)生能結(jié)合收集到的數(shù)據(jù)，求解出具體的函數(shù)模型，并通過圖象直觀和數(shù)學(xué)運(yùn)算，檢驗(yàn)數(shù)學(xué)模型是否符合實(shí)際問題.

達(dá)成目標(biāo)（3）的標(biāo)志：學(xué)生能回答“選什么函數(shù)模型”“為什么選這個(gè)函數(shù)模型”“這個(gè)模型是否合理”等設(shè)問，歸納并掌握數(shù)學(xué)建模的一般步驟，能提出或者理解數(shù)學(xué)模型的多樣性.

三、教學(xué)問題診斷分析

1. 問題診斷

首先，由于涉及跨學(xué)科知識(shí)，學(xué)生可能會(huì)出現(xiàn)理解偏差，進(jìn)而在將現(xiàn)實(shí)問題數(shù)學(xué)化的過程中遇到困難. 雖然學(xué)生對(duì)應(yīng)用題并不陌生，但直接給出數(shù)學(xué)應(yīng)用問題和讓學(xué)生自己從現(xiàn)實(shí)中抽象出數(shù)學(xué)問題還是有較大的差異，學(xué)生缺乏將現(xiàn)實(shí)問題數(shù)學(xué)化的經(jīng)驗(yàn)和數(shù)學(xué)抽象的能力.

其次，在分析問題的過程中，學(xué)生對(duì)“比例模型”的分析與表述還比較陌生，尤其是幾次比例模型疊加使用，更增加了思維難度.

最后，在利用函數(shù)模型解決實(shí)際問題的過程中，學(xué)生還未形成借助信息技術(shù)求解函數(shù)模型的能力.

教學(xué)中，可以采用分步驟啟發(fā)的方式，引導(dǎo)學(xué)生將實(shí)際問題抽象成數(shù)學(xué)問題. 先給學(xué)生一個(gè)簡(jiǎn)單示范性操作，讓學(xué)生模仿與應(yīng)用;引導(dǎo)學(xué)生從定性和定量?jī)蓚€(gè)角度判斷函數(shù)模型是否合理;鼓勵(lì)學(xué)生利用信息技術(shù)進(jìn)行復(fù)雜的運(yùn)算求解，多維度分析問題，逐步培養(yǎng)學(xué)生利用信息技術(shù)解決實(shí)際問題的意識(shí).

2. 教學(xué)難點(diǎn)

（1）選擇合適的函數(shù)建立數(shù)學(xué)模型.

（2）借助數(shù)理分析和信息技術(shù)求解模型.

四、教學(xué)支持條件分析

為了幫助學(xué)生克服問題背景的分析困難，啟發(fā)學(xué)生從跨學(xué)科角度思考問題，可以通過視頻播放的形式多渠道獲取素材. 利用信息技術(shù)軟件（如GeoGebra，Excel等）快捷地進(jìn)行作圖、數(shù)據(jù)處理與運(yùn)算，讓學(xué)生把主要精力放在定性和定量分析數(shù)學(xué)問題上，幫助學(xué)生通過數(shù)形結(jié)合研究函數(shù)模型的變化規(guī)律. 采用希沃授課助手作為輔助技術(shù)，及時(shí)分享學(xué)生的研究成果，實(shí)時(shí)反饋，增強(qiáng)課堂互動(dòng)效果.

五、教學(xué)過程設(shè)計(jì)

環(huán)節(jié)1：觀察情境，提出問題.

背景情境：視頻展示（1）.

采訪者：今天我們非常有幸請(qǐng)到生物正高級(jí)、特級(jí)教師方淳老師來到我們的課堂. 首先，我想請(qǐng)教一下方老師，生物學(xué)中怎樣理解動(dòng)物的脈搏率？

方老師：脈搏是由心臟收縮而引起的血管壁一張一縮的搏動(dòng)像波浪一樣沿著動(dòng)脈壁向遠(yuǎn)處傳播而形成的. 脈搏率是每分鐘的脈搏數(shù)，正常情況下，脈搏率與每分鐘心跳的次數(shù)是一樣的. 動(dòng)物的脈搏率與它的體重是密切相關(guān)的.

問題1：方老師說動(dòng)物的脈搏率與它的體重密切相關(guān)，那么兩者之間究竟具有怎樣的關(guān)系呢？

師生活動(dòng)：師生共同觀看視頻，了解生物學(xué)基礎(chǔ)概念，明確本節(jié)課要研究的對(duì)象和探索的問題.

【設(shè)計(jì)意圖】“體重與脈搏”中涉及一些生物學(xué)知識(shí)，受興趣和閱歷所限，學(xué)生對(duì)跨學(xué)科的概念在理解上存在一定難度. 通過邀請(qǐng)生物教師視頻講解，能夠保證專業(yè)性，并吸引學(xué)生的注意力，幫助和引導(dǎo)學(xué)生盡快從情境中提出問題，明確本節(jié)課的研究對(duì)象與任務(wù)，為后續(xù)數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)打好基礎(chǔ).

環(huán)節(jié)2：收集數(shù)據(jù)，挖掘關(guān)系.

問題2：觀察表1中的數(shù)據(jù)，你發(fā)現(xiàn)了什么？

師生活動(dòng)：師生共同分析數(shù)據(jù)，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷“觀察表格，尋找規(guī)律—描點(diǎn)繪圖，觀察圖象—提出猜想—初步判斷”的過程. 教師借助GeoGebra軟件，幫助學(xué)生利用已學(xué)函數(shù)的圖象與性質(zhì)，提出合理猜想與初步判斷.

（1）反比例函數(shù)——積為定值，通過直接運(yùn)算即可檢驗(yàn).

（2）指數(shù)函數(shù)——等間距比值為定值，由于體重的無規(guī)律性，并不能直接觀察出來.

（3）冪函數(shù)——形如[y=xα，] [α]為負(fù)數(shù)的情形，但不能確定.

【設(shè)計(jì)意圖】從觀察表格數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)規(guī)律過渡到繪制函數(shù)圖象，使學(xué)生經(jīng)歷將現(xiàn)實(shí)問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的過程. GeoGebra軟件的應(yīng)用讓學(xué)生體會(huì)到信息技術(shù)在數(shù)學(xué)建模中的作用. 引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷“看數(shù)據(jù)—繪圖象—先猜想—再判斷”的過程，為建立函數(shù)模型打好基礎(chǔ).

環(huán)節(jié)3：定性分析，選擇模型.

問題3：像這樣觀察兩組數(shù)據(jù)并進(jìn)行圖象分析，是一種較為直觀的研究體重與脈搏關(guān)系的方式. 那么體重與脈搏之間真的有聯(lián)系嗎？這樣的猜測(cè)合理嗎？有沒有科學(xué)依據(jù)？這個(gè)聯(lián)系具體又是什么？下面我們繼續(xù)研究.

作為現(xiàn)實(shí)問題，我們不能忽略兩者在生物學(xué)上存在的某些內(nèi)在聯(lián)系，為此我們不妨回顧方老師對(duì)脈搏率的定義，并思考：在生物學(xué)中，血流量Q表示單位時(shí)間（每分鐘）流過的血量，q是心臟每次收縮擠壓出來的血量，f是脈搏率（心跳次數(shù) / 分），試找出這三者間存在的關(guān)系？

師生活動(dòng)：學(xué)生通過分組討論，易得出[f=Qq.]

追問：事實(shí)上，在現(xiàn)實(shí)生活中，血流量Q與心臟每次收縮擠壓出來的血量q都不易測(cè)量與獲得，因此需要尋找一個(gè)常見且容易測(cè)量的身體指標(biāo)，用它來刻畫恒溫動(dòng)物的脈搏率，于是研究對(duì)象的體重W就成了不二之選. 那么，Q，q與W之間又分別存在什么關(guān)系呢？

【設(shè)計(jì)意圖】環(huán)節(jié)2通過數(shù)據(jù)分析進(jìn)行初步判斷，問題3的設(shè)置是從定性分析轉(zhuǎn)向數(shù)理分析. 體重與脈搏之間存在關(guān)系，之前是通過視頻告知學(xué)生的. 作為對(duì)現(xiàn)實(shí)問題的數(shù)學(xué)建模還需要考慮其科學(xué)性，數(shù)學(xué)模型的確立不能僅僅停留在數(shù)據(jù)分析和擬合上，必須有聯(lián)系實(shí)際的數(shù)學(xué)推導(dǎo)，從而增強(qiáng)模型的數(shù)學(xué)內(nèi)涵.

教師引導(dǎo)：為了研究Q，q與W的關(guān)系，更好地建立數(shù)學(xué)模型，我們還需要了解更多的生物學(xué)常識(shí)與假設(shè)，大家繼續(xù)觀看視頻.

視頻展示（2）：生物學(xué)家認(rèn)為，睡眠中的恒溫動(dòng)物依然會(huì)消耗體內(nèi)能量，主要是為了維持體溫，消耗的能量與通過心臟的血流量成正比;由于動(dòng)物體溫為通過身體表面散發(fā)的熱量，故表面積越大，散發(fā)熱量越多，保持體溫所需的能量也就越大，所以動(dòng)物體內(nèi)消耗的能量與身體表面積成正比.

研究還表明，動(dòng)物的表面積大約與體積的[23]次方成正比，且動(dòng)物的體重與體積成正比. 同時(shí)，心臟每次收縮產(chǎn)生的血量與心臟的大小成正比，動(dòng)物心臟的大小與動(dòng)物的體積也成正比.

問題4：通過專家的講述，我們可以抽象出哪些數(shù)學(xué)關(guān)系？

追問1：為了研究方便，分別將能量與血流量用字母E和Q表示，如何用數(shù)學(xué)關(guān)系式表示“正比關(guān)系”？

追問2：同理，將這里的表面積、體積等關(guān)鍵詞用字母來表示，這段話中還包含哪些數(shù)學(xué)關(guān)系？試用數(shù)學(xué)關(guān)系式表達(dá).

追問3：借助正比關(guān)系，即可研究Q，q與W的關(guān)系，試將其中的邏輯關(guān)系填入方框中. 可見，Q，q均可用W表示，f是關(guān)于W的函數(shù)，大家能否推導(dǎo)出函數(shù)關(guān)系呢？

師生活動(dòng)：通過師生互動(dòng)，從專家的講解中提煉出生物學(xué)知識(shí)和假設(shè)，學(xué)生很容易獲取高頻次出現(xiàn)的“正比關(guān)系”. 教師通過問題引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)語言標(biāo)記各種研究對(duì)象，用數(shù)學(xué)語言刻畫“正比關(guān)系”，逐步應(yīng)用“比例模型”得出Q，q與W的關(guān)系式（含待定系數(shù)）. 同時(shí)，借助希沃電子設(shè)備展示學(xué)生自主推導(dǎo)出來的表達(dá)式，對(duì)于存在困難的小組和個(gè)人，教師予以適當(dāng)指導(dǎo)，讓他們通過模仿達(dá)到預(yù)期的效果. 最后，讓學(xué)生以小組為單位，通過合作探究得到[f]關(guān)于[W]的表達(dá)式. 由于此處研究對(duì)象較多，可以借助如圖1所示的方式引導(dǎo)學(xué)生逐步推導(dǎo)得出結(jié)果：[Q=mW23;q=nW;][f=Qq=kW-13=kW3]（k為大于0的待定系數(shù)）.

【設(shè)計(jì)意圖】在問題3的基礎(chǔ)上，本環(huán)節(jié)提供生物學(xué)的知識(shí)背景，讓學(xué)生通過獨(dú)立思考解決“建立脈搏率與體重關(guān)系”的核心問題，逐步引領(lǐng)學(xué)生突破“比例模型”的難點(diǎn). 在數(shù)學(xué)表達(dá)式的最終推導(dǎo)環(huán)節(jié)，對(duì)學(xué)生的邏輯推理能力有一定的要求，通過框圖幫助學(xué)生梳理信息，得出各對(duì)象間的關(guān)系.

環(huán)節(jié)4：科學(xué)計(jì)算，求解模型.

問題5：馬是恒溫動(dòng)物. 根據(jù)上述模型，能否算出一匹體重為450 000 g的馬的脈搏率？

追問1：為什么這個(gè)函數(shù)模型不能直接應(yīng)用？

追問2：如何完善這個(gè)模型？

追問3：通過代入數(shù)據(jù)計(jì)算，可得出不同種類恒溫動(dòng)物的系數(shù)k，模型中的k如何取值？

師生活動(dòng)：教師在學(xué)生初步得到數(shù)據(jù)規(guī)律、利用正比關(guān)系推出模型的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步提出追問，啟發(fā)學(xué)生發(fā)現(xiàn)由系數(shù)k未知帶來的問題，引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)據(jù)去完善之前的數(shù)學(xué)模型. 在學(xué)生遇到計(jì)算問題時(shí)，鼓勵(lì)學(xué)生使用信息技術(shù)解決復(fù)雜的運(yùn)算，逐步求解出數(shù)學(xué)模型. 對(duì)于模型中k的取值如何確定的問題，讓學(xué)生分組討論后匯報(bào)討論結(jié)果，教師與學(xué)生進(jìn)行互動(dòng)得出答案. 在求解k的過程中，及時(shí)肯定“取平均”這種常見的解決實(shí)際問題的方法，同時(shí)也可以告訴學(xué)生，統(tǒng)計(jì)學(xué)中還有很多“取平均值”以外的計(jì)算系數(shù)k的方法，有待課后進(jìn)一步探究.

以求均值的方式求解[k，] 可得[f=kW-13=2 325W-13.] 由此可得表2. 并求得[k]的平均值為2 325.477 8.

【設(shè)計(jì)意圖】鼓勵(lì)學(xué)生使用信息技術(shù)進(jìn)行復(fù)雜的運(yùn)算求解，化解計(jì)算中的難題. 在求解k的過程中，肯定學(xué)生提出的方法，同時(shí)指明更專業(yè)的方法，讓學(xué)生有更進(jìn)一步發(fā)展的空間，可以讓不同層次的學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中得到不同的發(fā)展.

環(huán)節(jié)5：檢驗(yàn)?zāi)Ｐ?，初步?yīng)用.

問題6：如何檢驗(yàn)所求數(shù)學(xué)模型的合理性？

追問：通過表3中馬的體重與脈搏率，你能判斷出模型的合理性嗎？

師生活動(dòng)：先讓學(xué)生獨(dú)立思考，給出檢驗(yàn)方法. 例如，繪制數(shù)學(xué)模型的函數(shù)圖象，與之前繪制的散點(diǎn)圖進(jìn)行比對(duì)，根據(jù)吻合程度來驗(yàn)證;代入更多的其他動(dòng)物的數(shù)據(jù)進(jìn)行檢驗(yàn);等等.

教師可以引導(dǎo)學(xué)生利用信息技術(shù)繪制出函數(shù)模型[f=2 325W-13]的圖象，觀察離散的點(diǎn)與圖象的關(guān)系，直觀判斷擬合程度是否合理.

引入馬的數(shù)據(jù)，讓學(xué)生借助信息技術(shù)進(jìn)行計(jì)算，檢驗(yàn)脈搏率的吻合程度. 同時(shí)，教師要向?qū)W生指出，統(tǒng)計(jì)學(xué)中有更為合適且專業(yè)的檢驗(yàn)方法，后面將會(huì)學(xué)到這些方法.

【設(shè)計(jì)意圖】檢驗(yàn)函數(shù)模型是通過數(shù)學(xué)建模解決實(shí)際問題的一個(gè)重要環(huán)節(jié)，與建立的模型是否合理、是否能推廣應(yīng)用等相關(guān)，因此必不可少. 模型檢驗(yàn)的方法不唯一，可以利用代數(shù)運(yùn)算檢驗(yàn)，也可以通過幾何直觀檢驗(yàn). 最后，通過馬的數(shù)據(jù)，再次驗(yàn)證模型的合理性，讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)建模源于生活，并最終解決實(shí)際問題. 同時(shí)，由于馬的體重?cái)?shù)據(jù)與其他動(dòng)物的差別較大，在用GeoGebra軟件作圖時(shí)有意將“很難找到坐標(biāo)為[450 000，38]的點(diǎn)”的困難呈現(xiàn)出來，引發(fā)學(xué)生的思考，為問題7的提出進(jìn)行.

問題7：在上述合理性的判斷過程中，無論是計(jì)算還是作圖，我們發(fā)現(xiàn)自變量（體重）的數(shù)據(jù)跨度非常大，從25到450 000，縱坐標(biāo)數(shù)據(jù)也很大，給操作帶來了困難. 有什么數(shù)學(xué)方法或者數(shù)學(xué)運(yùn)算，可以有效縮小橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)的數(shù)據(jù)，從而簡(jiǎn)化作圖與研究過程？各小組討論.

師生活動(dòng)：學(xué)生分組討論，從簡(jiǎn)化圖形和計(jì)算的角度出發(fā)，思考解決方法. 教師適時(shí)鼓勵(lì)學(xué)生嘗試不同方法，并利用GeoGebra軟件進(jìn)行計(jì)算與演示，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)不同方法進(jìn)行判斷與評(píng)價(jià)，最終引導(dǎo)學(xué)生選擇兩邊取對(duì)數(shù)運(yùn)算的方法進(jìn)行簡(jiǎn)化和優(yōu)化模型.

【設(shè)計(jì)意圖】引入對(duì)數(shù)運(yùn)算簡(jiǎn)化模型的思路，它的本質(zhì)是從數(shù)據(jù)處理的角度，將非線性模型進(jìn)一步變?yōu)榫€性模型，即將[f=kW-13]轉(zhuǎn)化為[lnf=lnk-lnW3]的形式，如圖2和圖3所示，簡(jiǎn)化亦是優(yōu)化數(shù)學(xué)模型. 它的產(chǎn)生并不是偶然的，在人教版《普通高中教科書·數(shù)學(xué)》必修第一冊(cè)第四章的閱讀材料“對(duì)數(shù)的發(fā)明”中展示的對(duì)數(shù)產(chǎn)生的背景與發(fā)展，為這里奠定了基礎(chǔ). 在自主探究的過程中，教師要重視學(xué)生的不同想法，數(shù)學(xué)模型的建立本就不是唯一確定的，唯有經(jīng)過不斷嘗試和對(duì)比、檢驗(yàn)與修正的過程，不斷提高邏輯的嚴(yán)密性，才會(huì)得到相對(duì)滿意與適合的數(shù)學(xué)模型.

環(huán)節(jié)6：總結(jié)歸納，凝練所學(xué).

問題8：回顧探索脈搏率和體重關(guān)系的過程，我們經(jīng)歷了哪些步驟？

師生活動(dòng)：先讓學(xué)生自己總結(jié)，再進(jìn)行交流互動(dòng)，最后得出基本步驟，并利用如圖4所示的框圖表示.

【設(shè)計(jì)意圖】數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)的教學(xué)重在帶領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)建模的全過程，明確數(shù)學(xué)建模的一般方法與步驟，從而加強(qiáng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，提升學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算等數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng). 學(xué)生先合作總結(jié)研究路徑教師再補(bǔ)充的形式，充分發(fā)揮了學(xué)生的自主性，也是檢驗(yàn)和培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)與綜合能力的好機(jī)會(huì).

環(huán)節(jié)7：目標(biāo)檢測(cè)設(shè)計(jì)（課后完成）.

釣魚比賽中，出于保護(hù)的目的，垂釣俱樂部鼓勵(lì)會(huì)員釣到魚之后馬上放生. 同時(shí)，該俱樂部還希望根據(jù)釣到的魚的總質(zhì)量給予獎(jiǎng)勵(lì). 垂釣者怎么確定所釣到的魚的質(zhì)量呢？如果采用便攜秤，一方面稱起來不方便，另一方面對(duì)于小魚并不準(zhǔn)確. 請(qǐng)你提供一種方案，能夠快速有效地測(cè)量魚的質(zhì)量.

根據(jù)材料，模仿上述過程開展一次建立函數(shù)模型解決問題的活動(dòng)，以小組為單位，撰寫一份研究報(bào)告，并進(jìn)行交流展示.

【設(shè)計(jì)意圖】在課堂上經(jīng)歷完整的數(shù)學(xué)建模過程后，學(xué)生有了初步的認(rèn)知與感受，學(xué)生只有通過獨(dú)立自主的方案設(shè)計(jì)與操作，才能夠?qū)⒗碚撧D(zhuǎn)化為能力，讓數(shù)學(xué)建模的思想滲透到學(xué)生的內(nèi)在，領(lǐng)悟到數(shù)學(xué)的重要性與實(shí)用性.

六、教學(xué)設(shè)計(jì)的說明與反思

數(shù)學(xué)建模活動(dòng)作為一種綜合實(shí)踐活動(dòng)課，與以獲取“四基”為主要目的的課有很大不同，《標(biāo)準(zhǔn)》強(qiáng)調(diào)要以課題研究的方式開展. 但是，就目前我國(guó)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)現(xiàn)狀來看，課題研究的方式實(shí)施難度較大. 本教學(xué)設(shè)計(jì)進(jìn)行了一些新的嘗試，即以數(shù)學(xué)建模的主要環(huán)節(jié)為依據(jù)，設(shè)計(jì)探索性問題，引導(dǎo)學(xué)生開展建模活動(dòng)，使學(xué)生掌握數(shù)學(xué)建模的基本要領(lǐng)后，再獨(dú)立開展數(shù)學(xué)建?；顒?dòng). 本教學(xué)設(shè)計(jì)關(guān)注了以下幾個(gè)問題.

1. 設(shè)置梯度突破難點(diǎn)

“體重與脈搏”的數(shù)學(xué)建模需要突破的難點(diǎn)較多. 例如，跨專業(yè)背景的理解、“比例模型”的得出、函數(shù)模型的選擇、計(jì)算和檢驗(yàn)等. 如果開門見山直接提出找尋脈搏率與體重關(guān)系的核心問題，學(xué)生很難找到方向、提出明確的想法. 為此，本教學(xué)設(shè)計(jì)以問題串的形式，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷從背景知識(shí)入手，通過幾何直觀提出猜想，利用數(shù)形結(jié)合初步判斷，教師示范比例關(guān)系，借助框圖串聯(lián)變量，初步得出模型，最后進(jìn)行計(jì)算與優(yōu)化模型等過程，這是一個(gè)完整的數(shù)學(xué)建模過程，可以讓學(xué)生形成建立函數(shù)模型解決實(shí)際問題的完整體驗(yàn).

2. 重視課堂生成問題

數(shù)學(xué)建模是一個(gè)思維發(fā)散的過程，學(xué)生會(huì)因?yàn)閭€(gè)人閱歷、知識(shí)儲(chǔ)備與思維方式的不同，產(chǎn)生各種不同的想法. 例如，學(xué)生在通過圖象選擇函數(shù)模型時(shí)會(huì)提出不同的猜測(cè)，有反比例函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)等，對(duì)于容易辨別的要及時(shí)引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行初步的判斷與篩選，對(duì)于不易判斷合理性的函數(shù)模型，留作備選，引導(dǎo)學(xué)生在建模成功后進(jìn)行再認(rèn)知與判斷. 在求解模型時(shí)，參數(shù)的確定方法不唯一，對(duì)學(xué)生提出的“求平均”系列方法，要給予及時(shí)的肯定. 在檢驗(yàn)?zāi)Ｐ秃侠硇缘耐瑫r(shí)，也允許存在不同的判斷方式，“合理”與“不合理”的思考過程遠(yuǎn)比最終結(jié)果重要.

3. 注重知識(shí)的延續(xù)性

數(shù)學(xué)建模雖然作為獨(dú)立的專題呈現(xiàn)在教材當(dāng)中，但是它的研究?jī)?nèi)容與探究方法不是全新和陌生的，這一點(diǎn)在教材中有很多體現(xiàn). 例如，從現(xiàn)實(shí)情境中抽象出數(shù)學(xué)問題及數(shù)量關(guān)系，這是教材中學(xué)習(xí)新概念、公式等的常用研究方法;對(duì)于函數(shù)圖象的觀察與猜測(cè)，完全可以借助初、高中學(xué)習(xí)的各類函數(shù)的性質(zhì)展開，既是鞏固，也是應(yīng)用;從一組比例關(guān)系過渡到學(xué)生自主完成所有比例關(guān)系，類比操作在平時(shí)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中屢見不鮮;優(yōu)化函數(shù)模型時(shí)的對(duì)數(shù)運(yùn)算，從教材的閱讀材料中即可獲取靈感. 可見，活動(dòng)過程中用到的知識(shí)、技能、思想、經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生在日常學(xué)習(xí)中都已經(jīng)有了大量積累，這里主要是把它們調(diào)動(dòng)起來進(jìn)行綜合運(yùn)用.

4. 信息技術(shù)融入教學(xué)

數(shù)學(xué)建模活動(dòng)必須使用信息技術(shù)，這是由數(shù)學(xué)建模內(nèi)容的特點(diǎn)所決定的. 本教學(xué)設(shè)計(jì)中使用了多樣化的信息技術(shù). 例如，使用Excel軟件存儲(chǔ)和整理數(shù)據(jù)，應(yīng)用多媒體播放視頻素材，利用GeoGebra軟件繪制函數(shù)圖象、進(jìn)行數(shù)學(xué)運(yùn)算，通過希沃授課助手同步學(xué)生的課堂討論成果等. 這對(duì)數(shù)學(xué)課堂的推進(jìn)、學(xué)生思維的拓展起著不可忽視的作用.

七、對(duì)數(shù)學(xué)建模活動(dòng)的教學(xué)思考

下面結(jié)合本教學(xué)設(shè)計(jì)對(duì)數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)的教學(xué)提出一些思考.

思考1：數(shù)學(xué)建模課要上出數(shù)學(xué)建模的味道.

數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)不同于數(shù)學(xué)應(yīng)用或數(shù)據(jù)分析，不局限于數(shù)據(jù)的處理，需要從實(shí)際問題出發(fā)，讓學(xué)生經(jīng)歷收集數(shù)據(jù)，挖掘關(guān)系，定性、定量分析，選擇模型，求解模型，檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷綉?yīng)用模型的過程.

課堂上對(duì)《標(biāo)準(zhǔn)》中給出的各種動(dòng)物脈搏與體重?cái)?shù)據(jù)的使用處理，顯得尤為重要. 通過將數(shù)表轉(zhuǎn)化為圖表，讓數(shù)據(jù)更直觀地呈現(xiàn)出來，從中容易得出體重越大，脈搏率越低（圖象上單調(diào)遞減）的定性分析結(jié)論，然后引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)體重與脈搏之間具有類似于反比例（冪函數(shù)）的關(guān)系. 這里是根據(jù)圖中所給數(shù)據(jù)進(jìn)行的合理猜想，從而自然地選擇冪型函數(shù)作為研究本問題的基本數(shù)學(xué)模型. 但是冪型函數(shù)[f=kWα]具體是怎樣的，不能簡(jiǎn)單地用信息技術(shù)進(jìn)行擬合，然后去討論擬合程度的優(yōu)劣，這樣就變成了數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)分析課. 我們應(yīng)該在有了大致模型方向的基礎(chǔ)上，根據(jù)實(shí)際的生物學(xué)假設(shè)，提取數(shù)學(xué)關(guān)系式，進(jìn)行數(shù)學(xué)推理，通過數(shù)學(xué)符號(hào)和語言來表述與建立數(shù)學(xué)模型，進(jìn)一步探討選取冪型函數(shù)模型[f=kW-13]的科學(xué)性.

思考2：模型的選擇和求解是兩件事.

模型的選擇是基于數(shù)據(jù)、圖表的大致選擇，而獲得更精確的模型則需要精細(xì)的求解. 于是，如何求解系數(shù)[k]的值，就成了求解體重與脈搏關(guān)系模型的關(guān)鍵一環(huán).

學(xué)生依據(jù)現(xiàn)有的知識(shí)儲(chǔ)備，可以想到利用已有數(shù)據(jù)給出的8個(gè)點(diǎn)分別求出8個(gè)對(duì)應(yīng)的[k]值，但是8個(gè)值之間差異很大. 于是利用“求平均”這一最樸素的統(tǒng)計(jì)思想，求8個(gè)值的平均數(shù)作為常數(shù)是學(xué)生最容易想到的處理方法. 雖然這個(gè)方法較統(tǒng)計(jì)學(xué)中擬合回歸的方法精確度低一些，但作為高中生初步接觸統(tǒng)計(jì)學(xué)的相關(guān)內(nèi)容，求平均的方法應(yīng)該予以充分肯定，并在課堂中予以實(shí)施.

思考3：模型的最終確定需要進(jìn)一步檢驗(yàn).

模型的最終確定還需要進(jìn)一步檢驗(yàn)，如果符合實(shí)際情況才能繼續(xù)下去. 這里要特別注意，不建議使用某個(gè)人的數(shù)據(jù)作為檢驗(yàn)的依據(jù). 因?yàn)楸締栴}的研究有一個(gè)大前提，是恒溫動(dòng)物在睡眠狀態(tài)下測(cè)得的脈搏率和體重的關(guān)系，如果課堂中使用學(xué)生的心跳和體重的關(guān)系，就背離了研究的假設(shè)，甚至連研究的對(duì)象都變了，檢驗(yàn)就變成了一種假檢驗(yàn)，科學(xué)性會(huì)大打折扣. 從《標(biāo)準(zhǔn)》的案例中給出的數(shù)據(jù)可以發(fā)現(xiàn)馬對(duì)應(yīng)的數(shù)據(jù)顯得特別突兀，所以建議以前面7種動(dòng)物的數(shù)據(jù)建立模型，用馬的數(shù)據(jù)進(jìn)行檢驗(yàn). 當(dāng)然，更好的做法是通過查閱資料，找到更多其他動(dòng)物的相關(guān)數(shù)據(jù)進(jìn)行檢驗(yàn).

如果數(shù)據(jù)檢驗(yàn)偏離非常明顯，則說明可能是模型的選擇出了問題，需要重新選擇模型，或者是求解模型的方式精確度不夠，需要進(jìn)一步優(yōu)化. 本教學(xué)設(shè)計(jì)中的模型選擇沒有問題，但選擇平均數(shù)求[k]值的方法可能不夠精確，于是可以讓學(xué)生在課后繼續(xù)研究有沒有其他求[k]值的方法，鼓勵(lì)學(xué)生通過學(xué)習(xí)統(tǒng)計(jì)學(xué)的相關(guān)知識(shí)，采用方差分析等方法取得相對(duì)精確的模型數(shù)據(jù).

思考4：模型及呈現(xiàn)方式可以優(yōu)化，使之更為直觀.

由于本問題所給的數(shù)據(jù)跨度很大，所以在同一個(gè)坐標(biāo)系內(nèi)呈現(xiàn)并不那么“友好”，小數(shù)全擠在一起，大數(shù)又離得太遠(yuǎn). 有什么辦法可以讓這些數(shù)據(jù)的范圍壓縮，使數(shù)據(jù)的呈現(xiàn)更加直觀呢？對(duì)數(shù)函數(shù)的變化特征是“先快后慢”，所以將橫、縱坐標(biāo)分別取對(duì)數(shù)，可以將橫坐標(biāo)的范圍從25 ～ 450 000壓縮到2 ～ 14，縱坐標(biāo)的范圍從0 ～ 700壓縮到3.5 ～ 7，而且數(shù)據(jù)的分布近似于線性分布，于是形成了對(duì)數(shù)線性模型，使得數(shù)據(jù)的呈現(xiàn)更加直觀，更加“親切”. 當(dāng)然也可能有學(xué)生會(huì)想到轉(zhuǎn)換比例尺，求根號(hào)等方式壓縮范圍，這些都是很好的課堂生成.

思考5：數(shù)學(xué)建模過程要完整，盡量避免“縮水”.

顯然，數(shù)學(xué)建模的教學(xué)不宜采用“講練”的模式，《標(biāo)準(zhǔn)》要求采用課題研究的形式，通過選題、開題、做題、結(jié)題四個(gè)環(huán)節(jié)來推進(jìn)建?；顒?dòng). 所以，數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)課是不同于日常教學(xué)的課，是在多節(jié)課中圍繞著一個(gè)主題開展豐富多彩的數(shù)學(xué)活動(dòng)，需要課內(nèi)外的結(jié)合，通過多樣化的方式、以“長(zhǎng)作業(yè)”的形式完成. 要開好、用足必修課程中的6個(gè)課時(shí)和選修課程中的4個(gè)課時(shí)的數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)，切不可讓數(shù)學(xué)建模課程“縮水”.

思考6：數(shù)學(xué)建模評(píng)價(jià)宜采取滿意原則和加分原則.

數(shù)學(xué)建模的學(xué)習(xí)過程有一定難度，因此評(píng)價(jià)要注重過程評(píng)價(jià)，而不以最后的結(jié)果作為唯一的評(píng)判依據(jù). 教學(xué)過程重在引領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷建模過程，如果學(xué)生提出的方法有理有據(jù)、思路清晰、表達(dá)準(zhǔn)確，就可以給予滿意評(píng)價(jià). 如果學(xué)生在分析論證的過程中能有一些創(chuàng)意，那么就適用于加分原則. 同時(shí)，數(shù)學(xué)建模是一種將數(shù)學(xué)知識(shí)與現(xiàn)實(shí)世界緊密聯(lián)系的綜合實(shí)踐活動(dòng)，與育人方式的改革密切相關(guān). 在數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)過程中，學(xué)生能力和核心素養(yǎng)的提升將是全方位的.

對(duì)比《標(biāo)準(zhǔn)》與教材關(guān)于數(shù)學(xué)建模的內(nèi)容，本次數(shù)學(xué)建模教學(xué)的嘗試才邁出了第一步，與理想的數(shù)學(xué)建模還有很大的距離. 從應(yīng)用問題的教學(xué)出發(fā)，走向適應(yīng)《標(biāo)準(zhǔn)》要求，基于“三用”、指向核心素養(yǎng)的數(shù)學(xué)教學(xué)，實(shí)現(xiàn)由教向?qū)W的轉(zhuǎn)型，我們依然任重而道遠(yuǎn).

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