李佳 易良斌

摘要：基于前課學生作業(yè)數(shù)據(jù)，在充分了解學情的基礎上，通過知識大框架設計，引導學生分類研究問題，體驗有關平面直角坐標系題目的變化規(guī)律，找到解題方法;充分尊重學生的主體地位，讓學生根據(jù)有梯度的問題不斷深入探究，在探究過程中形成解決問題的一般方法。

關鍵詞：“平面直角坐標系”;復習;關聯(lián);一般方法

“平面直角坐標系”是浙教版八年級上冊第四章“圖形與坐標”中的復習課，該知識是七年級數(shù)軸教學內(nèi)容的延續(xù)，也是研究函數(shù)的基本工具。學生通過五節(jié)新課的學習，對“平面直角坐標系”的基本內(nèi)容已經(jīng)掌握，但對比較綜合性的問題略顯生疏，沒有形成解題思想，對這一類題目的變化規(guī)律認識不足。筆者通過知識梳理、搭建系統(tǒng)框架和題組變化，讓學生理解知識與題目之間的聯(lián)系以及題目變化的一般規(guī)律，找到解決問題的一般思路，達到深入理解點的位置與縱橫坐標的數(shù)量之間對應關系的目的，學會把位置與數(shù)量之間相互轉化，為后期學生學習函數(shù)內(nèi)容打下基礎。

上本節(jié)復習課之前，學生通過新課學習和一定量題目的練習，基本掌握了平面直角坐標系的知識，但知識處于碎片化，沒有建立起知識之間的聯(lián)系，會解決簡單問題，但對復雜問題沒有形成解決問題的一般策略。

一、展示數(shù)據(jù)、發(fā)現(xiàn)問題，梳理知識、形成體系

搜集學生前期在App上完成的相應練習題，把學生完成情況相對差的題目進行原題展現(xiàn)—數(shù)據(jù)分析—錯因解析。

【設計意圖】讓學生通過幾組錯誤分析，明白自己的薄弱之處，讓學生聚焦學習注意力，同時知曉自己的錯誤原因。

師：請同學們回憶一下，本章學習中，我們一共學會了幾種不同方法來表示平面上一個點的位置？

生1：棋盤法。

生2：方向距離法。

生3：經(jīng)緯度法。

師：比較這幾種不同的表示方法，你發(fā)現(xiàn)它們之間有什么共同之處？

生：表示平面上的點至少需要兩個數(shù)據(jù)。

師：還有什么規(guī)律？

生：兩個數(shù)據(jù)的寫法要規(guī)定一個次序。

師：大家再想一下七年級上冊學習的數(shù)軸知識，數(shù)軸上的點與實數(shù)之間有什么關系？

生：一一對應關系。

師：如何解釋一一對應關系？

生：數(shù)軸上每一個點都可以用一個實數(shù)表示，每一個實數(shù)都可以用一個數(shù)軸上的點表示。

師：同理，平面直角坐標系上的點與實數(shù)對有什么關系？

生：也是一一對應關系。

師：同學們再深入思考一下，為什么數(shù)軸上的點與實數(shù)有一一對應關系？

本問題比較難，學生思考良久，說出了很多不準確的答案。

師：同學們思考一下，確定一個實數(shù)必須先確定它的哪兩個要素？

生：符號和絕對值。

師：確定一個點必須確定哪兩方面的要素？

生：方向和距離。

師：同學們再想一下，數(shù)軸有哪些要素？

生：單位長度、原點和正方向。

師：數(shù)軸的三要素、點和實數(shù)的要素之間有什么聯(lián)系？

生：要確定絕對值和距離，必須確定參考點和參考單位。

生：數(shù)軸的正方向?qū)c的方向和數(shù)的符號。

師：非常好！用一句話來表述，數(shù)軸和平面直角坐標系是一個工具，把數(shù)與形聯(lián)系起來的工具，運用它們可以把點的位置與數(shù)之間建立一種聯(lián)系。

師：基于以上理解，我們學習平面直角坐標系，可把問題歸納為“兩個對應”與“三個維度”?！皟蓚€對應”即位置關系與數(shù)量關系之間的轉換，“三個維度”分別是點的位置問題、點的距離問題、點的變換問題。

【設計意圖】通過總結表示平面上點的位置的不同方法，發(fā)現(xiàn)共同點，同時引入數(shù)軸做對比，引導學生發(fā)現(xiàn)不同知識之間的聯(lián)系，理解數(shù)學結論后面的數(shù)理，歸納總結出本章不同問題的類型和解決問題兩者之間的聯(lián)系，讓學生有一個系統(tǒng)思維，站在一個角度理解本章解決問題的本質(zhì)特征。

二、易錯定位、歸納錯因，題海導航、探究方法

通過課前學案數(shù)據(jù)的反饋，筆者發(fā)現(xiàn)學生的錯題主要集中在第2題、第5題、第6題，第9題和第10題。為此，筆者集中錯誤類型：（1）已知“距離”相關的問題;（2）信息轉化出現(xiàn)“錯位”。歸納產(chǎn)生錯誤的原因：（1）審題時不畫圖，不用坐標系來解析信息;（2）解決“距離”問題出現(xiàn)慣性思維（單向思維）;（3）對坐標系中的“距離”問題理解不到位。

【設計意圖】分析課前學案的數(shù)據(jù)，幫助學生對自己所犯的錯誤進行精準定位，為后面的復習課打下基礎。

環(huán)節(jié)一：完成題組，總結歸納。

師：給同學們6分鐘時間完成題組一和題組二，并思考PPT上的三個問題。

題組一：

（1）點（-3，4）在第______象限;

（2）點（-3，4）到x軸的距離為_______，到y(tǒng)軸的距離為_______，到原點的距離為_______;

（3）點（-3，4）關于x軸對稱點為_______，關于y軸對稱點為________;

（4）點（-3，4）向下平移4個單位得到點坐標為________;

題組二：

（1）點（-3，b）在第三象限，則b的取值范圍是多少？

（2）點（-3，b）到x軸的距離為2，則b的值是多少？到y(tǒng)軸的距離是多少？若點（-3，b）到原點的距離為5，則b的值是多少？

（3）點（-3，b）關于x軸對稱點為（a，2），則a=_____，b=_____;

（4）點（-3，b）向右平移5個單位，再向下平移4個單位，得到（a，2），則a=_____，b=_____;

（5）點（-3，b）幾何意義是什么？請畫圖表示;

（6）請用坐標形式表示直線m。

師：請同學們完成課堂學案，觀察思考以下三個問題：

（1）從題目的條件角度來看，題目中給的點的個數(shù)一般有哪幾種情況？

（2）從點的坐標形式來看，題目可以有哪幾種變化形式？

（3）從所有題目的特點來看，我們研究問題是哪兩個方面的相互轉化？

環(huán)節(jié)二：摸清題脈，思考探究。

師：首先，我們一起回答第一個問題。

生：從題目條件角度來看，題目中給的點的個數(shù)有時是一個點，也有兩個點或三個點以上。

師：第二個問題？

生：從點的坐標形式來看，點不含字母，有時含一個字母，也有含兩個字母。

師：第三個問題？

生：一般研究點的位置關系與數(shù)量關系之間的轉化。

師：首先，我們一起來研究最簡單的一類問題：題目中只有一個點且不含字母。

師：大家觀察一下，這四個題目主要涉及哪幾方面的問題？

生：主要涉及五類問題，分別研究：點的一般位置、特殊位置、距離、平移和對稱問題。

師：非常棒。

師：接下來，我們研究另一類問題：有一個點，但含有一個字母的問題。

師：這一類問題，在解決時要注意什么問題？

生：在由點所處象限來確定字母范圍時，要思考點是否在坐標軸上。

生：已知點到兩個坐標軸的距離，確定字母值時，要思考到字母的符號。

師：請同學思考以下四個問題：

（1）坐標（-3，b）幾何意義是什么？請畫圖表示;

（2）請用坐標形式表示直線m;

（3）請畫圖表示（a，-3）（-1≤a≤4）;

（4）請用坐標形式表示線段AB。

師：你發(fā)現(xiàn)了什么？

生：可以用坐標的形式來表示一個線段、射線和直線。

師：以上所表示的線有什么特征？

生：平行于一個坐標軸，而垂直于另一個坐標軸。

師：可以表示其他的線嗎？

比如：請用坐標的形式表示一、三象限角平分線所在的直線;若把這條直線向上平移2個單位，你能用坐標的形式來表示這條直線嗎？

生：用（x，x）表示一、三象限角平分線所在的直線。

生：用（x，x+2）表示這直線向上平移2個單位的直線。

師：非常棒。

師：接下來，我們一起研究更難的題目：題目中含一個點，但縱、橫坐標都含有字母。

師：這一類題目有什么特征？

生：因為縱、橫坐標都含有字母，說明數(shù)量關系未知;反之，位置一定是已知的。

師：非常正確，這一類問題的策略是：把坐標的位置信息轉化成為橫、縱坐標的方程（組）或不等式，通過解不等式得到未知數(shù)，從而確定點的坐標。

師：在平面直角坐標系中，點A（m，2m+1）

（1）請用不同的方法說明點A不可能經(jīng)過某個象限;

（2）請把m取不同值（如m=-2，m=-1，m=0，m=1，m= 2），并得到不同的點描在平面直角坐標系上，你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？

生：發(fā)現(xiàn)所有點都在一條直線上。

【設計意圖】通過一個點的坐標從不含字母到含有兩個字母的問題，逐步深入，讓學生體驗題目的變化規(guī)律，找到解決問題的規(guī)律。

環(huán)節(jié)三：運用規(guī)律，我問你答。

師：下面我們一起研究問題中含有兩個點的問題，先來試著看一下兩個點都不含有字母。請同學們試著根據(jù)我給的點坐標，提出一個問題。

（1）對于兩個點A（-2，2），B（2，3），你能提哪些問題？

生：兩個點關于哪個坐標軸對稱？

生：兩個點之間的距離是多少？

生：從A到B，是如何平移所得？

生：兩個點的連線垂直于哪一坐標軸？

生：兩個點的連線平行于哪一坐標軸？

師：（2）對于兩個點A（-5，3），B（2，3），你還能提哪些問題？

師：（3）對于兩個點A（-1，3），B（1，7），你又能提哪些問題？

師：同學們總結一下，你們所出的題目可以有幾種不同的類型：

生：一般有五個方面：（1）所處象限位置;（2）特殊位置;（3）距離問題;（4）對稱問題;（5）平移問題。

師：我們下面來研究更加難的問題：含有兩個點，且點的縱、橫坐標中有一個含有字母。這一類題目的規(guī)律是什么？

生：因為點的坐標未知，一定是給兩個點之間的位置關系、變換關系和距離，通過位置關系來確定數(shù)量關系，從而求出字母的值。

師：非常棒，同學們找到了題目變化的規(guī)律。

師：下面我們一起來挑戰(zhàn)一下：兩個點都含有字母，并且含有兩個以上的字母。

師：請同學們用三分鐘時間來思考一下，解決這類問題的一般策略是什么？

生：對兩個全參數(shù)點的坐標，一般把點的位置信息轉化成點橫、縱坐標的方程（組）。

師：非常好。解決這類多字母問題，一般要把位置關系轉化成兩個以上的數(shù)量關系，建立方程組來求字母的值。

環(huán)節(jié)四：運用規(guī)律，適度拔高。

師：下面我們來挑戰(zhàn)一下含有三個點的問題，解決這類問題的一般步驟是什么？

生：一般要經(jīng)歷四個步驟：建標—描點—連線—觀察。

師：根據(jù)圖形，你能提出什么問題？

生：三角形ABC的形狀是什么？

生：三角形ABC的面積是多少？

師：最后，我們一起來挑戰(zhàn)一個極限難度：含有三個點且含有字母。

師：給同學們?nèi)昼姇r間來討論一下這個問題。

師：這一類問題的一般解題思路是：由已知點，可以確定三角形的一條邊長，再根據(jù)三角形的面積定底求高，或定高求底。然后，再把線段的長度轉化為點的坐標。

對應的解題步驟如下：

（1）畫坐標—標點—構圖;

（2）確定底邊或高;

（3）通過面積求出底邊或高;

（4）利用相對位置求出點的坐標（注意分類）。

三、課堂小結、形成思路，歸納提煉、反思評價

師：請同學思考以下四個問題：

（1）圖形與坐標問題主要討論哪兩種關系的轉化？

（2）問題中點的坐標有哪幾種變化形式？

（3）本章主要從哪幾個角度來變化問題？

（4）本章解決所有問題最主要的方法是什么？

師：本節(jié)課總結如下：

一個方法：數(shù)形結合法;

兩種關系：數(shù)量關系與位置關系轉化;

三種形式：不含字母、含一個字母和含兩個字母;

三個角度：點的位置、點的距離和點的變換。

四、學為中心、豐富素養(yǎng)，教學引領、提升品質(zhì)

本節(jié)課有一個宏觀思維，把整個章節(jié)的核心問題“點的位置關系與數(shù)量關系轉化”，通過一個問題串，讓學生發(fā)現(xiàn)，并用一個直角坐標系來引導學生深入學習，難度每增加一步，學生緊跟著上一個梯度，最終清楚要研究的問題類型是什么以及怎么去解決問題。

（1）本節(jié)課在設計中充分考慮到不同層次學生的學習需求，從最基礎的知識開始復習，以練促講，讓學生根據(jù)有規(guī)律的題組變化，找到平面直角坐標系問題的變化規(guī)律。所有規(guī)律是讓學生自主發(fā)現(xiàn)、總結，注重學生的學習體驗。

（2）本節(jié)課主要以學生探究學習為主，在完成學案的基礎上進行講解，每一個環(huán)節(jié)的推進都是在學生主動學習的基礎上進行的，引導學生總結發(fā)現(xiàn)規(guī)律。

（3）本節(jié)復習課所涉及的問題是課標所涉及的內(nèi)容，課標規(guī)定為課堂畫了一個“紅線”，用一個表格把所有涉及的問題進行分門別類總結，讓學生了解復習課主要解決什么問題。

（4）本節(jié)課教學設計立意高，為了幫助學生從本質(zhì)上理解平面直角坐標系所有題目中的核心問題，筆者通過一個問題串來引發(fā)學生思考：為什么數(shù)軸上的點與實數(shù)是一一對應關系？讓學生理解點的兩個要素與實數(shù)的兩個要素之間的對應關系，幫助學生從數(shù)理上理解問題的本源。

總的來說，本節(jié)課教學實施脈絡清晰，為了幫助學生從題海里跳出來，發(fā)現(xiàn)章節(jié)中所有題目的變化規(guī)律，用了一個“題目變化坐標系”，引導學生逐步深入，每深入一步，讓學生精準定位自己探究到哪一個程度，每進一步，就總結解決問題的方法。讓學生錯得明明白白，解析得清清楚楚。課堂中沒有花招，以練帶講，講練結合，完全讓學生在體驗中學習內(nèi)容，進行整章節(jié)內(nèi)容的復習，并且基于學生的學習經(jīng)驗又有升華與提高。

參考文獻：

[1] 中華人民共和國教育部 . 義務教育數(shù)學課程標準（2011 版）[S]. 北京：北京師范大學出版社，2012.

[2] 李靜 . 經(jīng)歷建模過程 感悟模型思想 [J]. 小學數(shù)學教育，2016（6）.

（責任編輯：奚春皓）