曹艷芳

摘要：精準(zhǔn)預(yù)設(shè)讓習(xí)題課教學(xué)具有清晰的方向性，精彩生成讓習(xí)題課激起思維的火花。在充分認(rèn)識(shí)教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)價(jià)值的基礎(chǔ)上、在充分了解學(xué)生學(xué)習(xí)能力和思維水平的前提下，對(duì)學(xué)生出現(xiàn)的不同解法甚至錯(cuò)誤解法進(jìn)行準(zhǔn)確的預(yù)判，形成預(yù)設(shè)性學(xué)習(xí)任務(wù)；在課堂教學(xué)中及時(shí)發(fā)現(xiàn)學(xué)生的解題障礙或思維誤區(qū)，產(chǎn)生生成性學(xué)習(xí)任務(wù)。在二者結(jié)合的基礎(chǔ)上，回歸最初定義，探尋錯(cuò)誤根源?；陬A(yù)設(shè)和生成融合的平面向量數(shù)量積習(xí)題教學(xué)，選擇思維空間較大的例題，在討論不同解法和學(xué)生錯(cuò)解的基礎(chǔ)上，找到問(wèn)題的根源，拓展新的思維空間，從而較好地突破了平面向量數(shù)量積運(yùn)算難點(diǎn)。

關(guān)鍵詞：平面向量數(shù)量積；習(xí)題講評(píng)課；預(yù)設(shè)與生成；高中數(shù)學(xué)

中圖分類(lèi)號(hào)：G633.6文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：1992-7711（2021）19-0049

一、問(wèn)題的提出

向量是近代數(shù)學(xué)中重要和基本的概念之一，具有深刻的幾何背景和豐富的數(shù)學(xué)內(nèi)涵。平面向量數(shù)量積（以下簡(jiǎn)稱(chēng)數(shù)量積）的概念從物理中的“功”抽象而來(lái)，依據(jù)定義式可以推導(dǎo)出向量的模長(zhǎng)、夾角以及坐標(biāo)表示等公式。類(lèi)比推廣到空間向量后，先將幾何問(wèn)題坐標(biāo)化數(shù)量化，再進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算，最后又將運(yùn)算結(jié)果轉(zhuǎn)化成幾何關(guān)系，從而數(shù)量積成為研究空間基本圖形的位置、度量關(guān)系的有效工具。經(jīng)過(guò)這一學(xué)習(xí)過(guò)程，學(xué)生體會(huì)和掌握了數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化化歸的數(shù)學(xué)思想方法，發(fā)展了數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算等學(xué)科核心素養(yǎng)。

數(shù)量積的教學(xué)研究多見(jiàn)于新授課教學(xué)設(shè)計(jì)和解題策略。如李沛、丁益祥設(shè)計(jì)了“路徑探究、背景分析、定義抽象、向量投影、性質(zhì)研習(xí)”[1]五個(gè)環(huán)節(jié)來(lái)突破教學(xué)難點(diǎn)。曹磊利用平面向量基本定理，將向量的數(shù)量積轉(zhuǎn)化為基底向量的數(shù)量積，將數(shù)量積運(yùn)算自然引導(dǎo)到坐標(biāo)表示[2]。魏安龍將數(shù)量積運(yùn)算進(jìn)行了題型歸納，側(cè)重定義法、坐標(biāo)法、基底法[3]。孫金霞、石海峰以2014年江蘇高考題第12題為例，探究了數(shù)量積運(yùn)算方法與選擇策略[4]。對(duì)于數(shù)量積運(yùn)算方法優(yōu)劣比較與選擇，學(xué)生做題誤區(qū)與錯(cuò)因分析等研究相對(duì)缺乏。

二、預(yù)設(shè)與生成融合的基本內(nèi)涵

預(yù)設(shè)是教師在課前對(duì)課堂教學(xué)活動(dòng)的規(guī)劃和設(shè)計(jì)，生成是在教學(xué)中因?qū)W情變化產(chǎn)生預(yù)料之外的有價(jià)值的觀點(diǎn)或問(wèn)題。缺少生成的預(yù)設(shè)，課堂缺乏靈氣，壓制了學(xué)習(xí)的主動(dòng)性與積極性；缺少預(yù)設(shè)的生成，往往又缺少課堂焦點(diǎn)，導(dǎo)致教學(xué)效率下降。從而預(yù)設(shè)與生成融合在習(xí)題教學(xué)中顯得尤為重要。

1.基于生成的預(yù)設(shè)

基于生成的預(yù)設(shè)是以生成為目的的預(yù)設(shè)，是課堂教學(xué)生成的準(zhǔn)備。精準(zhǔn)預(yù)設(shè)離不開(kāi)對(duì)教學(xué)內(nèi)容和學(xué)情準(zhǔn)確而深刻地把握，以及對(duì)課堂教學(xué)過(guò)程充分地預(yù)計(jì)。

2.對(duì)教學(xué)內(nèi)容的精準(zhǔn)把握和學(xué)情的充分了解是精準(zhǔn)預(yù)設(shè)的基本保證。數(shù)量積運(yùn)算內(nèi)容豐富運(yùn)用廣泛，是高考命題熱點(diǎn)也是課堂教學(xué)重點(diǎn)。數(shù)量積運(yùn)算常規(guī)方法有三種：定義法、坐標(biāo)法、基底法。筆者所在學(xué)校的學(xué)生對(duì)定義法和坐標(biāo)法掌握相對(duì)較好，但當(dāng)已知條件特征不明顯時(shí)，在方法的選擇上就會(huì)出現(xiàn)困難，能夠靈活運(yùn)用基底法的學(xué)生就更少。主要原因是學(xué)生對(duì)平面向量基本定理理解不到位，缺乏基底意識(shí)。

（1）對(duì)教學(xué)環(huán)節(jié)的規(guī)劃是精準(zhǔn)預(yù)設(shè)的主要任務(wù)。為了突破數(shù)量積運(yùn)算教學(xué)重難點(diǎn)，筆者在習(xí)題課中設(shè)計(jì)了這樣一道例題。

題中a，b是以坐標(biāo)的形式給出的，x，y是a，b的線性表示，學(xué)生在做題時(shí)會(huì)選擇坐標(biāo)法，但由于計(jì)算煩瑣，學(xué)生可能會(huì)產(chǎn)生畏難情緒或計(jì)算錯(cuò)誤?；诮虒W(xué)目標(biāo)和學(xué)情，預(yù)設(shè)本節(jié)課的教學(xué)流程為：知識(shí)回顧—自主練習(xí)—展示交流—解難答疑—?dú)w納總結(jié)—鞏固練習(xí)。

（2）基于預(yù)設(shè)的生成

基于預(yù)設(shè)的生成是有取舍的生成，是聚焦于教學(xué)目標(biāo)的生成性問(wèn)題的解決。精彩的生成離不開(kāi)有思維空間的問(wèn)題和思維活動(dòng)的充分展開(kāi)。

①有思維空間的問(wèn)題是精彩生成的基礎(chǔ)。思維空間意味著習(xí)題課選題不僅在知識(shí)上緊扣主要內(nèi)容，而且在解題方法上不是唯一的，在不同解法中發(fā)現(xiàn)思維的差異，從而形成思維碰撞。本課所選例題（見(jiàn)上）從知識(shí)層面上看，是一道向量垂直與數(shù)量積運(yùn)算的綜合應(yīng)用題。從解題方法上可以選擇坐標(biāo)法，也可以根據(jù)垂直關(guān)系列式，運(yùn)用運(yùn)算律和數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算公式來(lái)解決。第一種解法容易想到但計(jì)算煩瑣，第二種方法需要學(xué)生有敏感的數(shù)學(xué)解題能力。設(shè)計(jì)此題意在訓(xùn)練學(xué)生進(jìn)行數(shù)量積運(yùn)算，以及分析運(yùn)算策略尋求最優(yōu)解法。

②充分的思維展開(kāi)是精彩生成的主要過(guò)程。思維展開(kāi)就是給予學(xué)生充分的解答時(shí)間，并調(diào)控思維展開(kāi)的過(guò)程。將此題呈現(xiàn)給學(xué)生自主完成，根據(jù)教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生會(huì)出現(xiàn)以下幾種情況。無(wú)從下筆；計(jì)算受阻而畏難；計(jì)算煩瑣致出錯(cuò)；快速準(zhǔn)確。教師再挑選這四種代表性的作業(yè)進(jìn)行展示，并請(qǐng)學(xué)生講述解題思維過(guò)程及困惑。通過(guò)交流展示，學(xué)生知道此題有兩種解法，同時(shí)會(huì)產(chǎn)生質(zhì)疑：哪種解法好？下次做題時(shí)自己會(huì)運(yùn)用哪種？此時(shí)，教師引導(dǎo)學(xué)生在做題前應(yīng)預(yù)估兩種解法的可行性、繁簡(jiǎn)程度，最終得出解決數(shù)學(xué)問(wèn)題要步驟化，不能盲目下筆。接著再安排鞏固練習(xí)就能很好地實(shí)現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)。

三、預(yù)設(shè)與生成融合的習(xí)題課教學(xué)實(shí)施

基于預(yù)設(shè)與生成融合的習(xí)題課教學(xué)，教學(xué)環(huán)節(jié)清晰，教學(xué)過(guò)程充分重視學(xué)生思維活動(dòng)的展開(kāi)，預(yù)設(shè)和生成的學(xué)習(xí)活動(dòng)相得益彰?；窘虒W(xué)過(guò)程為：知識(shí)回顧—自主練習(xí)—展示交流—釋疑解惑—質(zhì)疑探疑。

1.知識(shí)回顧，快速回顧數(shù)量積運(yùn)算的三種常規(guī)方法，做好知識(shí)上的鋪墊。

2.自主練習(xí)，呈現(xiàn)例題后，讓學(xué)生獨(dú)立完成。在巡視的過(guò)程中，了解學(xué)生做題時(shí)的思維活動(dòng)，把握主要思維障礙或誤區(qū)，收集講題素材。

3.展示交流，充分了解學(xué)生做題情況后，挑選了4份預(yù)估的代表性答案進(jìn)行投影，并請(qǐng)4位學(xué)生談了做題時(shí)的困惑和收獲。緊接著展示了預(yù)先準(zhǔn)備好的兩種解法，并請(qǐng)學(xué)生思考交流：兩種解法哪種較好？理由是什么？

4.釋疑解惑，經(jīng)過(guò)一番討論后，生5：“解法一容易想到，但是坐標(biāo)太難算了。”生6：“若是不計(jì)算坐標(biāo)，根據(jù)垂直列式用運(yùn)算律展開(kāi)，因a，b的數(shù)量積為0，運(yùn)算量大大簡(jiǎn)化了?！惫P者聽(tīng)完兩位學(xué)生的發(fā)言馬上總結(jié)：“在解決問(wèn)題時(shí)要養(yǎng)成良好的運(yùn)算習(xí)慣：理解題意、找準(zhǔn)運(yùn)算對(duì)象—思考運(yùn)算思路，預(yù)估運(yùn)算繁簡(jiǎn)—選擇運(yùn)算方法，求得運(yùn)算結(jié)果?！?/p>

5.質(zhì)疑探疑，按照預(yù)設(shè)完成了例題的教學(xué)，正準(zhǔn)備開(kāi)展鞏固練習(xí)時(shí)，課堂上冒出了意外的聲音，生7有別的解法，解答如下：

出乎意料，生7利用平面向量基本定理，確定基底寫(xiě)出坐標(biāo)，再轉(zhuǎn)化為數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算。這個(gè)方法確實(shí)妙，但為何答案不正確呢？這是一個(gè)好的生成問(wèn)題，臨時(shí)提出兩個(gè)問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生探究錯(cuò)誤根源：

問(wèn)題（1）平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示是什么？

問(wèn)題（2）平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示是如何推導(dǎo)出來(lái)的？

問(wèn)題（1）學(xué)生都能準(zhǔn)確地背出來(lái)，卻說(shuō)不出問(wèn)題（2）的所以然來(lái)。這時(shí)，筆者要求學(xué)生回歸教材，引導(dǎo)學(xué)生重新進(jìn)行知識(shí)梳理，平面內(nèi)任意向量都可以由同一平面內(nèi)兩個(gè)不共線的基底向量線性表示，在此基礎(chǔ)上選定坐標(biāo)軸上的單位向量i，j進(jìn)行正交分解，即a= xi+ yj，再利用運(yùn)算律進(jìn)行運(yùn)算從而得出了數(shù)量積的坐標(biāo)表示a？b= x1x2+ y1y2。在這個(gè)過(guò)程中，學(xué)生再次從整體上認(rèn)識(shí)了知識(shí)的關(guān)聯(lián)性。再衍生出第三個(gè)問(wèn)題：

問(wèn)題（3）數(shù)量積的坐標(biāo)表示對(duì)基底有要求嗎？此題中a，b為基底是否可行？

學(xué)生還意猶未盡，紛紛提問(wèn)。a，b的坐標(biāo)是以坐標(biāo)軸上的單位向量i，j為基底得到的，x，y的坐標(biāo)是以c，b為基底得到的，它們的基底不同，會(huì)影響答案嗎？筆者要求學(xué)生再次回到數(shù)量積坐標(biāo)表示的推導(dǎo)過(guò)程中，發(fā)現(xiàn)答案確實(shí)是不受影響的。若a，b為基底，但它們不是單位向量又不垂直怎么辦？筆者認(rèn)為推導(dǎo)非垂直情況下數(shù)量積的坐標(biāo)表示意義不大，但還是肯定了學(xué)生的積極思考。

6.歸納總結(jié)，歸納總結(jié)是思路的提煉，方法的提升。結(jié)課環(huán)節(jié)要求學(xué)生來(lái)總結(jié)收獲。生8：“這道題將數(shù)量積運(yùn)算的三種方法都運(yùn)用上來(lái)了，沒(méi)有刷題但是確實(shí)掌握了三種方法?！惫P者也及時(shí)肯定：學(xué)生經(jīng)過(guò)思考得到了一題三解，迎難而上的學(xué)習(xí)勁頭值得表?yè)P(yáng)。

四、效果與反思

1.教學(xué)效果

本課例中，學(xué)生不僅出現(xiàn)了可預(yù)見(jiàn)的錯(cuò)誤類(lèi)型，還因?qū)W生的錯(cuò)解生成了具有探究?jī)r(jià)值的問(wèn)題。筆者抓準(zhǔn)教育時(shí)機(jī)引領(lǐng)學(xué)生探究錯(cuò)誤根源，在這一過(guò)程中，較好地建構(gòu)了知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，將平面向量基本定理、正交分解、向量的坐標(biāo)表示、數(shù)量積的坐標(biāo)表示等知識(shí)串聯(lián)起來(lái)，對(duì)知識(shí)的理解更加透徹，也獲得了難能可貴的“基底意識(shí)”，是預(yù)設(shè)和生成的完美融合，課堂教學(xué)效果好。

2.教學(xué)反思

學(xué)生出現(xiàn)錯(cuò)解源于新課教學(xué)不到位，在推導(dǎo)數(shù)量積坐標(biāo)表示時(shí)輕描淡寫(xiě)，導(dǎo)致學(xué)生只是記住了坐標(biāo)表示的結(jié)論，而推導(dǎo)的理論依據(jù)和過(guò)程卻沒(méi)有受到重視。其次，在展示典型答案和學(xué)生分析后，應(yīng)該給出充足時(shí)間讓學(xué)生再次訓(xùn)練，而不是教師展示正確答案。此外，由于生成問(wèn)題的出現(xiàn)，預(yù)設(shè)的鞏固練習(xí)未能預(yù)期進(jìn)行，時(shí)間所限只能進(jìn)行取舍。

通過(guò)這節(jié)課，筆者也意識(shí)到要上出有質(zhì)量、有深度的數(shù)學(xué)課必須加強(qiáng)自我學(xué)習(xí)。對(duì)每一個(gè)數(shù)學(xué)知識(shí)，要思考它從哪里來(lái)，有什么作用？從整體和局部?jī)蓚€(gè)方面來(lái)進(jìn)行教學(xué)思考，認(rèn)清知識(shí)的本質(zhì)和內(nèi)涵，領(lǐng)悟蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法和數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。課堂教學(xué)千變?nèi)f化，預(yù)設(shè)和生成度的把握實(shí)際操作難度大，在以后的教學(xué)中還要不斷修煉。面對(duì)課堂出現(xiàn)的“不速之客”，要判斷是“奇思妙想”還是“胡思亂想”？是“巧妙利用”還是“撥亂反正”？

參考文獻(xiàn)：

[1]李沛，丁益祥.“平面向量的數(shù)量積”教學(xué)設(shè)計(jì)、反思與點(diǎn)評(píng)[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2020（7）：15-21.

[2]曹磊.體驗(yàn)操作感悟過(guò)程自然建構(gòu)——以“平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示”教學(xué)為例[J].高中數(shù)學(xué)教與學(xué)，2019（2）：32-34.

[3]魏安龍.“平面向量的數(shù)量積”（第2課時(shí)）教學(xué)設(shè)計(jì)[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2017（33）：22-24.

[4]孫金霞，石海峰.談平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算方法與選擇——以2014年江蘇高考第12題為例[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2014（23）：105+107.

（作者單位：廣東省廣州市番禺區(qū)石碁中學(xué)511450）