三種版本教材中兩步混合運(yùn)算內(nèi)容的比較

【摘 要】?jī)刹交旌线\(yùn)算是同級(jí)混合運(yùn)算及乘加、乘減式題的延伸，是進(jìn)一步學(xué)習(xí)整數(shù)、小數(shù)及分?jǐn)?shù)四則混合運(yùn)算的基礎(chǔ)。文章對(duì)人教版、蘇教版、北師大版三種版本教材中兩步混合運(yùn)算的內(nèi)容進(jìn)行了詳細(xì)的比較，得出其均注重通過(guò)融合現(xiàn)實(shí)情境讓學(xué)生體會(huì)運(yùn)算順序，通過(guò)解決實(shí)際問(wèn)題培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用能力的相同點(diǎn)，但在知識(shí)編排的整體性與關(guān)聯(lián)性、模型思想的關(guān)注程度及題組練習(xí)的編排上差異較大?；诖耍芯空咛岢隽俗⒅卣w教學(xué)、滲透模型思想及構(gòu)建題組模塊的教學(xué)建議。

【關(guān)鍵詞】人教版;蘇教版;北師大版;兩步混合運(yùn)算;教材比較

【作者簡(jiǎn)介】馮剛，一級(jí)教師，蘇州工業(yè)園區(qū)教學(xué)能手，主要研究方向?yàn)樾W(xué)數(shù)學(xué)教材及課程建構(gòu)研究。

運(yùn)算能力是學(xué)生應(yīng)具備的一種關(guān)鍵能力，也是一種關(guān)鍵素養(yǎng)。運(yùn)算能力的培養(yǎng)能促進(jìn)學(xué)生對(duì)算理的理解，并尋求合理簡(jiǎn)潔的運(yùn)算途徑來(lái)解決問(wèn)題。[1]兩步混合運(yùn)算是學(xué)生首次系統(tǒng)地總結(jié)運(yùn)算順序，也是后續(xù)進(jìn)一步學(xué)習(xí)三步混合運(yùn)算及小數(shù)、分?jǐn)?shù)四則混合運(yùn)算的關(guān)鍵環(huán)節(jié)和重要節(jié)點(diǎn)。為此，本文選取人民教育出版社（以下簡(jiǎn)稱(chēng)人教版）、江蘇鳳凰教育出版社（以下簡(jiǎn)稱(chēng)蘇教版）及北京師范大學(xué)出版社（以下簡(jiǎn)稱(chēng)北師大版）三種版本（以下簡(jiǎn)稱(chēng)三版）教材，就其中兩步混合運(yùn)算的相關(guān)內(nèi)容展開(kāi)比較，在異同分析中發(fā)現(xiàn)各版本教材編排的優(yōu)勢(shì)所在，進(jìn)而提出教學(xué)建議。

一、三版教材中兩步混合運(yùn)算內(nèi)容的編排

筆者對(duì)三版教材中兩步混合運(yùn)算的相關(guān)內(nèi)容進(jìn)行了詳細(xì)的分析，整理得到其編排情況，見(jiàn)表1。

由表1可知，三版教材中兩步混合運(yùn)算內(nèi)容的編排在年級(jí)安排上有較大差異，相關(guān)內(nèi)容及課時(shí)的安排也稍有不同。蘇教版與北師大版教材的編排內(nèi)容與編排順序均比較一致，第一課時(shí)是乘法和加減法的混合運(yùn)算，第二課時(shí)是除法和加減法的混合運(yùn)算，第三課時(shí)是帶括號(hào)的混合運(yùn)算。人教版教材的編排則差異較大，第一課時(shí)是同級(jí)混合運(yùn)算，第二課時(shí)是乘除法和加減法的混合運(yùn)算，第三課時(shí)是帶括號(hào)的混合運(yùn)算，第四課時(shí)是列綜合算式解決實(shí)際問(wèn)題。

二、三版教材中兩步混合運(yùn)算內(nèi)容編排的相同點(diǎn)

兩步混合運(yùn)算的教學(xué)重點(diǎn)是學(xué)生能在理解運(yùn)算順序合理性的基礎(chǔ)上按照運(yùn)算順序正確計(jì)算，難點(diǎn)是學(xué)生要初步學(xué)會(huì)列綜合算式解決實(shí)際問(wèn)題。三版教材的編排均在重難點(diǎn)的突破上下足了功夫，存在著一些共性。

（一）融合現(xiàn)實(shí)情境，體會(huì)運(yùn)算順序

運(yùn)算順序是伴隨著人類(lèi)長(zhǎng)期的實(shí)踐與計(jì)算活動(dòng)而形成的一種規(guī)定，其合理性源自運(yùn)算自身的層級(jí)性特點(diǎn)，如乘法是幾個(gè)相同的數(shù)相加的簡(jiǎn)便運(yùn)算，算式中既有乘法又有加法時(shí)，自然應(yīng)先算乘法，這是避繁趨簡(jiǎn)的理性選擇[2]。但這樣的解釋對(duì)學(xué)生而言過(guò)于抽象，學(xué)生理解存在困難。史寧中教授曾指出，小學(xué)階段中，數(shù)學(xué)學(xué)科所有的規(guī)定都是從現(xiàn)實(shí)世界中抽象出來(lái)的，所有混合運(yùn)算都是在講述兩個(gè)或兩個(gè)以上的故事，可能是大故事包含小故事，也可能是幾個(gè)故事并列[3]。因此，三版教材基于學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)和認(rèn)知基礎(chǔ)，創(chuàng)設(shè)了與運(yùn)算順序相匹配的學(xué)生熟悉的生活情境，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)實(shí)際問(wèn)題中的事理和數(shù)量關(guān)系體會(huì)運(yùn)算順序的合理性。

人教版教材先創(chuàng)設(shè)蹺蹺板樂(lè)園的情境，讓學(xué)生在求人數(shù)的過(guò)程中感悟運(yùn)算順序，再創(chuàng)設(shè)烤面包情境，讓學(xué)生鞏固對(duì)運(yùn)算順序的理解。蘇教版教材以文具店購(gòu)物情境貫穿整個(gè)單元教學(xué)，依托“一共用去多少元”“一共應(yīng)付多少元”“還可以買(mǎi)幾本筆記本”三個(gè)問(wèn)題串聯(lián)兩步混合運(yùn)算的教學(xué)。北師大版教材創(chuàng)設(shè)了與蘇教版類(lèi)似的購(gòu)物情境，也采用“應(yīng)找回多少元”“一共需要多少元”這樣的問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)生思考，還創(chuàng)設(shè)了坐船過(guò)河的情境引導(dǎo)學(xué)生理解含有小括號(hào)的兩步混合運(yùn)算的運(yùn)算順序。

（二）解決實(shí)際問(wèn)題，培養(yǎng)應(yīng)用能力

新課程改革以來(lái)，單純的計(jì)算題教學(xué)及應(yīng)用題教學(xué)已經(jīng)取消，數(shù)的運(yùn)算教學(xué)與解決問(wèn)題教學(xué)的融合是新課程改革所倡導(dǎo)的理念。換言之，學(xué)生在運(yùn)算技能形成的同時(shí)，問(wèn)題解決能力也得以提升，而在解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程中運(yùn)算能力又得以發(fā)展，兩者相輔相成。三版教材均遵循了新課程改革理念，將實(shí)際問(wèn)題作為教學(xué)運(yùn)算順序的載體，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷分步算式合并成綜合算式的過(guò)程，并在列綜合算式的過(guò)程中提高問(wèn)題解決的能力，感受綜合算式在解決實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用價(jià)值。

與蘇教版和北師大版教材相比，人教版教材單獨(dú)編排一課時(shí)教學(xué)列綜合算式解決實(shí)際問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生思考解題步驟并將分步算式合并為綜合算式，體現(xiàn)了對(duì)學(xué)生列綜合算式能力的重視，這對(duì)學(xué)生問(wèn)題解決能力的提升有很大的推動(dòng)作用。

三、三版教材中兩步混合運(yùn)算內(nèi)容編排的不同點(diǎn)

三版教材中兩步混合運(yùn)算內(nèi)容的編排既有共性，也有個(gè)性，主要表現(xiàn)如下。

（一）知識(shí)編排的整體性與關(guān)聯(lián)性不同

不含括號(hào)的兩步運(yùn)算式主要分為兩類(lèi)：一類(lèi)是同級(jí)運(yùn)算兩步式，如連加連減、加減混合、連乘連除、乘除混合;另一類(lèi)是兩級(jí)運(yùn)算兩步式，如乘加乘減、除加除減。其中加減混合、乘除混合、乘加乘減及除加除減均含有兩種運(yùn)算，因此又稱(chēng)為混合運(yùn)算。由此可知，兩步混合運(yùn)算主要包括同級(jí)混合運(yùn)算（加減混合、乘除混合）和兩級(jí)混合運(yùn)算（乘除法和加減法混合）?！盎旌线\(yùn)算”作為兩步混合運(yùn)算的起始單元，若教師能完整地進(jìn)行混合運(yùn)算的教學(xué)，幫助學(xué)生完整建構(gòu)兩步混合運(yùn)算的知識(shí)體系，學(xué)生便能進(jìn)行整體性、關(guān)聯(lián)性的學(xué)習(xí)，學(xué)習(xí)將會(huì)更加結(jié)構(gòu)化、系統(tǒng)化。然而，三版教材的編排存在較大差異。

由表1可知，人教版教材對(duì)于兩步混合運(yùn)算的內(nèi)容是按照同級(jí)運(yùn)算、乘除法和加減法混合運(yùn)算、帶括號(hào)的混合運(yùn)算、列綜合算式解決實(shí)際問(wèn)題這樣的思路來(lái)編排的，體現(xiàn)了整體化和結(jié)構(gòu)化。人教版教材在例1中編排了同級(jí)混合運(yùn)算，引導(dǎo)學(xué)生掌握遞等式計(jì)算的格式并總結(jié)同級(jí)混合運(yùn)算的運(yùn)算順序。學(xué)生在一年級(jí)時(shí)便對(duì)加減混合這樣的同級(jí)混合運(yùn)算順序有所感知，以此類(lèi)推乘除混合運(yùn)算順序顯得水到渠成。因此，教師可以將重點(diǎn)轉(zhuǎn)至遞等式格式的教學(xué)上。在學(xué)生已經(jīng)掌握遞等式書(shū)寫(xiě)格式要求的基礎(chǔ)上，例2的乘除法和加減法混合運(yùn)算及例3的帶括號(hào)的混合運(yùn)算的教學(xué)重心自然轉(zhuǎn)向運(yùn)算順序的總結(jié)和遷移上?；谇懊娴膶W(xué)習(xí)基礎(chǔ)，例4的列綜合算式解決實(shí)際問(wèn)題則可以將重心轉(zhuǎn)向如何分析題意列出綜合算式，更好地提升學(xué)生問(wèn)題解決的能力。由此發(fā)現(xiàn)，這樣的編排層次分明、目的清晰，有助于學(xué)生在遷移類(lèi)推中感受知識(shí)的關(guān)聯(lián)性，實(shí)現(xiàn)知識(shí)的整體建構(gòu)，促進(jìn)學(xué)生高階思維的發(fā)展。蘇教版教材在本單元中并未編排同級(jí)混合運(yùn)算的內(nèi)容，而是將其前置于二年級(jí)上冊(cè)中，時(shí)間間隔太長(zhǎng)以至于學(xué)生較難完整建構(gòu)混合運(yùn)算知識(shí)體系。此外，蘇教版教材雖在二年級(jí)上冊(cè)編排了乘加、乘減兩步混合運(yùn)算，但由于算式中乘法始終在前，因此總結(jié)的運(yùn)算順序?yàn)閺淖笸乙来斡?jì)算，反而為本單元的教學(xué)帶來(lái)了負(fù)遷移，阻礙學(xué)生對(duì)兩級(jí)混合運(yùn)算順序的正確建構(gòu)。北師大版教材將加減混合運(yùn)算的內(nèi)容前置于二年級(jí)上冊(cè)中，并未編排乘除混合運(yùn)算的內(nèi)容，不利于學(xué)生對(duì)知識(shí)的整體建構(gòu)與遷移類(lèi)推。

（二）對(duì)模型思想的關(guān)注程度不同

模型思想是小學(xué)生必備的核心素養(yǎng)與關(guān)鍵能力，能幫助學(xué)生體會(huì)及理解數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系，其形成過(guò)程主要經(jīng)歷三個(gè)階段：一是從生活中抽象出數(shù)學(xué)問(wèn)題，二是以數(shù)學(xué)符號(hào)表征問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，三是求出結(jié)果并討論結(jié)果的意義。三版教材的編排均關(guān)注到了模型思想的滲透，但在關(guān)注程度上有很大不同。

正如前文所言，三版教材均注重引導(dǎo)學(xué)生解決現(xiàn)實(shí)情境中的實(shí)際問(wèn)題，讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)抽象、符號(hào)表征、求出結(jié)果的過(guò)程。由此可見(jiàn)，三版教材均在幫助學(xué)生建立模型思想，構(gòu)建兩步混合運(yùn)算模型。但模型思想的建立還有很關(guān)鍵的一個(gè)步驟，即討論結(jié)果的意義。結(jié)果的意義一方面體現(xiàn)在所解決的問(wèn)題中，另一方面在于如何體現(xiàn)于一般問(wèn)題情境中，即運(yùn)算模型的一般化與生活化。蘇教版與人教版教材并未體現(xiàn)一般化與生活化的過(guò)程，北師大版教材則比較注重這方面的應(yīng)用。北師大版教材在例題及習(xí)題的編排中，多次設(shè)計(jì)了類(lèi)似“用（70-46）÷8還能解決什么問(wèn)題”“結(jié)合情境說(shuō)說(shuō)下面算式表示的意思”這樣的問(wèn)題。這種逆向提問(wèn)的設(shè)計(jì)，讓學(xué)生結(jié)合情境說(shuō)出綜合算式表示的意思，使得抽象的符號(hào)還原為具象的情境，讓學(xué)生能夠深入理解所建立的兩步混合運(yùn)算算式模型的一般化意義。通過(guò)這樣的方式，在突破教學(xué)重難點(diǎn)的同時(shí)也幫助學(xué)生建立模型思想，有助于學(xué)生用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界。

（三）題組練習(xí)的編排有明顯差異

如何幫助學(xué)生將混合運(yùn)算的運(yùn)算順序組織成相對(duì)完整的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，以便學(xué)生能夠及時(shí)提取并正確應(yīng)用，顯然題組練習(xí)是一個(gè)較好的途徑。題組練習(xí)可視為通向理解的階梯、突破難點(diǎn)的鑰匙、數(shù)學(xué)建模的模具。正如陳永明教授所說(shuō)，數(shù)學(xué)教學(xué)如果不搞題組，那就只好搞“題?！盵4]。然而，三版教材在題組練習(xí)的編排上存在著顯著的差異。

蘇教版教材在每節(jié)課的課后練習(xí)及單元練習(xí)中均設(shè)計(jì)了題組練習(xí)，根據(jù)設(shè)計(jì)意圖，將其分為三類(lèi)。第一類(lèi)重在引導(dǎo)學(xué)生在對(duì)比中感受不同的運(yùn)算順序會(huì)產(chǎn)生不同的運(yùn)算結(jié)果，體會(huì)運(yùn)算順序的重要性，幫助學(xué)生進(jìn)一步內(nèi)化運(yùn)算順序。如同級(jí)與兩級(jí)運(yùn)算的對(duì)比：56÷7×8與56-7×8;運(yùn)算符號(hào)在不同位置的對(duì)比：17×4+20與17+4×20;有無(wú)小括號(hào)的對(duì)比：90-40×2與（90-40）×2。第二類(lèi)重在引導(dǎo)學(xué)生在對(duì)比中感受運(yùn)算的特點(diǎn)，發(fā)展學(xué)生數(shù)感的同時(shí)提高其估算能力。如被減數(shù)相同的情況下減數(shù)與差的關(guān)系：90-38×2與90-38÷2。第三類(lèi)重在引導(dǎo)學(xué)生在對(duì)比中感受運(yùn)算性質(zhì)，體會(huì)運(yùn)用運(yùn)算性質(zhì)簡(jiǎn)化運(yùn)算的過(guò)程，進(jìn)一步提高學(xué)生的運(yùn)算能力。如減法運(yùn)算性質(zhì)的運(yùn)用：180-36-44與180-（36+44）;除法運(yùn)算性質(zhì)的運(yùn)用：320÷4÷2與320÷（4×2）。人教版教材雖然也設(shè)計(jì)了題組練習(xí)，但是數(shù)量較少且僅僅編排了上述第三類(lèi)及第一類(lèi)中有無(wú)小括號(hào)的對(duì)比題型。北師大版教材則整個(gè)單元均未編排題組練習(xí)，缺少題組對(duì)比，不利于學(xué)生對(duì)運(yùn)算順序的內(nèi)化。

四、教材比較的啟示

基于上述對(duì)三版教材的分析與比較，筆者提出以下教學(xué)建議，以便教師優(yōu)化教學(xué)設(shè)計(jì)，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

（一）注重整體教學(xué)，遷移類(lèi)推達(dá)成整體建構(gòu)

鄭毓信教授認(rèn)為，數(shù)學(xué)的對(duì)象并非一個(gè)個(gè)孤立的模式，而是整體性的建構(gòu)[5]。教師在教學(xué)中應(yīng)關(guān)注知識(shí)的“生長(zhǎng)點(diǎn)”與“延伸點(diǎn)”，注重知識(shí)的結(jié)構(gòu)與體系，幫助學(xué)生感受數(shù)學(xué)的整體性。為此，教師可以將同級(jí)混合運(yùn)算引入第一課時(shí)的教學(xué)中，給予學(xué)生完整建構(gòu)知識(shí)體系的機(jī)會(huì)。同級(jí)混合運(yùn)算是學(xué)生較早接觸的混合運(yùn)算，其運(yùn)算順序是學(xué)生容易理解的。教師應(yīng)充分發(fā)揮同級(jí)混合運(yùn)算的優(yōu)勢(shì)，并強(qiáng)化遞等式的書(shū)寫(xiě)格式，讓學(xué)生在反思交流中感受遞等式計(jì)算與分步計(jì)算的異同點(diǎn)，體會(huì)遞等式計(jì)算的價(jià)值，為后續(xù)兩級(jí)混合運(yùn)算及帶括號(hào)混合運(yùn)算順序的探究和列綜合算式解決實(shí)際問(wèn)題打好基礎(chǔ)。此外，教師應(yīng)充分發(fā)揮學(xué)生的遷移類(lèi)推能力，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)對(duì)先前所學(xué)知識(shí)進(jìn)行遷移與類(lèi)比推理，讓學(xué)生自主建構(gòu)新知，并結(jié)合實(shí)際情境解釋、驗(yàn)證所得結(jié)果。正如建構(gòu)主義理論所強(qiáng)調(diào)的，有效的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)要關(guān)注知識(shí)之間關(guān)系的聯(lián)通，對(duì)知識(shí)之間的因果關(guān)系有正確的把握，要善于將有聯(lián)系的知識(shí)或同一類(lèi)知識(shí)組成模塊，構(gòu)建完整的知識(shí)體系。在知識(shí)的遷移類(lèi)推中，學(xué)生發(fā)現(xiàn)了知識(shí)的前后關(guān)聯(lián)，這樣的學(xué)習(xí)才是有深度的學(xué)習(xí)，體現(xiàn)了“教育就是生長(zhǎng)”的教育哲學(xué)思想。

（二）滲透模型思想，逆向提問(wèn)助推能力提升

課程標(biāo)準(zhǔn)強(qiáng)調(diào)“四能”，即發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題的能力，分析和解決問(wèn)題的能力。如前文所述，本單元教學(xué)的難點(diǎn)是列綜合算式解決實(shí)際問(wèn)題。一方面，長(zhǎng)期的分步列式解答所形成的思維定式會(huì)干擾學(xué)生對(duì)綜合算式的解答。另一方面，綜合算式的解答需要學(xué)生對(duì)問(wèn)題的結(jié)構(gòu)和數(shù)量關(guān)系有宏觀的把握，并能將解題思路與運(yùn)算順序有機(jī)結(jié)合，難度顯而易見(jiàn)。對(duì)于如何更好地突破難點(diǎn)，北師大版教材中的逆向提問(wèn)法為教師提供了思路。教師可以將抽象的綜合算式意義一般化，轉(zhuǎn)變?yōu)槎鄻踊木呦笄榫?，使綜合算式的模型印入學(xué)生的腦海中，便于學(xué)生自主創(chuàng)建更多的綜合算式模型以解決實(shí)際問(wèn)題。因此，教師在教學(xué)中除了可以采用依據(jù)問(wèn)題列綜合算式解決實(shí)際問(wèn)題這樣的常態(tài)化教學(xué)方式，還可以采用“聯(lián)系情境說(shuō)說(shuō)這個(gè)算式表示的意思”“結(jié)合算式創(chuàng)編實(shí)際問(wèn)題”這樣的逆向提問(wèn)教學(xué)設(shè)計(jì)。根據(jù)實(shí)際情境列綜合算式，是生活化向數(shù)學(xué)化的轉(zhuǎn)變，而根據(jù)綜合算式想象實(shí)際情境，則是數(shù)學(xué)化向生活化的轉(zhuǎn)變。生活與數(shù)學(xué)的雙向互通，能夠有效實(shí)現(xiàn)直觀與抽象的相互交融，幫助學(xué)生建構(gòu)綜合算式模型，最終促成學(xué)生問(wèn)題解決能力的提升。

（三）構(gòu)建題組模塊，對(duì)比分析實(shí)現(xiàn)深度理解

比較是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要方式，通過(guò)比較，學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的認(rèn)知才能走向更深層次。在題型結(jié)構(gòu)、數(shù)量關(guān)系、解題方法、數(shù)學(xué)思想上構(gòu)建基于同一個(gè)數(shù)學(xué)模型的題組模塊，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行對(duì)比分析，能夠幫助學(xué)生對(duì)知識(shí)的深度理解與掌握。如前文所述，蘇教版教材中提供了意圖明確的三類(lèi)題組練習(xí)，教師可以充分運(yùn)用這三類(lèi)題組練習(xí)，挖掘練習(xí)背后的設(shè)計(jì)意圖，讓隱性的數(shù)學(xué)規(guī)律結(jié)構(gòu)化、可視化、算法化。同時(shí)，教師應(yīng)進(jìn)一步挖掘題組素材，引導(dǎo)學(xué)生基于現(xiàn)有題組續(xù)編練習(xí)，進(jìn)而構(gòu)建題組模塊。學(xué)生自主構(gòu)建題組模塊的過(guò)程，既是內(nèi)化知識(shí)的過(guò)程，也是運(yùn)用知識(shí)的過(guò)程，最終實(shí)現(xiàn)對(duì)知識(shí)的深度理解。此外，題組模塊的對(duì)象不僅僅局限于簡(jiǎn)單的混合運(yùn)算算式中，還可以是多道混合運(yùn)算實(shí)際問(wèn)題。教師可以構(gòu)建題型結(jié)構(gòu)、數(shù)量關(guān)系相近的實(shí)際問(wèn)題題組模塊，讓學(xué)生在解決問(wèn)題后進(jìn)一步嘗試?yán)m(xù)編題組，在不斷完善的題組模塊中發(fā)現(xiàn)一般性規(guī)律，強(qiáng)化對(duì)解決問(wèn)題過(guò)程的理解，培養(yǎng)和發(fā)展初步的數(shù)學(xué)建模意識(shí)與能力。

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