離散型和連續(xù)型改進(jìn)Karnik-Mendel算法在高階模糊系統(tǒng)降型中的關(guān)系研究*

陳 陽(yáng)，王 濤

(遼寧工業(yè)大學(xué)理學(xué)院,遼寧 錦州 121001)

1 引言

當(dāng)前，計(jì)算相對(duì)簡(jiǎn)單的區(qū)間二型模糊邏輯系統(tǒng)被成功應(yīng)用于如智能控制[1]、預(yù)測(cè)[2]、永磁驅(qū)動(dòng)[3]、故障診斷[4]和醫(yī)療系統(tǒng)[5]等諸多領(lǐng)域，它們是應(yīng)用最廣泛的一類模糊系統(tǒng)。盡管如此，自從廣義二型模糊集的α-平面(或稱z切片)[6 - 8]表達(dá)理論被幾個(gè)不同研究小組提出，許多研究者的關(guān)注點(diǎn)逐漸從區(qū)間二型模糊邏輯系統(tǒng)逐漸轉(zhuǎn)向了廣義二型模糊邏輯系統(tǒng)[9]。廣義二型模糊邏輯系統(tǒng)理論及其應(yīng)用研究[10 - 13]在近年來(lái)得到了較充分的發(fā)展。由于廣義二型模糊集的次隸屬度介于[0,1],因此，它們可看成比區(qū)間二型模糊集更高階的參數(shù)模型。隨著設(shè)計(jì)自由度增加，廣義二型模糊邏輯系統(tǒng)在處理不確定性上比區(qū)間二型模糊邏輯系統(tǒng)更具潛力。

一般來(lái)說(shuō)，二型模糊邏輯系統(tǒng)是由模糊器、推理機(jī)[14]、規(guī)則庫(kù)、降型器[15，16]和解模糊器5個(gè)模塊組成。首先，在推理機(jī)的指導(dǎo)下，二型模糊輸入集被轉(zhuǎn)化成二型模糊輸出集。接著，降型模塊把二型模糊集映射成一型模糊集。最終解模糊化把一型模糊集變成明確輸出。當(dāng)前，最流行的降型算法是源于計(jì)算區(qū)間二型模糊集質(zhì)心的KM(Karnik-Mendel)算法或改進(jìn)EKM(Enhanced Karnik-Mendel)算法[17,18]，這類計(jì)算密集的算法具有保持不確定性在上下級(jí)隸屬函數(shù)之間流動(dòng)的優(yōu)勢(shì)。國(guó)內(nèi)東南大學(xué)劉新旺教授等人[19]給出了EKM算法初始化的理論解釋，以連續(xù)CEKM(Continuous EKM)算法為計(jì)算基準(zhǔn)，擴(kuò)展EKM為3種不同形式的加權(quán)WEKM(Weighted EKM)來(lái)計(jì)算出更準(zhǔn)確的區(qū)間二型模糊集質(zhì)心左端點(diǎn)。但是，WEKM算法的計(jì)算速度稍稍慢于EKM算法的。

本文擴(kuò)展基準(zhǔn)的CEKM算法計(jì)算來(lái)完成廣義二型模糊邏輯系統(tǒng)質(zhì)心降型，主要目標(biāo)是提高離散EKM算法的計(jì)算精度。在研究中發(fā)現(xiàn)，不必對(duì)EKM算法進(jìn)行加權(quán)，當(dāng)適當(dāng)改變系統(tǒng)質(zhì)心輸出廣義二型模糊集主變量采樣個(gè)數(shù)時(shí)，離散EKM算法計(jì)算出的廣義二型模糊邏輯系統(tǒng)質(zhì)心降型集和解模糊化值結(jié)果就可以精確地逼近CEKM算法。

2 廣義二型模糊邏輯系統(tǒng)

(1)

其中，主變量x∈X，X為論域，次變量u∈[0,1]，式(1)為點(diǎn)-值表達(dá)式，其緊式如式(2)所示：

(2)

(3)

其中，x′表示任意主變量。

(4)

(5)

(6)

(7)

定義4Ae表示一個(gè)嵌入式一型模糊集，如式(8)所示:

Ae={(x,u(x)|?x∈X,u∈Jx}

(8)

(9)

式(7)可重新被表達(dá)為：

(10)

(11)

(12)

從推理結(jié)構(gòu)的角度看，廣義二型模糊邏輯可被分成2類：Mamdani型[10]和TSK(Takagi Sugeno Kang)型[20]。不失一般性，考慮一個(gè)Mamdani型廣義二型模糊邏輯系統(tǒng)，假設(shè)它有n個(gè)輸入x1∈X1,…,xn∈Xn和一個(gè)輸出y∈Y，其中，xi表示第i個(gè)變量，Xi為xi的論域，Y為y的論域。系統(tǒng)由M模糊規(guī)則描述，其中第s條規(guī)則為：

(13)

(14)

對(duì)于每條模糊規(guī)則，其相關(guān)的α水平下的激發(fā)區(qū)間如式(15)所示：

(15)

(16)

(17)

(18)

(19)

(20)

(21)

3 基于離散EKM和CEKM算法的廣義二型模糊邏輯系統(tǒng)質(zhì)心降型

對(duì)于離散EKM算法，聚合所有的α-平面YEKM,α(x′)構(gòu)成一型模糊集YEKM，即:

(22)

步驟1取k=[N/2.4](最接近N/2.4的整數(shù))且計(jì)算:

c′=a/b

步驟2找到k′∈[1,N-1]滿足yk′≤c′≤yk′+1;

步驟3核對(duì)是否k′=k,若滿足，終止且設(shè)置c′=cl，k=L；否則，進(jìn)入步驟4；

步驟4計(jì)算:

s=sign(k′-k)

且

c″(k′)=a′/b′

步驟5設(shè)置c′=c″(k),a=a′ 且b=b′并返回步驟2。

步驟1取k=[N/1.7](最接近N/1.7的整數(shù))且計(jì)算:

c′=a/b

步驟2同(1)中的步驟2。

步驟3除了設(shè)置c′=cr,k=R，其它同(1)中的步驟3。

步驟4計(jì)算:

s=sign(k′-k)

且

c″(k′)=a′/b′

步驟5同(1)中的步驟5。

(23)

(24)

步驟1取c=a+(b-a)/2.4且計(jì)算：

c′=α/β

步驟2核對(duì)是否 |c′-c|<ε(ε為給定的邊界誤差),若滿足，終止且設(shè)置c′=cl;否則，進(jìn)入步驟3。

步驟3計(jì)算：

s=sign(c′-c),

步驟4設(shè)置c=c′,c′=c″,α=α′,β=β′ 且返回步驟2。

步驟1取c=a+(b-a)/1.7且計(jì)算：

c′=α/β

步驟2核對(duì)是否 |c′-c|<ε(ε為給定的邊界誤差),若滿足，終止且設(shè)置c′=cr;否則，進(jìn)入步驟3；

步驟3計(jì)算：

s=sign(c′-c)

步驟4同(3)的步驟4。

(25)

最終的解模糊化輸出可由端點(diǎn)平均解模糊化方法計(jì)算，如式(26)所示：

(26)

觀察(1)～(4)，可總結(jié)出離散EKM算法和連續(xù)EKM算法的內(nèi)在聯(lián)系為：

(1) 離散EKM算法是基于離散點(diǎn)的求和運(yùn)算計(jì)算完成廣義二型模糊邏輯系統(tǒng)質(zhì)心降型。當(dāng)?shù)K止時(shí)，取得的優(yōu)化轉(zhuǎn)折點(diǎn)可近似估計(jì)質(zhì)心。連續(xù)EKM算法采用積分運(yùn)算完成廣義二型模糊邏輯系統(tǒng)質(zhì)心降型。從理論上說(shuō)，當(dāng)主變量離散，采樣點(diǎn)的個(gè)數(shù)趨于無(wú)窮時(shí)，離散EKM算法解就趨于連續(xù)EKM算法。

(2) 對(duì)于離散EKM算法，增加主變量采樣個(gè)數(shù)可能會(huì)取得更準(zhǔn)確的計(jì)算結(jié)果。對(duì)于連續(xù)EKM算法，控制相鄰2次迭代的邊界誤差可提高算法的計(jì)算精度。

(3) 離散EKM算法用求和運(yùn)算法完成數(shù)值計(jì)算。連續(xù)EKM算法用求積分運(yùn)算完成象征性的計(jì)算。總結(jié)起來(lái)，離散EKM算法可看成在數(shù)值積分方法下CEKM算法的數(shù)值實(shí)現(xiàn)。

4 仿真實(shí)驗(yàn)

本節(jié)給出2個(gè)仿真例子。在例1中，輸出廣義二型模糊集的FOU為分段線性函數(shù)，相關(guān)次隸屬函數(shù)(或稱垂直切片)為梯形函數(shù)。在例2中，輸出廣義二型模糊集的FOU是由高斯型函數(shù)和分段線性函數(shù)組成，相關(guān)次隸屬函數(shù)為三角形函數(shù)。這里假設(shè)廣義二型模糊邏輯系統(tǒng)的質(zhì)心輸出廣義二型模糊集已通過(guò)加權(quán)或聚合所有的激發(fā)模糊規(guī)則得出。此外，主變量用字母x表示。表1和圖1給出了所定義的FOU，而表2和圖2又給出了所定義的相關(guān)次隸屬函數(shù)。

Table 1 Membership function expressions for FOU of example 1 and example 2表1 例1和例2的FOU隸屬函數(shù)表達(dá)式

Figure 1 Graphs of FOU圖1 FOU圖

Table 2 Secondary membership function expressions of example 1 and example 2

Figure 2 Shape graphs of secondary membership functions圖2 次隸屬函數(shù)形狀圖

當(dāng)Δ取最大值100時(shí)，由基準(zhǔn)的CEKM算法計(jì)算出的質(zhì)心降型集如圖3所示。當(dāng)Δ以1為步長(zhǎng)從1到100變化時(shí)，基準(zhǔn)的CEKM算法計(jì)算出的質(zhì)心解模糊化值如圖4所示。

Figure 3 Centroid type-reduced sets computed by the CEKM algorithm圖3 CEKM算法計(jì)算出的質(zhì)心降型集

為了研究算法的計(jì)算精度，這里定義離散EKM算法和連續(xù)EKM算法在計(jì)算質(zhì)心降型集和質(zhì)心解模糊化值時(shí)的絕對(duì)誤差。當(dāng)取輸出廣義二型模糊集主變量采樣點(diǎn)個(gè)數(shù)分別為20,50,100,200,3 000 和17 000時(shí)，2個(gè)算法計(jì)算的質(zhì)心降型集左側(cè)隸屬函數(shù)和質(zhì)心解模糊化值絕對(duì)誤差分別如圖5和圖6所示。

為了進(jìn)一步定量研究誤差指標(biāo)，表3和表4又分別給出了在上述采樣點(diǎn)個(gè)數(shù)下離散EKM算法和連續(xù)EKM算法在計(jì)算質(zhì)心降型集左側(cè)隸屬函數(shù)和質(zhì)心解模糊化值時(shí)的絕對(duì)誤差的平均值。

觀察圖5、圖6、表3和表4，可以得出如下結(jié)論：

(1) 隨著主變量采樣個(gè)數(shù)的增加，無(wú)論是計(jì)算廣義二型模糊邏輯系統(tǒng)的質(zhì)心降型集還是質(zhì)心解模糊化值，離散EKM算法的計(jì)算結(jié)果都會(huì)越來(lái)越接近連續(xù)EKM算法，如圖5和圖6所示。

Figure 4 Centroid defuzzified values computed by the CEKM algorithm圖4 CEKM算法計(jì)算出的質(zhì)心解模糊化值

(2) 在例1中，當(dāng)取主變量采樣個(gè)數(shù)為200時(shí)，離散EKM算法計(jì)算質(zhì)心降型集的結(jié)果就與連續(xù)EKM算法的相同了；但在例2中(主隸屬函數(shù)是非線性函數(shù))，需要取采樣個(gè)數(shù)為17 000才能使離散EKM算法計(jì)算質(zhì)心降型集的結(jié)果與連續(xù)EKM算法的相同，如表3所示。

(3) 在計(jì)算質(zhì)心解模糊化值時(shí)，當(dāng)取主變量采樣個(gè)數(shù)為17 000時(shí)，例2中離散EKM算法的計(jì)算結(jié)果就與連續(xù)EKM算法的相同了，而例1中離散EKM算法的計(jì)算結(jié)果仍然不能完全與連續(xù)EKM算法的相同，但誤差(0.002 6)已經(jīng)很小了(如表4所示)，可適當(dāng)再增加采樣個(gè)數(shù)使離散EKM計(jì)算結(jié)果與連續(xù)EKM算法的相同。

Table 3 Mean absolute errors of left membership functions on centroid type-reduced set表3 質(zhì)心降型集左側(cè)隸屬函數(shù)的平均絕對(duì)誤差

Table 4 Average mean absolute errors of centroid defuzzified values表4 質(zhì)心解模糊化值平均值

Figure 5 Absolute errors of left centroid membership functions computed by two algorithms圖5 2個(gè)算法計(jì)算的質(zhì)心降型集左側(cè)隸屬函數(shù)絕對(duì)誤差值

Figure 6 Absolute errors of centroid defuzzified values computed by two algorithms圖6 2個(gè)算法計(jì)算的質(zhì)心解模糊化值絕對(duì)誤差值

5 結(jié)束語(yǔ)

本文比較并給出了離散EKM算法和連續(xù)EKM算法之間的內(nèi)在聯(lián)系。基于α-平面表達(dá)理論，對(duì)于推理輸出具有不同足跡不確定性和次隸屬函數(shù)的廣義二型模糊集，2個(gè)仿真實(shí)驗(yàn)表明了當(dāng)適當(dāng)增加主變量采樣個(gè)數(shù)時(shí)，離散EKM算法在計(jì)算質(zhì)心降型集和質(zhì)心解模糊化值時(shí)可以較好地逼近連續(xù)EKM算法。

在以后的工作中，作者將基于各類迭代和非迭代降型算法[25,26]研究二型模糊邏輯系統(tǒng)的中心集降型[27]，以及基于智能優(yōu)化算法的二型模糊邏輯系統(tǒng)在預(yù)測(cè)、模糊控制[28,29]和模糊系統(tǒng)辨識(shí)中的應(yīng)用等。