怎樣確定含參導(dǎo)數(shù)問(wèn)題中分類討論的“分界點(diǎn)”

范帥江

分類討論思想是高巾數(shù)學(xué)中的重要思想之一，主要應(yīng)用于解答出現(xiàn)的情況種類較多的問(wèn)題.在運(yùn)用分類討論思想解答含參導(dǎo)數(shù)問(wèn)題時(shí)，常常需對(duì)不同的情況進(jìn)行分類討論，然而很多同學(xué)卻無(wú)法找到含參導(dǎo)數(shù)問(wèn)題中分類討論的“分界點(diǎn)”，導(dǎo)致解題出錯(cuò).事實(shí)上，解題的關(guān)鍵在于如何確定含參導(dǎo)數(shù)問(wèn)題中分類討論的“分界點(diǎn)”.筆者認(rèn)為可以從以下兩個(gè)方面進(jìn)行考慮.

一、討論方程的判別式

很多導(dǎo)數(shù)問(wèn)題要求討論函數(shù)的單調(diào)性、單調(diào)區(qū)間、最值、極值、零點(diǎn)的個(gè)數(shù)等.解答這些問(wèn)題的關(guān)鍵在于運(yùn)用分類討論思想，討論求導(dǎo)后方程f'（x）=0的判別式與0之間的關(guān)系，進(jìn)而確定f'（x）=0的實(shí)數(shù)解.一般地，若△>0，方程有2個(gè)解;若△=0，方程有1個(gè)解;若△<0，方程無(wú)解.

例1.已知函數(shù)f（x）=lnx+

（ ∈R）.若當(dāng)x>l時(shí)，不等式f（x）<0恒成立，求

最小值.

解：由當(dāng)A≥

時(shí)，方程

的判別式△：l-4 2≤0，所以當(dāng)x>l時(shí)，f'（x）<0，導(dǎo)數(shù)f （x）在區(qū)間（1，+∞）上單調(diào)遞減，且廠（1）=0，故f（x）<0在區(qū)間（l，+∞）上恒成立，

①當(dāng)o< < 時(shí)，方程

+x- =0有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，且0<所以當(dāng)x∈1=

f（x）>o，導(dǎo)數(shù)f（x）單調(diào)遞增，且f（1）=0，f（x）>0恒成立，與題意不符;

②當(dāng)A≤0時(shí)，f（x）=lnx+

≥In x，因?yàn)閥= Inx在區(qū)間（1，+∞）上恒為正數(shù)，所以f（x）>o在區(qū)間（1，+∞）上恒成立，與題意不符;

綜上所述，當(dāng)x>l時(shí)，不等式f（x）<0恒成立，的最小值為

。

解答本題的關(guān)鍵在于確定分類討論的分界點(diǎn).在求出導(dǎo)函數(shù)后，根據(jù)方程-

x2+x -

=0的判別式與0之間的關(guān)系來(lái)確定參數(shù)

的取值范圍，然后再對(duì)應(yīng)的區(qū)間上討論導(dǎo)函數(shù)與0之間的關(guān)系，確定函數(shù)的單調(diào)性，以便構(gòu)造出滿足不等式f（x）<0恒成立的條件，求得A的最小值.

二、討論零點(diǎn)的個(gè)數(shù)

與零點(diǎn)有關(guān)的問(wèn)題在含參導(dǎo)數(shù)問(wèn)題中并不少見.在進(jìn)行分類討論時(shí)，要重點(diǎn)討論導(dǎo)函數(shù)f（x）=0的零點(diǎn)個(gè)數(shù)以及分布情況，在每種情況下討論參數(shù)的取值、函數(shù)的單調(diào)性、極值的大小等，最后綜合所有分類討論的結(jié)果，得到符合題意的答案.

例2.已知函數(shù)f（x）=a

∈R，若方程2f（x） -lnx+x+2 =0有三個(gè)解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

解：令g（x）=2f（x）-Inx+x+2= （2a - l）lnx+

+x+2，g'（x）=

（x>0），

①若a≥0，則當(dāng)X∈（o，1）時(shí)，g'（x）0，g（x）單調(diào)遞增，g（x）最多有2個(gè)零點(diǎn);②若a=

，則x∈（0，+∞），g'（x）≥0，g（x）單調(diào)遞增，g（x）最多有1個(gè)零點(diǎn);③若—

解得

與

，則當(dāng)x∈（o，1）或x∈（-2a，+∞）時(shí)，g'（x）>0，g（x）在（0，1）和（-2a，+∞）上單調(diào)遞增;當(dāng)X∈（I，-2a）時(shí)，g'（x）<0，g（x）單調(diào)遞減，

要使導(dǎo)數(shù)g（x）有3個(gè)零點(diǎn)，則有解得

，而g（e-2）= 4+e-2+2a（e2 -2）<0，g（e2）= e2+ 2a（e-2+2）>o，

綜上所述，若方程2f （.x） - Inx +x +2=0有三個(gè)解，則a的取值為

.

我們將方程有解的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)有零點(diǎn)的問(wèn)題，通過(guò)討論函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)情況，進(jìn)而求得參數(shù)a的取值范圍.

總之，在解答含參導(dǎo)數(shù)問(wèn)題時(shí)，同學(xué)們?cè)趯?duì)函數(shù)求導(dǎo)后要明確分類的對(duì)象是方程f'（x）=0的判別式或者y=f'（x）的零點(diǎn)，然后確定分類討論的“分界點(diǎn)”，討論判別式與0之間的關(guān)系、零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，從而快速找到解題的思路.

（作者單位：江蘇省啟東市第一中學(xué)）