一個幾何命題的向量證明及其初步應用與推廣

張禎珞 陳樹康

（羅源第一中學，福建 福州 350600）

一、命題呈現(xiàn)

命題：如圖1，在平行四邊形ABCD 中，若E、F 分別是AB、AD 邊上除點A 外的點，且AD=mAF，AB=nAE，EF 交AC 于點G，則AC=（m+n）AG.

圖1

向量是溝通代數(shù)與幾何的橋梁，以向量為工具可以把幾何性質(zhì)的探究轉(zhuǎn)化為向量的運算，在實際探究活動開展中，可以引導學生從向量解決平面幾何問題的“三步曲”出發(fā)，嘗試給出該命題的向量證明，增強綜合運用數(shù)學知識的實踐的能力.

二、命題的向量證明

證明：

三、命題的初步應用

在完成命題證明后可以嘗試讓學生思考命題的應用，可以從做過的習題等出發(fā)初步應用.

（一）在求線段比例問題方面的一些應用

例1.在ΔABC中，M 是BC 的中點，N 在AC 上且AN=2NC，AM 與BN 交于點P，求AP：PM 的值.

解：如圖2，在AM 延長線上取點D 使AM=MD，顯然四邊形ABCD 為平行四邊形.

圖2

該題的解答利用了化歸轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想，其實由該題可將命題進行特殊化，可得如下結(jié)論：

推論1：在△ABC中，M 是BC 的中點，若點N 在AC 上且AC=λAN（λ≠1），AM 與BN 交于點P，則有AP：PM=

證明類似于例1，這里從略.特別的當λ=2 時，由推論1 可得另一個常用的結(jié)論：

推論2：在△ABC中，重心G 到各頂點的距離與到相應頂點所對邊的中點的距離的比都是2：1.再從課內(nèi)熟悉的情形切換到課外的探索，可以引導學生思考若應用該命題來進行等分線段應該如何進行.

（二）在任意等分線段方面的應用［1］

從命題中，我們認識到，當m、n 為整數(shù)時就能得出任意等分線段的新方法，具體做法如下：如下圖3，以被截線段AB 為對角線任意作一平行四邊形，其對角線CD 將AB 二等分，過此二等分點E 作平行四邊形的兩鄰邊的平行線分別交兩鄰邊于F、G，連結(jié)D、F 的線段與AB 的交點H 是AB 的一個三等分點，F(xiàn)、G 的連線與AB 的交點I 是AB 的一個四等分點；同樣作出兩鄰邊的三等分點J、K，四等分點N、P，可作出被截線段的五、六、七、八等分點L、M、O、Q……

圖3

這種作圖法不用一等分、二等分……一步步作出所要的等分，比美國中學生發(fā)現(xiàn)的第二種眾所周知的任意等分線段的作圖法速度更快，更具一般性與實用性.

四、命題的推廣

類比于平面上命題的結(jié)論，可得其在三維空間中的推廣：

推廣：在平行六面體ABCD-A'B'C'D'中，若E、F、G 分別是棱AD、AB、AA'上除點A 外的點，且AD=mAE，AB=nAF，AA'=kAG，面EFG 交AC'于點P，則AC'=（k+m+n）AP.

證明：如圖4，連結(jié)AC 交EF 于H，?ABCD中AD=mAE，AB=nAF，

圖4

根據(jù)命題有

AC=（m+n）AH——①

又AC、AC'、AA'共面，

則H、P、G 三點共線，

在?ACC'A'中

AA'=kAG——②

由①②根據(jù)命題有

AC'=（k+m+n）AP.

特別地，當面A'BD∩AC'=P時，AC'=3AP，即體對角線AC'被截面A'BD三等分；另外推廣本身也可以用空間向量來證明，留待師生在后繼教學中進一步解決.