“數(shù)的運(yùn)算”教學(xué)中學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的培養(yǎng)

王倩

摘 要 “數(shù)的運(yùn)算”是數(shù)學(xué)教學(xué)的主要內(nèi)容之一，在義務(wù)教育第一、二學(xué)段的數(shù)學(xué)內(nèi)容中占有重要的地位。在“數(shù)的運(yùn)算”教學(xué)中可以從運(yùn)算方法探究中培養(yǎng)學(xué)生的遷移能力、分析能力和概括能力，從運(yùn)算題組練習(xí)中培養(yǎng)學(xué)生的比較能力、綜合分析能力和類推能力，從運(yùn)算知識應(yīng)用中培養(yǎng)學(xué)生算法的選擇能力、建模能力和推理能力。

關(guān)鍵詞 小學(xué)數(shù)學(xué) 數(shù)的運(yùn)算 思維能力

數(shù)學(xué)是思維的體操，數(shù)學(xué)在培養(yǎng)人的思維能力方面有著其他學(xué)科不可替代的作用。數(shù)的運(yùn)算是數(shù)學(xué)教學(xué)傳統(tǒng)內(nèi)容之一，在義務(wù)教育第一、二學(xué)段的數(shù)學(xué)內(nèi)容中占有重要的地位，在數(shù)的運(yùn)算教學(xué)中不僅可以發(fā)展學(xué)生的運(yùn)算能力，還可以有效培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力。林崇德指出，思維能力主要包括數(shù)學(xué)概念、判斷、推理等基本思維形式，以及比較、分類、概括、類比、歸納與演繹、分析與綜合等思維方法。下面筆者結(jié)合自己的教學(xué)實(shí)踐談一談如何在數(shù)的運(yùn)算教學(xué)中培養(yǎng)小學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力。

一、在運(yùn)算方法探究中培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力

1.在運(yùn)算方法探究中培養(yǎng)遷移能力

遷移是指學(xué)生將以前獲得的知識、技能、經(jīng)驗(yàn)和方法對新的學(xué)習(xí)情境中的知識與技能的獲得、經(jīng)驗(yàn)的積累和方法形成造成的影響。數(shù)學(xué)知識的特點(diǎn)之一是聯(lián)系性緊密，前后數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容保持著一定程度的連續(xù)性，學(xué)生在學(xué)習(xí)新的運(yùn)算時(shí)，容易將已有的知識、經(jīng)驗(yàn)和方法遷移到新的學(xué)習(xí)活動中來。如學(xué)生在學(xué)習(xí)整十?dāng)?shù)乘一位數(shù)口算20×3時(shí)，想到一位數(shù)乘一位數(shù)2×3=6，根據(jù)2×3的積得出20×3=60，這樣的算法就是一種遷移，不僅如此，接下來會繼續(xù)把這種算法再遷移到200×3等整百整十?dāng)?shù)乘一位數(shù)的口算中，最后總結(jié)出算法。再如在學(xué)習(xí)加法運(yùn)算律時(shí)，當(dāng)學(xué)生根據(jù)5+6=6+5、84+16=16+84、845+23=23+845這幾個加法算式總結(jié)出加法交換律之后，學(xué)生會把相關(guān)的經(jīng)驗(yàn)再遷移應(yīng)用到乘法交換律的規(guī)律總結(jié)上。因此，學(xué)生在進(jìn)行新知運(yùn)算學(xué)習(xí)時(shí)，只要新的運(yùn)算與舊有的運(yùn)算在結(jié)構(gòu)形式上有相似的地方，教師就不妨讓學(xué)生嘗試探究算法，學(xué)生經(jīng)歷自主嘗試探究的過程就能較好地培養(yǎng)遷移能力。

2.在運(yùn)算方法探究中培養(yǎng)分析能力

分析原本是將研究對象的整體分為各個部分，并分別加以考察的認(rèn)識活動。在數(shù)的運(yùn)算教學(xué)中可以結(jié)合適當(dāng)?shù)膬?nèi)容培養(yǎng)學(xué)生的分析能力。如學(xué)生在學(xué)習(xí)兩位數(shù)乘一位數(shù)的筆算方法時(shí)，借助小棒把12×3進(jìn)行分拆計(jì)算。學(xué)生結(jié)合小棒圖，有的先算3捆一共有多少根，算式是10×3=30，再算3個2根是多少根，算式是2×3=6，然后把兩次運(yùn)算的結(jié)果加起來;有的學(xué)生則是先算3個2根是多少根，算式是2×3=6，再算3捆一共有多少根，算式是10×3=30，最后把兩次運(yùn)算的乘積相加。雖然對于兩位數(shù)乘一位數(shù)的運(yùn)算的先后順序不同，但是都能夠清楚地表達(dá)算式的算理。再如學(xué)習(xí)兩位數(shù)除以一位數(shù)46÷2時(shí)，借助小棒圖分一分，先分4捆，把4捆平均分成2份，每份是2捆也就是20根，算式是40÷2=20;再分6根，把6根平均分成2份，每份是3根，算式是6÷2=3，然后把兩次分得的結(jié)果相加。也可以先分6根，平均每份是3根;再分4捆的，平均每份是2捆，也就是20根，然后再把兩次分得的結(jié)果相加。學(xué)生在這個過程中就是把乘法的運(yùn)算分析過程遷移到了除法的運(yùn)算中來，而后教師引導(dǎo)學(xué)生把橫式分拆運(yùn)算與豎式運(yùn)算對應(yīng)起來幫助學(xué)生理解總結(jié)豎式算法。教師引導(dǎo)學(xué)生針對算法過程進(jìn)行分析，培養(yǎng)了學(xué)生的分析能力。

3.在運(yùn)算方法探究中培養(yǎng)概括能力

概括是人腦在比較和抽象的基礎(chǔ)上，把抽象出來的事物的共同本質(zhì)特征綜合起來，并推廣到同類事物的過程。學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)的運(yùn)算的過程中，需要總結(jié)概括運(yùn)算方法，如學(xué)習(xí)小數(shù)乘小數(shù)時(shí)，在例題中呈現(xiàn)了兩個乘法算式3.8×3.2和1.15×3.2，學(xué)生根據(jù)小數(shù)乘整數(shù)的算法進(jìn)行探究轉(zhuǎn)化成整數(shù)乘法進(jìn)行計(jì)算，從3.8×3.2轉(zhuǎn)化成38×32這個乘法算式中發(fā)現(xiàn)每一個乘數(shù)都乘10了，所以得出的乘積就是原來積的100倍，要把現(xiàn)在的乘積除以100才能夠得到原來算式的結(jié)果，所以在整數(shù)乘積中按照從右向左數(shù)出兩位點(diǎn)上小數(shù)點(diǎn)，而后用同樣的思考方式得出1.15×3.2的乘積，教師接著引導(dǎo)學(xué)生觀察兩個算式，提出問題：兩個乘數(shù)的小數(shù)位數(shù)與積的小數(shù)位數(shù)有什么聯(lián)系？小數(shù)乘法應(yīng)該怎樣運(yùn)算？學(xué)生在教師的問題引導(dǎo)下對算法進(jìn)行概括，學(xué)生經(jīng)過討論概括出小數(shù)乘法的運(yùn)算方法：先按照整數(shù)乘法的運(yùn)算方法進(jìn)行運(yùn)算，乘數(shù)中一共有幾位小數(shù)，就從積的右邊起數(shù)出幾位點(diǎn)上小數(shù)點(diǎn)，學(xué)生在這樣的算法探究過程中培養(yǎng)了概括能力。

二、在運(yùn)算題組練習(xí)中培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力

1.在運(yùn)算題組練習(xí)中培養(yǎng)比較能力

比較是把多組事物放在一起辨別事物的相同屬性或者尋找不同差異的思維過程。在數(shù)的運(yùn)算練習(xí)中經(jīng)常會出示幾組算式，讓學(xué)生進(jìn)行比較，從題組中發(fā)現(xiàn)、總結(jié)運(yùn)算規(guī)律。如學(xué)生在學(xué)習(xí)了三位數(shù)除以一位數(shù)的整數(shù)除法，在練習(xí)中就出現(xiàn)了算一算、比一比的一組練習(xí)，第一組：423÷3，423÷4，423÷6;第二組：672÷6，620÷6，602÷6。第一組的三個練習(xí)主要是讓學(xué)生通過比較發(fā)現(xiàn)：（1）被除數(shù)相同，除數(shù)不同，商就不同，除數(shù)越大，商越小;反之，除數(shù)越小，商越大。（2）都是三位數(shù)除以一位數(shù)，如果被除數(shù)的最高位上的數(shù)字大于或等于除數(shù)，商就是三位數(shù);反之，商就是兩位數(shù)。第二組的三個練習(xí)主要讓學(xué)生通過比較發(fā)現(xiàn)：（1）除數(shù)相同，被除數(shù)不同，被除數(shù)越大，商越大;被除數(shù)越小，商越小。（2）被除數(shù)的百位數(shù)字是除數(shù)的倍數(shù)，十位數(shù)字如果大于除數(shù)，商的中間就沒有0;十位數(shù)字如果小于除數(shù)，商的中間就有0。如果十位數(shù)字是0，個位數(shù)字小于除數(shù)，商的十位數(shù)字和個位數(shù)字也都有0。通過這樣的一組算式的比較，發(fā)現(xiàn)除法算式的特點(diǎn)以便于準(zhǔn)確判斷商，提高試商的速度和準(zhǔn)確率，培養(yǎng)小學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力。

2.在運(yùn)算題組練習(xí)中培養(yǎng)綜合分析能力

數(shù)的運(yùn)算中有一類練習(xí)是算式謎，也叫蟲食算，這類練習(xí)是一種含有一些字母、符號或有空缺數(shù)字的算式。算式謎因?yàn)閿?shù)學(xué)思維含量比較高，難度比較大，所以一般都是出現(xiàn)在思考題中，在數(shù)的運(yùn)算教學(xué)中呈現(xiàn)算式謎題組可以有效幫助學(xué)生提高綜合分析算式的能力。如學(xué)生學(xué)習(xí)了兩三位數(shù)除以一位數(shù)的除法之后，在復(fù)習(xí)中就出現(xiàn)了如圖1的算式謎。教師引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會分析：圖1的第一個算式，根據(jù)商的十位數(shù)字6知道第一次與3的乘積是18，這樣被除數(shù)的前兩位數(shù)應(yīng)該是18加2得20，然后從最后的差2是2□與□7相減得來的，可以推斷出2□的個位數(shù)字9，那么這個被除數(shù)的個位數(shù)字也是9，□7的十位數(shù)字是2。

算式謎既包含除法的相關(guān)知識，又包含了乘法、加法和減法的相關(guān)知識，除此之外，更是注重學(xué)生對運(yùn)算過程性學(xué)習(xí)的一種檢測，通過算式謎這樣的練習(xí)有效培養(yǎng)小學(xué)生綜合應(yīng)用知識有序分析的能力。

3.在運(yùn)算題組練習(xí)中培養(yǎng)類推能力

類推就是根據(jù)已有的一些事物的性質(zhì)、特點(diǎn)、規(guī)律推理出和它同類的其他事物的性質(zhì)、特點(diǎn)、規(guī)律。在數(shù)的運(yùn)算中經(jīng)常有這樣的練習(xí)，先找出規(guī)律再直接寫出后面算式的商，其本質(zhì)上就是找出幾個算式的共同特點(diǎn)以及內(nèi)在規(guī)律，然后進(jìn)行類推。從圖2習(xí)題的第一組算式中發(fā)現(xiàn)它們的第一個乘數(shù)都是37，第二個乘數(shù)都是3的倍數(shù)，積都是111的倍數(shù)，這是算式的特點(diǎn)，找到了這些算式的特點(diǎn)后還要找算式之間的內(nèi)在規(guī)律，如第二個乘數(shù)是3的幾倍，積就是111的幾倍，教師再引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行深層次的總結(jié)：在乘法算式中，一個因數(shù)不變，另一個因數(shù)乘幾，積也就乘幾，總結(jié)出積的變化規(guī)律。當(dāng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)了算式的特點(diǎn)和內(nèi)在規(guī)律后就可以繼續(xù)進(jìn)行類推，通過這樣的題組練習(xí)，有效培養(yǎng)了小學(xué)生的類推能力。

三、在運(yùn)算知識應(yīng)用中培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力

1.在運(yùn)算知識應(yīng)用中培養(yǎng)算法選擇和靈活運(yùn)用能力

靈活性是指思維活動的靈活程度，是學(xué)生在數(shù)學(xué)思維活動中，思考的方向、過程與思維技巧的即時(shí)轉(zhuǎn)換水平的集中體現(xiàn)[1]。算法選擇的靈活性就是根據(jù)問題解決的需要靈活選擇算法進(jìn)而快捷、正確解決問題。因?yàn)樵趯?shí)際解決問題中常常會用到多種算法解決問題，有的需要精算，有的可以口算，有的需要估算，有的還可以使用計(jì)算器進(jìn)行運(yùn)算，這就需要學(xué)生面對實(shí)際問題時(shí)能夠根據(jù)問題中的數(shù)據(jù)信息以及所要解決的實(shí)際問題對算法進(jìn)行靈活選用。如蘇教版六年級下冊第74頁的一組問題：解答下面的問題，各適合口算、筆算、估算，還是使用計(jì)算器計(jì)算？先想一想，再解答。（1）一個階梯教室有15排座位，每批20個，一共有多少個座位？（2）電影院樓下有698個座位，樓上有219個座位，這個電影院能夠同時(shí)容納1000人看電影嗎？（3）在一個能容納5萬人的體育館里，一場足球賽的上座率大約是75%，大約有多少人看了這場足球賽？（4）據(jù)第六次全國人口普查統(tǒng)計(jì)，上海市有2301.91萬人，其中65周歲以上的約占10.1%，65周歲以上的有多少人？出示這組問題后，先讓學(xué)生獨(dú)立思考，然后個別交流，引導(dǎo)學(xué)生注意傾聽準(zhǔn)備評價(jià)。第一個問題，需要計(jì)算出具體個數(shù)，而且數(shù)目不是很大，因此口算就可以了;第二個問題是一個典型的估算問題;第三個問題需要進(jìn)行筆算;第四個問題用計(jì)算器計(jì)算比較方便。當(dāng)學(xué)生解答完這組題目之后，教師還要引導(dǎo)學(xué)生對問題進(jìn)行比較，引導(dǎo)學(xué)生明確要根據(jù)題目的具體情況靈活選擇算法，通過比較明晰各種算法的特點(diǎn)，以便于學(xué)生靈活選用。

2.在運(yùn)算知識應(yīng)用中培養(yǎng)算法模型的建立和解釋能力

算法模型就是在運(yùn)算過程中應(yīng)該遵循的基本運(yùn)算程序以及規(guī)律，混合運(yùn)算中的乘加模型、三步混合運(yùn)算模型等就是對運(yùn)算程序和算法法則的一種模型建立。如整數(shù)乘法運(yùn)算律的模型應(yīng)用，當(dāng)學(xué)生解答兩步連乘問題“一部電視劇每天播放2集，每集35分鐘，一共播放了15天。這部電視劇全長多少分鐘？” 用這樣的兩種方法35×2×15或35×（2×15）時(shí)就是對乘法結(jié)合律模型的一種建立。再如學(xué)生解答行程類相遇問題“甲、乙兩車同時(shí)從A、B兩地相對開出，甲車每小時(shí)行駛86千米，乙車每小時(shí)行駛114千米，經(jīng)過3小時(shí)兩車相遇。A、B兩地相距多少千米”用兩種方法86×3+114×3和（86+114）×3時(shí)就是對乘法分配律模型的應(yīng)用和解釋。小學(xué)生在這樣的運(yùn)算應(yīng)用中初步感悟建構(gòu)、解釋算法模型。

3.在運(yùn)算知識應(yīng)用中培養(yǎng)推理能力

小學(xué)數(shù)學(xué)運(yùn)算多是滲透在問題解決中的，所以，問題解決中也往往伴隨著學(xué)生推理能力的培養(yǎng)。一年級百以內(nèi)的加減法的運(yùn)算解決的多是一步運(yùn)算的問題，而一步運(yùn)算的問題多屬于直接推理。如學(xué)生在解決一1班第一組有12名同學(xué)，其中有7名男生，女生有幾人？因?yàn)轭}目中的兩個條件是直接關(guān)聯(lián)的，所以可以直接用12-7進(jìn)行運(yùn)算，在解釋的時(shí)候，12是兩個數(shù)的和，7是其中的一部分，求另一部分是多少，用減法。到了中年級的時(shí)候，學(xué)生學(xué)習(xí)了更多的運(yùn)算，隨之應(yīng)用解決的問題難度也有所增加，最關(guān)鍵的是條件與問題不是直接關(guān)聯(lián)，所以增加一步或兩步，這樣在數(shù)的運(yùn)算應(yīng)用解決問題就是屬于間接推理，如學(xué)生學(xué)習(xí)兩位數(shù)乘兩位數(shù)之后，安排了兩步連乘問題，在這樣的運(yùn)算應(yīng)用中提升學(xué)生的間接推理能力，實(shí)現(xiàn)培養(yǎng)思維能力的目標(biāo)。

總之，教師應(yīng)該有目的、有計(jì)劃地開展運(yùn)算教學(xué)，使小學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力在數(shù)的運(yùn)算的各個教學(xué)環(huán)節(jié)得到有效發(fā)展。

參考文獻(xiàn)

[1] 林崇德.智力發(fā)展與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)[M].北京：中國輕工業(yè)出版社，2011：141.

[責(zé)任編輯：郭振玲]