基于計(jì)算機(jī)應(yīng)用的離散數(shù)學(xué)教學(xué)探索研究

孫兵

摘要：離散數(shù)學(xué)在計(jì)算機(jī)學(xué)科教學(xué)科目的一個(gè)重要組成部分，其中具有抽象概念比較多元化、理論內(nèi)容較多等等特點(diǎn)對(duì)此，本文著重研究了如何有效將計(jì)算機(jī)實(shí)際案例融入到教學(xué)過程當(dāng)中，盡可能幫助學(xué)生強(qiáng)化對(duì)于這些抽象概念的理解，進(jìn)一步提升教學(xué)質(zhì)量，讓學(xué)生獲得更多學(xué)習(xí)收獲。

關(guān)鍵詞：計(jì)算機(jī)應(yīng)用;離散數(shù)學(xué);教學(xué)策略

引言：

離散數(shù)學(xué)在計(jì)算機(jī)專業(yè)中是比較關(guān)鍵的一門基礎(chǔ)課程，在開設(shè)眾多的專業(yè)課程之前，需要開設(shè)離散數(shù)學(xué)這門課程來加強(qiáng)對(duì)于基礎(chǔ)知識(shí)的鞏固，才能更好的學(xué)習(xí)計(jì)算機(jī)課程。課程針對(duì)主要研究對(duì)象就是一些復(fù)雜的數(shù)字化對(duì)象，可以使用比較多元化的定義來對(duì)于研究對(duì)象進(jìn)行闡述，將這些定義進(jìn)行闡發(fā)性解釋。學(xué)生在沒有學(xué)習(xí)之前，一看見書上的文字比較枯燥，并不想進(jìn)行深入的學(xué)習(xí)，也不會(huì)思考學(xué)習(xí)這門課程有什么用。因此，如果在教學(xué)過程中只是為了讓學(xué)生學(xué)習(xí)到更多的知識(shí)去講解一些課本內(nèi)容，那么就喪失了教育本身所存在的意義。如何提升學(xué)生對(duì)于計(jì)算機(jī)課程的學(xué)習(xí)興趣，提升學(xué)生的學(xué)習(xí)能力，是教育人員所關(guān)注的熱點(diǎn)問題。

1.離散數(shù)學(xué)課程的教學(xué)內(nèi)容、特點(diǎn)及問題

離散數(shù)學(xué)所研究的主要是數(shù)據(jù)的離散量以及相關(guān)數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)之間聯(lián)系的一門數(shù)學(xué)科目，也是計(jì)算機(jī)等一些專業(yè)課教學(xué)的基礎(chǔ)課。這門課程所包含的主要內(nèi)容多元化，其中有數(shù)據(jù)基礎(chǔ)結(jié)構(gòu)、操作系統(tǒng)的優(yōu)化、人工數(shù)據(jù)庫構(gòu)建等多方面內(nèi)容，與此同時(shí)，還可以幫助強(qiáng)化學(xué)生的抽象性思維，為學(xué)生在后面的計(jì)算機(jī)課程學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)。與此同時(shí)，離散數(shù)學(xué)在數(shù)學(xué)科目學(xué)習(xí)中所發(fā)揮的作用不僅僅是基礎(chǔ)奠基，還有促進(jìn)計(jì)算機(jī)學(xué)科不斷可持續(xù)發(fā)展的重要意義。在2002年時(shí)，我國計(jì)算機(jī)科學(xué)部門以及相關(guān)技術(shù)委員會(huì)就將離散數(shù)學(xué)這門學(xué)科做好了明確定位，將其設(shè)置成為計(jì)算機(jī)學(xué)科教學(xué)過程中必不可少的一個(gè)關(guān)鍵教學(xué)科目。并且該科目在計(jì)算機(jī)科學(xué)課程體系制定過程中起到了理論奠基作用，主要體現(xiàn)在以下幾個(gè)方面：

（1）離散數(shù)學(xué)是一門比較關(guān)鍵的基礎(chǔ)課，其中的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)為計(jì)算機(jī)處理數(shù)據(jù)提出了有效方案，并且可以對(duì)于處理對(duì)象進(jìn)行科學(xué)闡述，實(shí)現(xiàn)對(duì)數(shù)據(jù)的真實(shí)轉(zhuǎn)變。計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)的許多領(lǐng)域中都需要使用到離散結(jié)構(gòu)的概念，在未來的學(xué)術(shù)發(fā)展過程中，在專業(yè)課學(xué)習(xí)上也會(huì)實(shí)現(xiàn)廣泛而深入的應(yīng)用。[1]

（2）離散數(shù)學(xué)的教學(xué)會(huì)讓學(xué)生了解到更多專業(yè)的計(jì)算機(jī)學(xué)習(xí)方法，讓他們不斷優(yōu)化思維，面對(duì)抽象化的概念可以在大腦中進(jìn)行靈活的數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化。離散數(shù)學(xué)主要是應(yīng)用數(shù)字語言來進(jìn)行離散系統(tǒng)描述的主要變化過程，也是對(duì)于數(shù)據(jù)的調(diào)整、整合過程，是開展數(shù)量統(tǒng)計(jì)分析的專業(yè)工具。

（3）學(xué)習(xí)離散數(shù)學(xué)有利于能力培養(yǎng)。不僅僅包括學(xué)習(xí)能力的提升，還可以強(qiáng)化學(xué)生的創(chuàng)新能力，和對(duì)于知識(shí)的實(shí)際應(yīng)用能力。傳統(tǒng)的離散數(shù)學(xué)在課本的內(nèi)容過程中往往比較注重理論知識(shí)的教學(xué)，很少將其中抽象化的概念與計(jì)算機(jī)實(shí)際應(yīng)用問題進(jìn)行有效結(jié)合。在實(shí)際教學(xué)過程中，學(xué)生會(huì)將離散數(shù)學(xué)當(dāng)成一門課程，不能發(fā)揮課程在計(jì)算機(jī)應(yīng)用的實(shí)際效果。因?yàn)榻逃块T計(jì)算機(jī)技術(shù)教學(xué)委員會(huì)所出版的相關(guān)研究規(guī)范曾明確對(duì)于離散數(shù)學(xué)課程教學(xué)提出了一些教學(xué)意見，其中指出，應(yīng)當(dāng)在離散數(shù)學(xué)課程教學(xué)過程中引入更多實(shí)體化的例子，和生活進(jìn)行有效結(jié)合，并且在闡述抽象理論的同時(shí)引入更多實(shí)踐應(yīng)用案例。[2]筆者認(rèn)為，在教學(xué)離散數(shù)學(xué)的課堂中，應(yīng)當(dāng)在講解理論的基礎(chǔ)之上加深對(duì)于應(yīng)用的認(rèn)知，將后續(xù)的專業(yè)課學(xué)習(xí)內(nèi)容潛移默化的融入到課程教學(xué)環(huán)節(jié)中，從學(xué)科的實(shí)質(zhì)性內(nèi)容出發(fā)，幫助學(xué)生更好的了解知識(shí)，提升學(xué)習(xí)成效。

2.基于計(jì)算機(jī)應(yīng)用的離散數(shù)學(xué)教學(xué)探索

2.1表述離散數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)的聯(lián)系，引起學(xué)生的重視

在傳統(tǒng)的教學(xué)過程中，學(xué)生對(duì)于離散數(shù)學(xué)這門課程往往認(rèn)為內(nèi)容比較抽象化，所學(xué)習(xí)到的知識(shí)并不能應(yīng)用到現(xiàn)實(shí)生活當(dāng)中，對(duì)于學(xué)習(xí)過程中所學(xué)習(xí)到的知識(shí)，以及如何有效應(yīng)用到未來的發(fā)展中比較迷茫，認(rèn)知不到位。因此，在日常的教學(xué)過程中，教師在課程最初不應(yīng)直接傳遞知識(shí)內(nèi)容，而是向?qū)W生引入一些問題，傳遞學(xué)習(xí)的知識(shí)點(diǎn)將會(huì)應(yīng)用在計(jì)算機(jī)學(xué)習(xí)的哪些領(lǐng)域，由此來吸引學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。[3]在離散數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，關(guān)系到很多重要的知識(shí)點(diǎn)，比如說關(guān)系性質(zhì)以及等價(jià)關(guān)系等等內(nèi)容，這些都對(duì)學(xué)生后期學(xué)習(xí)計(jì)算機(jī)專業(yè)課具有重要意義，將其和一些投影、選擇都操作進(jìn)行關(guān)聯(lián)，內(nèi)容將會(huì)更加全面。除此以外，還有學(xué)到的家族樹、二元樹及二叉樹之間的排布關(guān)系，在下學(xué)期學(xué)習(xí)數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)時(shí)也可以發(fā)揮關(guān)鍵作用，這些理論可以作為專業(yè)課的基礎(chǔ)知識(shí)，內(nèi)在含有較多聯(lián)系，教師需要明確向?qū)W生傳遞這一理念。

2.2計(jì)算思維的培養(yǎng)

講清這一內(nèi)容，教師就應(yīng)當(dāng)思考如何使用更加有效的方式來引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)這門課程，讓學(xué)生獲得更多的知識(shí)成果。與此同時(shí)，還需要在教學(xué)過程中讓學(xué)生利用計(jì)算機(jī)的思維模式學(xué)習(xí)更多的專業(yè)內(nèi)容，養(yǎng)成利用計(jì)算機(jī)思維去看待學(xué)習(xí)問題的習(xí)慣，系統(tǒng)化的分析人類的行為模式，并且做好對(duì)于理論知識(shí)的實(shí)際化應(yīng)用。比如說，在講解遞歸計(jì)算思維模式時(shí)，由于這種計(jì)算模式可以被看作是一項(xiàng)比較抽象的表達(dá)手段，也是問題進(jìn)行解決的有效方法，在計(jì)算機(jī)教學(xué)領(lǐng)域中至關(guān)重要。其中關(guān)鍵的操作能力在于可以利用一些有限制性的語句進(jìn)行定義對(duì)象的整合，實(shí)現(xiàn)數(shù)據(jù)的集合歸類。[4]比如說老和尚給小和尚講故事的這個(gè)民間玩笑，可以被看作是一種遞歸計(jì)算，通過一連串重復(fù)的語句，來表達(dá)一個(gè)內(nèi)容。引用這一案例來進(jìn)行講解，就可以進(jìn)一步優(yōu)化學(xué)生的計(jì)算思維，讓學(xué)生充分理解這些抽象內(nèi)容。

2.3加強(qiáng)實(shí)踐環(huán)節(jié)，增強(qiáng)應(yīng)用能力

離散數(shù)學(xué)被看作是計(jì)算機(jī)專業(yè)課的基礎(chǔ)課程之一，所學(xué)習(xí)的概念以及一些抽象內(nèi)容性質(zhì)往往都與計(jì)算機(jī)編程課具有潛在的聯(lián)系，所以可以選擇一些知識(shí)點(diǎn)，利用算法的講解通過編程語言進(jìn)行轉(zhuǎn)換。比如說，在講解最小生成樹這一概念時(shí)，可以從公路圖中分析算法，進(jìn)行有效厘清，假設(shè)一個(gè)情況，一個(gè)人計(jì)劃去五個(gè)城市旅游，想要獲得最佳的旅游路線，可以用不同的點(diǎn)做出標(biāo)記，記錄五個(gè)城市，將兩個(gè)城市的距離放置在邊上，然后找到一條連通的路，即為最佳路線。要想進(jìn)行編程數(shù)據(jù)的轉(zhuǎn)換，首先要利用這一算法進(jìn)行簡(jiǎn)單的描述，然后進(jìn)行圖例計(jì)算，討論算法的相關(guān)代碼，最后讓學(xué)生利用數(shù)字設(shè)備寫出來。除此以外，教師還可以利用另外一種算法——Prim算法，比較這兩種算法的差距，然后通過實(shí)踐活動(dòng)，進(jìn)一步提升學(xué)生操作應(yīng)用能力。

2.4拋出問題，引起學(xué)生的注意

教師在講解時(shí)可以引入一些問題，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。比如說在講解二元前綴碼這一課程內(nèi)容時(shí)，可以詢問學(xué)生是否會(huì)存在兩片完全一致的樹葉，引發(fā)學(xué)生的思考，或者問詢學(xué)生樹葉和計(jì)算機(jī)編碼之間存在什么內(nèi)在聯(lián)系嗎，也可以在講歐拉圖時(shí)，問學(xué)生如何才能夠滿足條件，制作出符合規(guī)定的歐拉圖。學(xué)生聽到這些問題就可以引發(fā)思考，提升學(xué)習(xí)興趣，帶著探索的心理去學(xué)習(xí)，進(jìn)一步提升學(xué)習(xí)效率。

2.5翻轉(zhuǎn)課堂和傳統(tǒng)課堂結(jié)合

翻轉(zhuǎn)課堂指的是發(fā)揮學(xué)生的主觀能動(dòng)性，把原先學(xué)生的被動(dòng)式學(xué)習(xí)轉(zhuǎn)變?yōu)橹鲃?dòng)地學(xué)習(xí)。教師在上課之前可以發(fā)布給學(xué)生一定的學(xué)習(xí)任務(wù)。通過學(xué)院的學(xué)習(xí)平臺(tái)，在學(xué)生實(shí)名注冊(cè)以后，可以提前瀏覽一些微課視頻、PPT課件等等，學(xué)習(xí)一些預(yù)習(xí)的知識(shí)，掌握最基礎(chǔ)的概念和定義，在課當(dāng)中就會(huì)更加深層次的開展學(xué)習(xí)，對(duì)于學(xué)習(xí)內(nèi)容也會(huì)了解更加透徹。在上課過程中，可以先播放教學(xué)視頻，講解一個(gè)概念的基礎(chǔ)定義，然后舉出一個(gè)比較典型的例子，讓學(xué)生針對(duì)這一例子結(jié)合提前學(xué)習(xí)過的知識(shí)進(jìn)行思考，為了更加方便的交流，教師建立了微信群，每次上課之前，學(xué)生對(duì)于自學(xué)的內(nèi)容存在什么疑惑都可以向老師提問，然后進(jìn)行講解，對(duì)于發(fā)言比較積極的學(xué)生，教師應(yīng)當(dāng)給予鼓勵(lì)，與此同時(shí)，還應(yīng)當(dāng)給每一個(gè)學(xué)生敢于自我表達(dá)的機(jī)會(huì)。

2.6適當(dāng)?shù)娜谌胗?jì)算機(jī)應(yīng)用案例

（1）關(guān)系數(shù)據(jù)庫與離散數(shù)學(xué)

在離散數(shù)學(xué)課程教學(xué)過程中，需要明確集合代數(shù)和數(shù)理邏輯中的基礎(chǔ)關(guān)系，這在課程內(nèi)容中為重要的組成部分之一。對(duì)于大一的學(xué)生來說，他們腦海中還沒有明確的知識(shí)架構(gòu)，專業(yè)基礎(chǔ)還很薄弱，也沒有能力厘清不同概念之間的聯(lián)系。如果只是在一開始就對(duì)于知識(shí)內(nèi)容進(jìn)行講解，那么抽象化的知識(shí)會(huì)在學(xué)生腦海中持續(xù)停留，一旦應(yīng)用，可能會(huì)因?yàn)檎`區(qū)的存在導(dǎo)致專業(yè)知識(shí)學(xué)習(xí)不到位的情況出現(xiàn)。然而，上邊所提及的教學(xué)內(nèi)容在后續(xù)課程教學(xué)環(huán)節(jié)中會(huì)有比較深刻的應(yīng)用，其中關(guān)系理論作為基礎(chǔ)數(shù)據(jù)庫的搭建，對(duì)于關(guān)系性質(zhì)進(jìn)行運(yùn)算和主要的了解，能夠讓學(xué)生了解內(nèi)在范式，加深對(duì)于數(shù)據(jù)操作的記憶。

因此，作者在講解這部分內(nèi)容之前，可以先利用20分鐘的時(shí)間對(duì)于這部分內(nèi)容進(jìn)行知識(shí)講解，其中包含數(shù)據(jù)庫的基礎(chǔ)系統(tǒng)搭建，計(jì)算機(jī)系統(tǒng)的操作歷程、發(fā)展歷史以及實(shí)際應(yīng)用情況等等，落腳于不同的數(shù)據(jù)模型當(dāng)中實(shí)現(xiàn)科學(xué)的分析，加深學(xué)生對(duì)其的實(shí)際操作。用戶使用數(shù)據(jù)庫系統(tǒng)就是對(duì)于這些表的類目進(jìn)行檢索和數(shù)據(jù)刪除，實(shí)現(xiàn)這些操作可以被稱作是子系統(tǒng)語言，這種語言就是以數(shù)據(jù)關(guān)系知識(shí)內(nèi)容為基礎(chǔ)所展開的，有了這部分知識(shí)內(nèi)容，就可以在講解的過程中，適當(dāng)插入一些數(shù)據(jù)庫操作的案例，更好的幫助學(xué)生掌握相關(guān)知識(shí)。[5]

比如，數(shù)據(jù)子語言可以被看作是一種基礎(chǔ)的代數(shù)結(jié)構(gòu)，這種結(jié)構(gòu)的主要研究對(duì)象是序列元素的集合體，可以被劃分為多種操作類型，其中包含了投影、選擇等等內(nèi)容。這些運(yùn)算本身都是封閉系統(tǒng)下的具體操作模型，將這些運(yùn)算系統(tǒng)進(jìn)行科學(xué)操作并組合，可以搭建數(shù)據(jù)庫。在講解過程中，可以多舉出一些這樣的例子，加深學(xué)生對(duì)于知識(shí)內(nèi)容的理解，提升學(xué)習(xí)興趣。值得關(guān)注的是在應(yīng)用關(guān)系介紹實(shí)例的過程中，應(yīng)當(dāng)注意圖示法的使用，操作的目的在于利用圖示強(qiáng)化對(duì)于抽象概念的理解，讓學(xué)生從感官上了解到與數(shù)據(jù)庫有關(guān)的基礎(chǔ)知識(shí)。

（2）計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)與離散數(shù)學(xué)

圖論也是離散數(shù)學(xué)教學(xué)過程中的關(guān)鍵組成部分，具有比較多元化的理論價(jià)值，很多實(shí)際問題的解決最后都會(huì)被歸結(jié)到模型的構(gòu)建方面。在教學(xué)過程中，應(yīng)當(dāng)引入大量的應(yīng)用類型，通過掌握基礎(chǔ)的構(gòu)圖方法，說明圖論問題的主要來源和背景，但是經(jīng)過實(shí)際的調(diào)查研究證明，如果只是以這一例子作為講解內(nèi)容，學(xué)習(xí)成效并不顯著。典型的教學(xué)案例具有多元化特征，比如說個(gè)體之間的關(guān)系、程序調(diào)用情況等等。通過對(duì)這些案例的具體介紹情況，可以強(qiáng)化學(xué)生對(duì)于知識(shí)的理解程度，進(jìn)一步提升學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。在當(dāng)前階段， 4G網(wǎng)絡(luò)已經(jīng)基本實(shí)現(xiàn)了區(qū)域普及化，校園內(nèi)部網(wǎng)絡(luò)基礎(chǔ)設(shè)施也比較完善，很多學(xué)生往往都處于聯(lián)網(wǎng)狀態(tài)，用于通訊和基礎(chǔ)的資料查詢需要。然而，在沒有學(xué)習(xí)計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)課程之前，學(xué)生往往不了解網(wǎng)絡(luò)通信的主要原理，此時(shí)，為了提升學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，可以引入一個(gè)案例來進(jìn)行講解：將因特網(wǎng)比作是一個(gè)龐大的圖結(jié)構(gòu)，每個(gè)同學(xué)的手機(jī)都是圖的一個(gè)節(jié)點(diǎn)，只有不斷地信息頻繁傳輸?shù)倪^程，才能實(shí)現(xiàn)多個(gè)點(diǎn)的有效聯(lián)系，最終構(gòu)建成一個(gè)龐大的信息數(shù)據(jù)網(wǎng)。此時(shí)，教師可以引導(dǎo)學(xué)生如何利用科學(xué)的方式傳遞更多信息，選擇最佳的信息路徑來傳播，有效將計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)的路由選擇和路徑算法進(jìn)行結(jié)合。在講解過程中，還可以加入一些視頻動(dòng)畫演示，這樣就可以激發(fā)學(xué)生的興趣。

（3）其他方面

為了提升離散數(shù)學(xué)課程的教學(xué)質(zhì)量，不僅僅可以將更多的計(jì)算機(jī)案例應(yīng)用到課程實(shí)踐過程中，還開展了多個(gè)角度的教育嘗試： ①第一次上課時(shí)可以對(duì)于離散數(shù)學(xué)這門課程進(jìn)行細(xì)致的介紹，包含主要的研究對(duì)象、發(fā)展歷史等等，還有一些典型的應(yīng)用事件，讓學(xué)生對(duì)于課程內(nèi)容有一個(gè)深層次的認(rèn)知。②確保學(xué)生有充分的練習(xí)時(shí)間。如果只是通過課堂的學(xué)習(xí)，學(xué)生不會(huì)完全掌握教學(xué)內(nèi)容，需要大量的練習(xí)，學(xué)生才能夠?qū)W習(xí)到更多知識(shí)。除此以外，應(yīng)當(dāng)配有一名助教老師，幫助批改學(xué)生的作業(yè)，提升教學(xué)成果。③讓更多的有興趣的學(xué)生參與到計(jì)算機(jī)相關(guān)課題研究中去，在參與討論的同時(shí)也在不斷加深自己對(duì)學(xué)習(xí)內(nèi)容的認(rèn)知。

3.結(jié)語

綜上所述，筆者通過幾個(gè)學(xué)期的教學(xué)實(shí)踐，還在探索更多的教育方案，并給提出了一些新的教學(xué)理念，希望可以讓學(xué)生更加深刻的了解與離散數(shù)學(xué)相關(guān)的知識(shí)，并且將其應(yīng)用到實(shí)踐過程中去。經(jīng)過數(shù)據(jù)調(diào)查，超過90%的學(xué)生認(rèn)為學(xué)習(xí)離散數(shù)學(xué)對(duì)于未來學(xué)習(xí)計(jì)算機(jī)專業(yè)課是有益處的。因此，本文通過對(duì)于一些教學(xué)方法的分析，希望可以尋找到更加有效地教學(xué)途徑，提升學(xué)生的學(xué)習(xí)能力，優(yōu)化學(xué)習(xí)思維。

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項(xiàng)目名稱編號(hào)2018jyxm0339 ?《離散數(shù)學(xué)》課程教學(xué)模式改革研究——面向應(yīng)用型本科院校計(jì)算機(jī)專業(yè)