連續(xù)-非連續(xù)數(shù)值分析課程建設(shè)規(guī)劃

張一鳴 王雪雅 馮春 叢俊余

摘? 要：連續(xù)-非連續(xù)數(shù)值分析是一門(mén)擬建的土建類(lèi)本科生/研究生課程，該課程理論與實(shí)踐性兼?zhèn)?，涉及諸多力學(xué)、數(shù)學(xué)相關(guān)基礎(chǔ)課程，包含課堂教學(xué)以及上機(jī)操作模塊。課程以土木建筑和巖土工程中的連續(xù)-非連續(xù)問(wèn)題為研究對(duì)象，以數(shù)值計(jì)算方法為手段，以培養(yǎng)學(xué)生將課程中獲取的知識(shí)用于分析具體工程問(wèn)題為目的。課程的建設(shè)不僅符合我國(guó)在中國(guó)智能建造2035背景下對(duì)于新一代土建類(lèi)工科學(xué)生的培養(yǎng)目標(biāo)，更契合我國(guó)目前在基礎(chǔ)設(shè)施防災(zāi)減災(zāi)、能源開(kāi)采、節(jié)能減排方面的長(zhǎng)期重大需求。

關(guān)鍵詞：土木工程;本科生/研究生課程;數(shù)值計(jì)算;防災(zāi)減災(zāi);能源開(kāi)采

中圖分類(lèi)號(hào)：G640 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A? ? ? ? ? 文章編號(hào)：2096-000X（2022）04-0100-04

Abstract： Continuous and Discontinuous Numerical Analysis is a proposed undergraduate graduate course in civil engineering. The course has both theory and practice， involving many basic courses related to mechanics and mathematics， including classroom teaching and computer operation modules. The course takes the continuous discontinuous problems in civil architecture and geotechnical engineering as the research object， takes the numerical calculation method as the means， and aims to train students to use the knowledge obtained in the course to analyze specific engineering problems. The construction of the course is not only in line with China's training objectives for a new generation of civil engineering students under the background of China's intelligent construction 2035， but also in line with China's long-term major needs in infrastructure disaster prevention and reduction， energy mining， energy conservation and emission reduction.

Keywords： civil engineering; undergraduate and graduate courses; numerical calculation; disaster prevention and mitigation; energy exploitation

在土木水利能源開(kāi)采等多種工程實(shí)踐中，連續(xù)-非連續(xù)過(guò)程是一類(lèi)較為常見(jiàn)、較復(fù)雜且分析難度較大的工程問(wèn)題，較為典型的包括：房屋結(jié)構(gòu)長(zhǎng)期服役后的微裂縫與宏觀裂縫開(kāi)展，大體積混凝土澆筑后的水化裂縫形成，頁(yè)巖氣開(kāi)采過(guò)程中水力壓裂縫網(wǎng)絡(luò)形成等。在這些不同的工程中，非連續(xù)位移場(chǎng)的具體表現(xiàn)即裂縫扮演著不同的角色，在某些工程中裂縫會(huì)危害結(jié)構(gòu)局部甚至整體的正常使用性能和長(zhǎng)期耐久性，應(yīng)研究如何預(yù)測(cè)、避免裂縫形成降低其危害;而在另一些石化能源采集相關(guān)的工程中，合適的裂縫網(wǎng)絡(luò)可以顯著提升油氣開(kāi)采效率，應(yīng)分析如何通過(guò)有限資源促進(jìn)、誘導(dǎo)裂縫形成從而降低成本，提高利潤(rùn)。

從數(shù)學(xué)角度來(lái)看，非連續(xù)意味著場(chǎng)函數(shù)的跳躍，在對(duì)應(yīng)位置的場(chǎng)函數(shù)無(wú)法對(duì)空間求導(dǎo)，原有的偏微分控制方程已不適用于描述裂縫處的非連續(xù)場(chǎng)。同時(shí)，由于裂縫的動(dòng)態(tài)擴(kuò)展，不斷進(jìn)行移動(dòng)邊界重構(gòu)又會(huì)造成嚴(yán)重計(jì)算負(fù)擔(dān)和復(fù)雜拓?fù)渲貥?gòu)，數(shù)十年來(lái)很多頂尖學(xué)者持續(xù)地提出諸多針對(duì)性的新理論、新模型和新方法。因此，由于所關(guān)聯(lián)工程問(wèn)題的重要性和問(wèn)題背后數(shù)學(xué)機(jī)理與數(shù)值算法上的復(fù)雜性，連續(xù)-非連續(xù)問(wèn)題至今仍然是數(shù)值計(jì)算領(lǐng)域的前沿課題之一。

我國(guó)在傳統(tǒng)土建類(lèi)本科生及研究生的培養(yǎng)過(guò)程中，對(duì)于傳統(tǒng)的工科三大力學(xué)即理論力學(xué)、材料力學(xué)和結(jié)構(gòu)力學(xué)較為重視，很多高校更會(huì)在本科階段就輔以彈性力學(xué)、塑性力學(xué)等進(jìn)階固體力學(xué)類(lèi)課程，同時(shí)多數(shù)高校對(duì)于數(shù)值分析課程上機(jī)操作也有一定要求。這些既有課程為連續(xù)-非連續(xù)數(shù)值分析課程的開(kāi)展創(chuàng)造了必要條件和基礎(chǔ)鋪墊，本課程的建立更符合遞進(jìn)式的人才培養(yǎng)規(guī)律，可以加深對(duì)既有知識(shí)的認(rèn)識(shí)，同時(shí)讓學(xué)生接觸前沿問(wèn)題，能夠幫助學(xué)生深入領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)、力學(xué)理論與工程實(shí)踐的緊密聯(lián)系，并通過(guò)上機(jī)操作解決具體工程問(wèn)題，掌握分析方法、流程并撰寫(xiě)較為嚴(yán)謹(jǐn)?shù)恼n題報(bào)告。

綜上所述，筆者在本文中提出了連續(xù)-非連續(xù)數(shù)值分析課程的建設(shè)規(guī)劃，梳理了課程所需要的背景知識(shí)，提出了主要授課內(nèi)容，授課內(nèi)容的邏輯路線，上機(jī)操作要點(diǎn)，小組任務(wù)計(jì)劃以及課畢后的考試要素等。本文的論述過(guò)程中緊盯課程授課目標(biāo)，強(qiáng)調(diào)授課內(nèi)容邏輯，注重操作與實(shí)踐，希望本文能對(duì)連續(xù)-非連續(xù)數(shù)值分析課程建設(shè)和最終落地做出貢獻(xiàn)。

一、課程路徑

如前所述，工程上的連續(xù)-非連續(xù)過(guò)程往往指代連續(xù)體從初始的連續(xù)狀態(tài)逐漸進(jìn)入非連續(xù)狀態(tài)的較為完整的演化過(guò)程，即裂縫的萌生、擴(kuò)展，甚至后期的分叉交錯(cuò)過(guò)程。而連續(xù)-非連續(xù)數(shù)值分析課程同樣應(yīng)依據(jù)該過(guò)程的時(shí)間發(fā)展順序展開(kāi)，需要包含多個(gè)過(guò)程中所涉及的理論、模型以及計(jì)算框架。若以關(guān)鍵詞的形式給出本課程教授所涉及到的內(nèi)容，那么課程所涉及的多數(shù)關(guān)鍵詞，如圖1所示。

本課程涉及的理論中，連續(xù)介質(zhì)力學(xué)可由鋪墊課程如彈性力學(xué)和塑性力學(xué)逐步展開(kāi)，再次提供控制方程后即可直接過(guò)渡到損傷力學(xué)相關(guān)知識(shí)，損傷力學(xué)的理論部分與損傷度模型可同步講授。接著加入討論環(huán)節(jié)，深化理解后可展開(kāi)至斷裂力學(xué)，該部分內(nèi)容應(yīng)突出其與其他力學(xué)理論的差異，引入裂尖場(chǎng)的概念。近場(chǎng)動(dòng)力學(xué)理論作為較新的理論，可由授課人選講。至此，理論部分授課告一段落。

由于損傷力學(xué)與斷裂力學(xué)都鋪墊完成，下一步可展開(kāi)講授，將相場(chǎng)方法[1]作為結(jié)合損傷力學(xué)與斷裂力學(xué)理論的方法實(shí)例，并進(jìn)一步引出富集有限元即通過(guò)引入額外自由度來(lái)增強(qiáng)有限元框架的理念。當(dāng)富集類(lèi)有限元介紹完成后，可較為順暢地引入內(nèi)嵌不連續(xù)方法（SDA）[2]，擴(kuò)展有限元（XFEM）[3]以及數(shù)值流形方法（NMM）[4]作為其他富集類(lèi)方法實(shí)例，同時(shí)在講授這些方法的過(guò)程中逐漸引入粘聚力模型以及拉壓剪耦合模型相關(guān)內(nèi)容，無(wú)網(wǎng)格粒子類(lèi)方法由于與近場(chǎng)動(dòng)力學(xué)有一定關(guān)聯(lián)性，可作為選講內(nèi)容。接著過(guò)渡到與巖石破壞關(guān)聯(lián)緊密的單邊效應(yīng)并引出塊體類(lèi)計(jì)算框架，以非連續(xù)分析方法（DDA）[5]和顯式離散元（DEM）[6]作為方法實(shí)例，最后引出有限離散元耦合方法，以基于廣義拉格朗日方程的連續(xù)非連續(xù)單元法（CDEM）[7]為實(shí)例。如圖2所示，標(biāo)注了課程的整體講授路線。

本文所建議的授課流程依循理論層進(jìn)，強(qiáng)化模型與框架，同步展開(kāi)方法實(shí)例的脈絡(luò)。在展開(kāi)實(shí)例后，結(jié)合上機(jī)操作，可讓學(xué)生掌握方法的使用，即使內(nèi)在運(yùn)行機(jī)制尚未完全熟悉，仍然可為學(xué)生提供足夠檢索信息，讓他們根據(jù)路線圖返回尋找關(guān)鍵步驟。例如，當(dāng)學(xué)生自覺(jué)對(duì)于相場(chǎng)方法缺少足夠認(rèn)識(shí)，可前退至斷裂力學(xué)，損傷力學(xué)與損傷度，后進(jìn)至富集類(lèi)有限元搜尋相關(guān)概念知識(shí)并檢索相關(guān)文獻(xiàn)。另一方面，圖2的所有實(shí)例化方法，都可在“連續(xù)-非連續(xù)光譜”[8]上找到近似位置，如圖3所示。從該光譜的位置看，圖2的路線是從連續(xù)模型出發(fā)，逐漸過(guò)渡到離散模型，即從光譜的左側(cè)平滑過(guò)渡到右側(cè)的過(guò)程，也如前所述，符合結(jié)構(gòu)體的演化方向即時(shí)間發(fā)展順序。

二、具體授課內(nèi)容與比例

本課程授課內(nèi)容較多，并且與其他課程有較強(qiáng)關(guān)聯(lián)性，有必要對(duì)授課內(nèi)容與課時(shí)比例展開(kāi)規(guī)劃。本課程如果為本科生課程，建議作為本科三年級(jí)下課程。若作為研究生課程，建議為碩士研究生課程，博士研究生由于專(zhuān)業(yè)背景差異較大，筆者認(rèn)為不宜展開(kāi)授課，可自學(xué)，建議總課時(shí)數(shù)不少于32課時(shí)。

課時(shí)分配建議：連續(xù)介質(zhì)力學(xué)與數(shù)值計(jì)算方法理論2課時(shí)，損傷力學(xué)+損傷度模型2課時(shí)，斷裂力學(xué)2課時(shí)，相場(chǎng)方法2課時(shí);富集類(lèi)有限元2課時(shí);SDA，XFEM，NMM三類(lèi)方法重點(diǎn)教授一類(lèi)，討論2類(lèi)，并討論粘聚力模型，共5課時(shí)，拉壓剪耦合與單邊效應(yīng)模型講授2課時(shí)，塊體類(lèi)模型結(jié)合DDA以及DEM講授3課時(shí)，有限離散元耦合以及實(shí)例化的CDEM方法4課時(shí)。剩余8課時(shí)可抽取2課時(shí)選講近場(chǎng)動(dòng)力學(xué)與粒子類(lèi)方法，剩余課時(shí)作為上機(jī)課程。本課程的開(kāi)展基于學(xué)生已學(xué)習(xí)過(guò)工科三大力學(xué)并且對(duì)于彈性力學(xué)、塑性力學(xué)課程有一定了解的基礎(chǔ)上，因此部分內(nèi)容授課安排較為緊湊，后續(xù)部分筆者將進(jìn)一步細(xì)化具體授課內(nèi)容作為一般建議。

連續(xù)介質(zhì)力學(xué)加數(shù)值計(jì)算章節(jié)，強(qiáng)化彈性力學(xué)偏微分控制方程及其弱形式概念，包括常見(jiàn)邊界條件的類(lèi)型、設(shè)置，介紹1至2種形函數(shù)后直接求解一個(gè)例題作為結(jié)束，建議求解一個(gè)二維的懸臂深梁或二維薄板拉伸算例，剖分為1至2個(gè)單元，直接以有限元形式手動(dòng)求解，此算例即為基礎(chǔ)算例，在后續(xù)引入多種理論、方法、模型后不斷考慮不同條件與不同模型對(duì)該算例進(jìn)行計(jì)算對(duì)比，不斷深化學(xué)生認(rèn)知。

損傷力學(xué)與損傷度模型章節(jié)，強(qiáng)化不可逆損傷度的概念，介紹1至2種損傷度本構(gòu)和相關(guān)模型，輔以?xún)?yōu)化求解算法，繼續(xù)以基礎(chǔ)算例為例，可結(jié)合彌散裂縫等較為傳統(tǒng)的計(jì)算模型，分析考慮損傷條件下的結(jié)構(gòu)位移-荷載響應(yīng)以及對(duì)應(yīng)的應(yīng)力-應(yīng)變狀態(tài)變化。

斷裂力學(xué)章節(jié)，引入裂尖狀態(tài)方程和應(yīng)力強(qiáng)度因子等概念，如課時(shí)允許可同步介紹J積分等概念，在基礎(chǔ)算例中引入一個(gè)裂尖，簡(jiǎn)單分析其裂尖狀態(tài)、裂縫擴(kuò)展方向、擴(kuò)展條件，提供解析解方程加深學(xué)生對(duì)斷裂力學(xué)問(wèn)題的理解。

相場(chǎng)方法章節(jié)，論述相場(chǎng)模型與傳統(tǒng)的彌散裂縫模型，梯度損傷模型的異同，引入特征寬度和尺度不敏感相場(chǎng)模型（Unified Phase Field Method或Phase Field-Cohesive Zone Model），算例部分，由于相場(chǎng)模型存在網(wǎng)格相關(guān)性，即網(wǎng)格尺寸必須小于特征長(zhǎng)度，因此無(wú)法對(duì)基礎(chǔ)算例進(jìn)行手動(dòng)求解，需借用計(jì)算機(jī)輔助求解，通過(guò)在初始算例中加入缺陷，考慮多種網(wǎng)格與特征長(zhǎng)度，觀察局部損傷區(qū)（相場(chǎng)云圖）的形成，此處的破壞僅考慮拉伸破壞。

富集類(lèi)有限元與SDA、XFEM、NMM以及粘聚力模型章節(jié)可合并授課，其從相場(chǎng)模型出發(fā)，以引出富集策略、即引入額外自由度和對(duì)應(yīng)的控制方程來(lái)拓展原有的有限元計(jì)算框架，從而提升其適用范圍，基于不同方法對(duì)基礎(chǔ)算例進(jìn)一步展開(kāi)研究，并與相場(chǎng)的計(jì)算結(jié)果作對(duì)比，同步觀察上一章節(jié)的損傷區(qū)和本章節(jié)的離散裂縫發(fā)展過(guò)程，分析其異同。

拉壓剪耦合與塊體類(lèi)計(jì)算框架可合并授課，由于拉壓剪耦合問(wèn)題有較強(qiáng)工程背景，可關(guān)聯(lián)至巖土工程防災(zāi)減災(zāi)中涉及的連續(xù)-非連續(xù)問(wèn)題，本章節(jié)授課建議結(jié)合上機(jī)操作，可以巖石邊坡穩(wěn)定問(wèn)題為工程背景，突出該問(wèn)題中所涉及的巖石復(fù)雜破壞機(jī)理，展示DDA和DEM計(jì)算方法在這類(lèi)問(wèn)題中的計(jì)算結(jié)果和計(jì)算效率，從而討論兩者的優(yōu)勢(shì)與適用范圍。

最后的授課內(nèi)容為有限離散元耦合分析框架，結(jié)合CDEM計(jì)算程序章節(jié)合并授課，結(jié)合上機(jī)操作，進(jìn)一步分析上一章節(jié)所討論的巖石邊坡問(wèn)題，獲得結(jié)果后與原始的DDA、DEM等計(jì)算結(jié)果作對(duì)比，討論其結(jié)果差異、性能、優(yōu)缺點(diǎn)等特征，明確其工程適用范圍。

選講內(nèi)容即近場(chǎng)動(dòng)力學(xué)與粒子類(lèi)方法章節(jié)，可直接提供二維條件下近場(chǎng)格式的積分控制方程，以顯示其與傳統(tǒng)連續(xù)介質(zhì)力學(xué)的差異，然后對(duì)基礎(chǔ)算例進(jìn)行計(jì)算分析，考慮不同顆粒密度，觀察其損傷度演化過(guò)程，并與其他方法的計(jì)算結(jié)果和計(jì)算效率進(jìn)行對(duì)比。

授課內(nèi)容完成后，對(duì)整個(gè)授課內(nèi)容進(jìn)行梳理和總結(jié)，通過(guò)邏輯框圖、性能、適用范圍、結(jié)果特性對(duì)比表等多種形式提升學(xué)生的學(xué)習(xí)維度，提高他們對(duì)于連續(xù)-非連續(xù)問(wèn)題的整體認(rèn)識(shí)。

三、上機(jī)操作與考試考察

上機(jī)操作是本課程教學(xué)一大重點(diǎn)，通過(guò)分析具體算例使學(xué)生掌握部分?jǐn)?shù)值計(jì)算軟件操作流程、結(jié)果分析和報(bào)告撰寫(xiě)方法。目前，本課程所涉及的實(shí)例計(jì)算方法，大多數(shù)已有開(kāi)源或商業(yè)軟件提供支持，例如相場(chǎng)模型有開(kāi)源的Abaqus二次開(kāi)發(fā)模塊，Abaqus自帶幻影點(diǎn)法（XFEM變種）計(jì)算模型，LS-Dyna支持近場(chǎng)動(dòng)力學(xué)顯式積分計(jì)算，SDA、XFEM與NMM有開(kāi)源的C以及MATLAB算法庫(kù)，DDA和DEM有成熟的開(kāi)源算法庫(kù)，包括高性能矩陣離散元MatDEM等強(qiáng)化支持，更有基于廣義拉格朗日方法的全國(guó)產(chǎn)有限離散元耦合GDEM，環(huán)境平臺(tái)Genvi等計(jì)算套件。這些都為上機(jī)操作以及學(xué)生自主二次開(kāi)發(fā)提供了便利。

上機(jī)操作總課時(shí)中，筆者建議相場(chǎng)可占20%，SDA、XFEM和NMM可占25%，DDA和DEM可占20%，剩余35%上機(jī)課時(shí)可留給CDEM和選學(xué)內(nèi)容，建議可進(jìn)行多個(gè)案例的分析操作，這幾個(gè)案例中巖體邊坡失穩(wěn)分析可通過(guò)CDEM、DDA和DEM進(jìn)行分析，對(duì)比結(jié)果并撰寫(xiě)報(bào)告。第二個(gè)案例混凝土結(jié)構(gòu)斷裂可通過(guò)相場(chǎng)以及SDA & XFEM & NMM計(jì)算對(duì)比，第三個(gè)案例水力壓裂建議通過(guò)CDEM方法和XFEM進(jìn)行分析對(duì)比，測(cè)試不同邊界條件對(duì)壓裂區(qū)的影響。第四個(gè)案例爆破問(wèn)題建議通過(guò)CDEM、DEM和近場(chǎng)動(dòng)力學(xué)方法進(jìn)行分析。

考慮到課程人數(shù)與課時(shí)限制，筆者建議以小組式案例分析模式來(lái)促進(jìn)教學(xué)，即由學(xué)生組成4至5人研究小組，分組后表決選舉組長(zhǎng)，挑選具體案例，并對(duì)組員工作任務(wù)進(jìn)行分配，尤其是涉及方法對(duì)比時(shí)，由組員根據(jù)自身興趣進(jìn)行選擇，完成計(jì)算后展開(kāi)集中討論，并由組員相互輔導(dǎo)，從而保證每個(gè)組員都可以至少掌握一種方法，并了解其他方法。在結(jié)果分析階段，應(yīng)由組長(zhǎng)收集組員的問(wèn)題，組內(nèi)討論后由授課老師答疑，若有必要可開(kāi)展班級(jí)討論。然后以小組為單位完成書(shū)面工程報(bào)告，由組長(zhǎng)進(jìn)行答辯匯報(bào)，結(jié)合必要的現(xiàn)場(chǎng)演示，完善上機(jī)操作過(guò)程。

本課程考試考察可采用多種形式結(jié)合的方式，例如小組工程分析報(bào)告結(jié)合單人筆試測(cè)驗(yàn)，測(cè)驗(yàn)中重點(diǎn)考察相關(guān)概念，不同方法的區(qū)分，適用范圍等知識(shí)，筆試測(cè)驗(yàn)以選擇題、填空題和判斷題為主。不宜過(guò)于側(cè)重具體計(jì)算，但可適當(dāng)考察上機(jī)操作過(guò)程中的計(jì)算流程，分析步驟等內(nèi)容，例如由學(xué)生補(bǔ)充流程圖中的關(guān)鍵環(huán)節(jié)等。

四、結(jié)論與展望

在本文中，筆者提出了連續(xù)-非連續(xù)分析課程建設(shè)目標(biāo)、建設(shè)要點(diǎn)、課程內(nèi)容以及具體授課安排，可供相關(guān)領(lǐng)域的專(zhuān)業(yè)人員參考。本課程除了理論性強(qiáng)，涉及的實(shí)例方法也較多，由于相關(guān)領(lǐng)域的進(jìn)展較快，為了更好地反映學(xué)科發(fā)展，建議每年都對(duì)本文中所涉及的實(shí)例方法進(jìn)行更新，每2年對(duì)實(shí)例化方法所涉及的上機(jī)操作軟件進(jìn)行更新。另一方面，交叉學(xué)科進(jìn)一步融合成為目前工程前沿發(fā)展一大特色，以本課程為例，目前已有學(xué)者提出采用機(jī)器學(xué)習(xí)方法預(yù)測(cè)、計(jì)算機(jī)圖形學(xué)加速模擬、全尺寸模型大規(guī)?；旌显朴?jì)算等各類(lèi)較新穎的計(jì)算方法來(lái)分析研究連續(xù)-非連續(xù)問(wèn)題，并取得了一定的成果。這些進(jìn)展對(duì)于課程的未來(lái)建設(shè)和改進(jìn)提出了新的要求和思路，相關(guān)內(nèi)容的擴(kuò)充將助力培養(yǎng)中國(guó)智造2035背景下的優(yōu)秀土建類(lèi)人才。

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