摘 ?要：以發(fā)展學生核心素養(yǎng)為導向，有效落實《義務(wù)教育數(shù)學課程標準（2011年版）》基本理念，是教學與評價的共同目標. 2021年全國各地中考數(shù)學試題“數(shù)與式”相關(guān)內(nèi)容的命題，更加關(guān)注用字母表述代數(shù)式及代數(shù)式的運算，強調(diào)字母可以像數(shù)一樣進行運算和推理，突出通過字母運算和推理所獲得的結(jié)論具有一般性的特征，進一步體現(xiàn)了基于“數(shù)系擴充”和“用字母表示數(shù)”之后運算法則的一致性.研究“數(shù)式通性”，體會“字母”是數(shù)學表達和進行數(shù)學思考的重要形式，是數(shù)學抽象能力、運算能力、推理能力的集中反映，并將這一最具數(shù)學特色的思維方式融入中考試題“數(shù)與式”專題命題之中，是評價育人效果的重要方面.

關(guān)鍵詞：數(shù)式通性;中考試題;核心素養(yǎng)

以發(fā)展學生核心素養(yǎng)為導向，有效落實《義務(wù)教育數(shù)學課程標準（2011年版）》（以下簡稱《標準》）基本理念，是教學與評價的共同目標. 2021年全國各地中考試題“數(shù)與式”相關(guān)內(nèi)容的設(shè)計，更加關(guān)注用字母表述代數(shù)式及代數(shù)式的運算，強調(diào)字母可以像數(shù)一樣進行運算和推理，突出通過字母運算和推理所獲得的結(jié)論具有一般性的特征，進一步體現(xiàn)了基于“數(shù)系擴充”和“用字母表示數(shù)”之后運算法則的一致性. 現(xiàn)圍繞“數(shù)與式”，結(jié)合《標準》的要求，在對全國各地相關(guān)中考試題設(shè)計整體分析的基礎(chǔ)上，主要從命題的基本指向“理解概念的數(shù)學表達”“掌握運算的基本規(guī)則”“養(yǎng)成良好的思維習慣”，以及“弘揚中國的優(yōu)秀文化”四個方面，針對典型試題的命題思路進行分析，并提供模擬試題.

一、試題設(shè)計整體分析

數(shù)與代數(shù)是數(shù)學知識體系的基礎(chǔ)之一，是學生認知數(shù)量關(guān)系、探索數(shù)學規(guī)律、建立數(shù)學模型的基石;可以幫助學生從數(shù)量關(guān)系的角度，清晰準確地認識、理解和表達現(xiàn)實世界.《標準》將“數(shù)與代數(shù)”課程內(nèi)容分為三部分：數(shù)與式、方程與不等式、函數(shù). 其中，“數(shù)與式”是代數(shù)的基本語言，包括有理數(shù)、實數(shù)和代數(shù)式.

從2021年全國各地中考試題來看，各地普遍從不同側(cè)面、不同角度對“數(shù)與式”知識內(nèi)容進行了比較全面、系統(tǒng)的考查. 可以看到，大部分試題考查了對負數(shù)、有理數(shù)和實數(shù)的理解，以體現(xiàn)數(shù)系的擴充;考查了實數(shù)與數(shù)軸上的點一一對應(yīng)，以初步感受數(shù)形結(jié)合的研究方法;考查了對整式、分式、二次根式的理解，以體現(xiàn)用字母或符號表達數(shù)量及其關(guān)系的過程;考查了代數(shù)式的運算，以及對運算對象和算理的理解水平和程度，整體考查了學生的抽象能力、運算能力和推理能力. 當然，還有許多綜合性的問題，在數(shù)與式的基礎(chǔ)上，進一步涉及方程、不等式、函數(shù)等相關(guān)內(nèi)容，均不在本文討論的范圍之內(nèi).

數(shù)與式，作為“數(shù)與代數(shù)”課程內(nèi)容的基礎(chǔ)，在2021年全國約130套中考數(shù)學試卷中，所占比例適中，絕大多數(shù)試卷中占總分值的15%左右，北京卷、廣東卷、浙江金華卷、江蘇蘇州卷、湖南邵陽卷、福建寧德卷、甘肅定西（武威）卷等試卷所占總分值的比例較高，河北卷、湖北武漢卷等試卷所占總分值的比例較低. 題型方面，主要是選擇題和填空題，或者解答題的前兩小題;題量方面，大多數(shù)試卷設(shè)計5道題目左右，浙江寧波卷、江蘇南京卷和鹽城卷、廣西玉林卷、湖北恩施卷、湖南常德卷和衡陽卷、四川廣元卷和達州卷等試卷均設(shè)計了6道或6道以上題目;難度方面，以基礎(chǔ)題為主，難題很少，重慶卷（A卷、B卷）和四川涼山州卷，題目的設(shè)計有一定的難度，以倒數(shù)第2題的形式呈現(xiàn).

二、試題設(shè)計思路分析

2021年全國各地中考試題，在立足基礎(chǔ)強化數(shù)與式之間的內(nèi)在聯(lián)系、注重類比體現(xiàn)共同的運算規(guī)則、數(shù)式通性呈現(xiàn)一致性地解決問題的思維方式三個方面，均呈現(xiàn)了很好的設(shè)計效果. 同時，試題背景或素材的選取根植于中國的優(yōu)秀文化，將課程育人的內(nèi)容自然融入，有效彰顯了數(shù)學學科的教育價值.

1. 立足基礎(chǔ)，理解概念的數(shù)學表達，強化聯(lián)系

（1）理解“數(shù)”的意義及數(shù)學表達形式.

通過對負數(shù)、有理數(shù)和實數(shù)的認識，感悟數(shù)是對數(shù)量的抽象，知道絕對值是對數(shù)量大小和線段長度的表達，進而體會實數(shù)與數(shù)軸上的點一一對應(yīng)的數(shù)形結(jié)合的意義，是理解“數(shù)”的意義及數(shù)學表達的基礎(chǔ).

例1 （四川·樂山卷）如果規(guī)定收入為正，那么支出為負，收入2元記作+2元，支出5元記作（ ? ?）.

（A）5元 （B）[-]5元

（C）[-]3元 （D）7元

設(shè)計思路分析：負數(shù)是對從現(xiàn)實世界到數(shù)學研究對象的提煉的結(jié)果，本質(zhì)上體現(xiàn)了數(shù)學抽象的過程. 此題規(guī)定“收入為正”，有“收入2元記作 + 2元”，這里的“+”表示數(shù)的性質(zhì). 這樣“支出為負”時，用“[-]”表示數(shù)的性質(zhì)，“支出5元”就可以記作“[-]5元”. 故選B.

此題依托學生現(xiàn)實生活的經(jīng)驗，考查對負數(shù)概念的理解，是命制與負數(shù)概念相關(guān)的試題時常用的方法.

例2 （海南卷）實數(shù)-5的相反數(shù)是（ ? ?）.

（A）5 （B）-5

（C）±5 （D） [15]

設(shè)計思路分析：此題主要考查“相反數(shù)”的概念，在任意一個數(shù)前面添上“[-]”，新的數(shù)就表示原數(shù)的相反數(shù)，即-（-5） = +5，故選A.

相反數(shù)和絕對值是繼負數(shù)之后，借助“數(shù)軸”這個工具，從數(shù)形結(jié)合觀點出發(fā)進行研究的. 類似地，直接設(shè)計為“求一個數(shù)的相反數(shù)”的試題，還有重慶卷、江西卷、山東臨沂卷、江蘇連云港卷、浙江衢州卷、湖北隨州卷和武漢卷、四川瀘州卷和眉山卷等試卷，且均作為第1題，需要熟知“一個正數(shù)的相反數(shù)是負數(shù)，一個負數(shù)的相反數(shù)是正數(shù)”.

直接設(shè)計為“求一個數(shù)的絕對值”的試題，有河南卷、江蘇鹽城卷、浙江湖州卷和寧波卷、四川遂寧卷和涼山州卷等試卷中，也均作為第1題，主要考查了“一個正數(shù)的絕對值是它本身，一個負數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)”.

例3 （北京卷）實數(shù)a，b在數(shù)軸上的對應(yīng)點的位置如圖1所示，下列結(jié)論中正確的是（ ? ?）.

（A）a > -2 （B） [a]> b

（C）a + b > 0 （D）b[-]a < 0

設(shè)計思路分析：借助數(shù)軸，可以比較兩個數(shù)的大小. 由實數(shù)a，b在數(shù)軸上的對應(yīng)點的位置，可以得到“對應(yīng)點”與原點的距離，顯然負數(shù)a與原點的距離大于正數(shù)b與原點的距離，結(jié)合絕對值的概念，選項B正確.

將負數(shù)、相反數(shù)、絕對值的概念與數(shù)軸的概念聯(lián)系起來，在理解概念的基礎(chǔ)上，借助數(shù)軸的直觀表達方式，考查比較兩個數(shù)大小的方法，是命制這類問題的一個重要方面.

類似地，還有青海卷第1題考查負數(shù)[-213]在數(shù)軸上對應(yīng)點的位置. 另外，福建寧德卷第6題設(shè)計的[5-1]、四川達州卷第3題設(shè)計的[2+1]，均討論了在數(shù)軸上對應(yīng)點的位置問題，體現(xiàn)了實數(shù)與數(shù)軸上的點一一對應(yīng)的特征.

（2）理解“式”是用字母表示數(shù)的結(jié)果.

用字母可以表示數(shù). 用含有字母的式子所表示的問題中的數(shù)量關(guān)系，較數(shù)與數(shù)之間的關(guān)系，更具有一般性.

例4 （青海卷）一個兩位數(shù)，它的十位數(shù)字是x，個位數(shù)字是y，那么這個兩位數(shù)是（ ? ?）.

（A）x + y （B）10xy

（C）10（x + y） （D）10x + y

設(shè)計思路分析：用字母x表示十位數(shù)字，用字母y表示個位數(shù)字，按照兩位數(shù)的特點，得到這個數(shù)是10x + y，故選D.

這里，考查能夠合理運用“用字母表示數(shù)”這種符號化的表達方式是命題的重點，式子10x + y具有兩位數(shù)的一般特點.

例5 （上海卷）下列單項式中，a2b3的同類項是（ ? ?）.

（A）a3b2 （B）3a2b3

（C）a2b （D）ab3

設(shè)計思路分析：關(guān)于“式”的討論，單項式、同類項都是重要的概念，對單項式中所含有的“字母”及其次數(shù)的理解，是判斷是否為同類項的關(guān)鍵. 這里，單項式a2b3中，a的指數(shù)是2，b的指數(shù)是3，與選項B中的單項式3a2b3是一致的，故選B.

同類項的概念，為后續(xù)研究代數(shù)式的運算奠定了基礎(chǔ)，是命制這類問題經(jīng)常用到的.

2. 注重類比，掌握運算的基本規(guī)則，同向同行

（1）明確“運算”的基本規(guī)則具有一致性的特點.

在數(shù)與代數(shù)領(lǐng)域，有理數(shù)及其運算是一切運算系統(tǒng)的基礎(chǔ)，將其他運算的對象和數(shù)做類比，我們就可以得到很多方法上的啟示. 數(shù)有整數(shù)、分數(shù)、指數(shù)冪等，與之相對應(yīng)，式就有整式、分式、根式等，也正是由于式與數(shù)有著類似的形式，它們才具有類似的性質(zhì)和運算. 考查與“式”有關(guān)的運算問題，其中重要的一個方面就是“式在運算中的不變性”.

例6 （山西卷）計算-2 + 8的結(jié)果是（ ? ?）.

（A）-6 （B）6

（C）-10 （D）10

設(shè)計思路分析：引入一種新的數(shù)，就要研究相應(yīng)的運算. 引入負數(shù)，將數(shù)系擴充為有理數(shù)，需要學生明確其運算法則和運算律，體會原有的運算律在新的數(shù)系中得以保持. 其核心就是將與負數(shù)有關(guān)的運算，借助絕對值轉(zhuǎn)化為正數(shù)之間的運算.

類似地，陜西卷的第1題是關(guān)于有理數(shù)的乘法運算，浙江溫州卷的第1題是關(guān)于有理數(shù)的乘方運算，甘肅武威卷的第3題是關(guān)于實數(shù)的加、減、乘、除的運算等.

例7 （新疆兵團卷）計算：[2-10+-3-273+][-12 021].

設(shè)計思路分析：數(shù)系擴充之后，還需要解決更多運算問題，如乘方、開方運算，二次根式的加、減、乘、除運算，等等. 此題考查了有理數(shù)的乘方、零指數(shù)冪、開三次方和絕對值的性質(zhì)，理解相關(guān)概念的意義是關(guān)鍵.

類似地，還有上海卷第19題、福建卷第17題、江西卷第13題、四川自貢卷第19題、江蘇連云港卷第17題和鹽城卷第17題. 與特殊角的三角函數(shù)值相結(jié)合，設(shè)計為綜合運算問題的，有云南卷第15題、湖北黃岡卷第17題、湖南懷化卷第17題、江蘇無錫卷第19題、四川瀘州卷第17題、浙江金華卷第17題、廣西玉林卷第19題等.

例8 （廣西·玉林卷）下列計算正確的是（ ? ?）.

（A） [a5+a5=a10] （B） [-3a-b=-3a-3b]

（C） [mn-3=mn-3] （D） [a6÷a2=a4]

設(shè)計思路分析：“式”中的字母表示數(shù)，這使得式的運算與數(shù)的運算具有一致性特點，式的運算更具有一般性. 因此，命制關(guān)于式的運算問題，對于理解運算和運算律具有更加普遍的意義. 此題涉及整式加、減運算的合并同類項和去括號的法則，涉及積的乘方、負整數(shù)指數(shù)冪運算法則和同底數(shù)冪的除法法則，理解相關(guān)概念及運算法則是關(guān)鍵.

考查這類問題，在2021年全國各地中考試卷中是很多的，如安徽卷第3題和浙江麗水卷第2題考查同底數(shù)冪的乘法法則，重慶A卷第2題和上海卷第7題考查同底數(shù)冪的除法法則. 類似地，還有陜西卷第3題、四川資陽卷第2題、湖南衡陽卷第4題、浙江臺州卷第4題和山東臨沂卷第3題等.

例9 （廣東卷）設(shè)6[-][10]的整數(shù)部分為a，小數(shù)部分為b，則[2a+10b]的值是（ ? ?）.

（A）6 （B） [210]

（C）12 （D） [910]

設(shè)計思路分析：此題將用有理數(shù)估計一個無理數(shù)的大致范圍、用字母表示數(shù)、數(shù)的運算及式的運算完美結(jié)合起來. 由[3<10<4]，得a = 2，b =[4-10]. 于是[2a+10b][=4+104-10=6]. 這里的“估算”起到了重要的作用，估算是運算能力的特征之一，估算的科學、合理及是否符合邏輯，估算的結(jié)果是否最接近于實際情形，均是解決相關(guān)問題的重點. 此題所設(shè)計的從估算[10]的大小到確定a，b的值，從式的運算到數(shù)的運算，在全國各地眾多中考試題中，成為考查數(shù)與式運算的亮點.

（2）明確利用“運算”可簡化代數(shù)式和代數(shù)關(guān)系.

根據(jù)一定的數(shù)學概念、法則和定理，由一些已知量通過計算得出確定結(jié)果的過程，稱為運算. 運算的結(jié)果使原有的代數(shù)式和代數(shù)關(guān)系的呈現(xiàn)更加簡捷.在實施運算的過程中，由于式子中含有多個“數(shù)量”或“表示數(shù)量的字母”，各量之間相互聯(lián)系，相互制約，又相輔相成，需要有不同的處理路徑和方法，需要比較，并擇優(yōu)選用.

例10 （江蘇·蘇州卷）先化簡，再求值：[1+1x-1 · x2-1x]，其中[x=3-1].

設(shè)計思路分析：此題涉及分式的概念、基本性質(zhì)、約分與通分等，與分數(shù)的概念、基本性質(zhì)、約分與通分等相對應(yīng)，因此解決分式的有關(guān)問題，同樣需要類比分數(shù)的方法獲得.顯然，這里賦予字母[x]的值較為復雜，直接將[x=3-1]代入原式，關(guān)于數(shù)的運算非常煩瑣. 如果先對式子進行化簡，將含有字母[x]的關(guān)系簡化為[x+1]，再代入數(shù)值，運算得以優(yōu)化.

類似地，考查“先化簡，再求值”的還有青海卷第21題、江蘇鹽城卷第19題、浙江金華卷第18題、福建寧德卷第19題、山東聊城卷第18題、湖南懷化卷第18題、湖南長沙卷第18題、甘肅武威卷第20題、新疆兵團卷第17題、四川成都卷第16題和廣安卷第18題等.

另外，同樣屬于“先化簡，再求值”，山東菏澤卷第16題，要求化簡的式子是[1+m-nm-2n÷n2-m2m2-4mn+4n2，]

其中含有兩個字母m，n滿足[m3=-n2]，解決的關(guān)鍵仍是先利用分式的約分和通分，將式子化簡為[3nm+n]，再將m，n所滿足的式子變形為[m=-32n]，代入即可. 可見，在簡化式子各量之間關(guān)系的過程中，運算起到了重要作用.

例11 （福建卷）已知非0實數(shù)x，y滿足[y=xx+1]，則[x-y+3xyxy]的值等于 ? ? ?.

設(shè)計思路分析：此題沒有給出字母x，y所代表的具體的數(shù)值，而是以滿足[y=xx+1]的形式予以呈現(xiàn)，要求[x-y+3xyxy]的值. 如果將含有字母x表示y的式子[y=xx+1]直接代入，得到[x-xx+1+3x · xx+1x · xx+1]，運算將非常煩瑣. 考慮先將[x-y+3xyxy]化簡，可得[x-yxy+3];再將[y=xx+1]變形，得[xy=x-y]，即[x-yxy=1];最后代入時，則非常簡捷.

像這樣，通過適當?shù)淖冃?，建立式子之間的聯(lián)系，選擇合理的運算方法，也是命制關(guān)于代數(shù)式化簡的中考試題時經(jīng)常用到的.

類似地，有江蘇蘇州卷第15題、四川自貢卷第7題和南充卷第14題等.

例12 （浙江·麗水卷）如圖2，數(shù)學活動課上，小云和小王在討論張老師出示的一道代數(shù)式求值問題：

結(jié)合他們的對話，試解答下列問題：

（1）當a = b時，a的值是 ? ? ? .

（2）當a≠b時，代數(shù)式[ba+ab]的值是 ? ? ? .

設(shè)計思路分析：此題設(shè)置了數(shù)學活動課上的一個問題情境，討論關(guān)于代數(shù)式求值的問題. 字母可以表示數(shù)，不同的字母也可以表示同一個數(shù)，情境中的問題很好地考查了對字母含義的理解.

第（1）小題，實數(shù)a，b表示同一個數(shù)時，顯然容易得出結(jié)果;第（2）小題，當a ≠ b時，需要考慮實數(shù)a，b滿足的其他條件，這里設(shè)置了“a2 + 2a = b + 2，b2 + 2b = a + 2”，兩式相減，化簡后，可得[a+b ·][a-b=][-3a-b]. 進而得到實數(shù)a，b之間的關(guān)系，代入即可. 這里，通過適當?shù)倪\算，合理簡化實數(shù)a，b之間的代數(shù)關(guān)系是關(guān)鍵.

類似地，還有浙江臺州卷第8題、四川涼山州卷第19題.

另外，四川樂山卷第19題，需要將式子[Ax-1-][B2-x=2x-6x-1x-2]進行變形，但對運算能力的要求較高，不僅需要熟練地運用分式、整式的運算對式子進行化簡，還需要結(jié)合二元一次方程組的知識，以及對式子中字母的含義、分式的意義的理解. 將數(shù)與式的相關(guān)問題，同數(shù)與代數(shù)學習領(lǐng)域的內(nèi)容相結(jié)合，共同處理含有字母的式子，運算方法的選擇尤為重要.

3. 數(shù)式通性，養(yǎng)成良好的思維習慣，培育素養(yǎng)

（1）知道“數(shù)與式”能夠表達問題中的數(shù)量關(guān)系.

數(shù)與式，是對現(xiàn)實生活中的量及其關(guān)系的數(shù)學表達，是通過符號運算和形式推理表達現(xiàn)實世界中事物的本質(zhì)、關(guān)系與規(guī)律的重要載體.

例13 （天津卷）據(jù)2021年5月12日《天津日報》報道，第七次全國人口普查數(shù)據(jù)公布，普查結(jié)果顯示，全國人口共[141 178]萬人.將[141 178]用科學記數(shù)法表示應(yīng)為（ ? ?）.

（A） [0.141 178×106] （B） [1.411 78×105]

（C） [14.117 8×104] （D） [141.178×103]

設(shè)計思路分析：用科學記數(shù)法表示數(shù)值較大的數(shù)，不僅能讓學生體會數(shù)學的簡約之美，也讓學生感受數(shù)學知識廣泛應(yīng)用于社會生產(chǎn)和日常生活的各個方面，激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣和積極性，增強學好數(shù)學的信心和決心. 科學記數(shù)法的表示形式為a × 10n，其中的關(guān)鍵是確定a，n的值，應(yīng)滿足1 ≤[a]< 10，n為整數(shù).

類似地，以“第七次全國人口普查數(shù)據(jù)”為素材的，還有青海卷第10題、江西卷第7題、浙江溫州卷第3題、湖北恩施卷第2題、湖南長沙卷第2題等.

另外，2021年全國各地的中考試題，眾多地區(qū)涉及了科學記數(shù)法的表示方法，數(shù)據(jù)所依托的背景，均緊跟時代發(fā)展步伐，反映新時代中國特色社會主義建設(shè)新成就，積極宣揚了我國各領(lǐng)域所取得的科技新成果. 例如，北京卷第10題的“教育扶貧專項補助資金”、福建寧德卷第3題的“脫貧攻堅”、湖南邵陽卷第6題的“倡導節(jié)約用水”、黑龍江龍東卷第11題的“中國鐵路營業(yè)里程”等. 又如，以“天問一號探測器成功著陸火星”為背景，選取地球到火星的最近距離的數(shù)據(jù)作為考查對象的，有山東臨沂卷第2題、四川成都卷第3題、湖北黃岡卷第2題、江蘇無錫卷第12題、浙江嘉興卷第1題等.

例14 （湖南·懷化卷）觀察等式：2 + 22 = 23 - 2，2 + 22 + 23 = 24 - 2，2 + 22 + 23 + 24 = 25 - 2，…，已知按一定規(guī)律排列的一組數(shù)：2100，2101，2102，…，2199，若2100 = m，用含m的代數(shù)式表示這組數(shù)的和是 ? ? ? .

設(shè)計思路分析：此題需要觀察已知等式中數(shù)量之間的關(guān)系，并探求所形成的數(shù)量之和的規(guī)律. 考慮這組數(shù)：2100，2101，2102，…，2199的和，可以寫成（2 + 22 + 23 + … + 2199） - （2 + 22 + 23 + … + 299），按照已知的系列等式形成的規(guī)律，得2 + 22 + 23 + … + 2199 = 2200 - 2，2 + 22 + 23 + … + 299 = 2100 - 2，這里的2200與2100相關(guān)，只要附加2100 = m，原式即可表示為含有m的式子m2 - m.

尋求合理的方式，構(gòu)建已知與未知數(shù)量之間的聯(lián)系，并用含有字母的式子表達已知數(shù)量之間所存在的規(guī)律，是解決這類問題的關(guān)鍵. 例如，云南卷第6題，通過觀察單項式a2，4a3，9a4，16a5，25a6，…所形成的規(guī)律，要求寫出第n個單項式;浙江嘉興卷第13題，通過觀察系列等式：1 = 12 - 02，3 = 22 - 12，5 = 32 - 22，…，要求寫出按此規(guī)律的第n個等式2n - 1的式子n2 - （n - 1）2. 類似地，還有青海卷第20題和四川眉山卷第17題.

另外，通過觀察某些圖形所形成的特點，按照具體圖形之間的聯(lián)系，得出運算規(guī)律，進而解決與圖形有關(guān)的問題，有江蘇揚州卷第18題的“黑色圓點的個數(shù)”、湖北恩施卷第16題的“五邊形數(shù)”和四川涼山州卷第17題的“火柴棍拼圖”等.

（2）知道“數(shù)與式”能夠解決新定義的數(shù)學問題.

面對新定義的數(shù)學問題，能夠從中概括出一般的結(jié)論，在數(shù)與式、特殊與一般之間相互轉(zhuǎn)化，共同形成解決問題的方法與策略，受到越來越多命題者的青睞.

例15 （湖南·常德卷）閱讀理解：如果一個正整數(shù)m能表示為兩個正整數(shù)a，b的平方和，即m = a2 + b2，那么稱m為廣義勾股數(shù)，則下面的四個結(jié)論：① 7不是廣義勾股數(shù);② 13是廣義勾股數(shù);③ 兩個廣義勾股數(shù)的和是廣義勾股數(shù);④ 兩個廣義勾股數(shù)的積是廣義勾股數(shù). 依次正確的是（ ?）.

（A）②④ （B）①②④

（C）①② （D）①④

設(shè)計思路分析：此題將滿足條件m = a2 + b2的正整數(shù)m定義為廣義勾股數(shù)，要求在新定義的條件下進行相關(guān)結(jié)論的判斷. 結(jié)論①和結(jié)論②涉及具體的數(shù)值，由于7不能寫成兩個正整數(shù)的平方和，13可以寫成22 + 32，滿足廣義勾股數(shù)的定義，結(jié)論②正確;結(jié)論③和結(jié)論④，需要借助表示數(shù)值的字母，設(shè)兩個廣義勾股數(shù)為m = a2 + b2，n = c2 + d2，則m + n = a2 + b2 + c2 + d2，顯然不一定是廣義勾股數(shù)，結(jié)論③錯誤，因為m[?]n = （a2 + b2）（c2 + d2） = a2c2 + b2c2 + a2d2 + b2d2 = （ac + bd）2 + （ad[-]bc）2，滿足廣義勾股數(shù)的定義，結(jié)論④正確.

這里，借助數(shù)及用字母表示的式子，將新定義的廣義勾股數(shù)進行表達，再借助數(shù)與式的運算進行必要的推理，體現(xiàn)了數(shù)與式之間彼此交融、息息相關(guān)的本質(zhì)特征.

例16 （四川·涼山州卷）閱讀以下材料，蘇格蘭數(shù)學家納皮爾（J.Npler，1550-1617）是對數(shù)的創(chuàng)始人，他發(fā)明對數(shù)是在指數(shù)書寫方式之前，直到18世紀瑞士數(shù)學家歐拉（Euler，1707-1783）才發(fā)現(xiàn)指數(shù)與對數(shù)之間的聯(lián)系.

對數(shù)的定義：一般地，若[ax=N]（[a>0]，且[a≠1]），那么x叫做以a為底N的對數(shù)，記作[x=logaN]. 例如，指數(shù)式[24=16]可以轉(zhuǎn)化為對數(shù)式[4=log216]，對數(shù)式[2=log39]可以轉(zhuǎn)化為指數(shù)式[32=9]. 我們根據(jù)對數(shù)的定義可得到對數(shù)的一個性質(zhì)：

[logaM ? N=logaM+logaNa>0，a≠1，M>0，N>0.]

理由如下：

設(shè)[logaM=m，logaN=n]，則[M=am，N=an].

所以[M ? N=am ? an=am+n].

由對數(shù)的定義，得[m+n=logaM?N].

又因為[m+n=logaM+logaN]，

所以[logaM ? N=logaM+logaN].

根據(jù)上述材料，結(jié)合你所學的知識，解答下列問題：

（1）填空：①[log232=]___________;②[log327=]_______;③[log7l =]________.

（2）求證：[logaMN=logaM-logaN][a>0，a≠1，][M>0，N>0].

（3）拓展運用：計算[log5125+log56-log530.]

設(shè)計思路分析：此題設(shè)置了閱讀材料，基于“指數(shù)”給出新的定義“對數(shù)”，并討論了對數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用.

第（1）小題根據(jù)新的定義，可以模仿閱讀材料中“對數(shù)式”與“指數(shù)式”之間的相互轉(zhuǎn)化，由[25=32，]得[log232=5]. 同理得[log327=3]，[log7l =0]. 體會新定義中的字母可以表示任意數(shù). 第（2）小題根據(jù)新定義所得到的兩數(shù)相乘的對數(shù)的性質(zhì)及推理過程，完成兩數(shù)相除的對數(shù)的性質(zhì)及推理，能夠運用對數(shù)的定義，結(jié)合同底數(shù)冪的除法，用字母表達“對數(shù)式”與“指數(shù)式”的關(guān)系，并合理選用運算法則對式子進行化簡是解決問題的關(guān)鍵. 第（3）小題是對數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用，從對數(shù)運算的字母表達，轉(zhuǎn)化為具體數(shù)值的對數(shù)運算的問題，可以將loga（M · N） = logaM + logaN和loga[MN]= logaM - logaN逆用，所求式子表示為[log5125×630]即可.

此題，從新定義的“對數(shù)”出發(fā)，參照兩數(shù)相乘的對數(shù)性質(zhì)的推導過程得出兩數(shù)相除的對數(shù)性質(zhì)，到綜合運用對數(shù)的定義和性質(zhì)解決相關(guān)的運算問題，理解其中的字母與數(shù)值、指數(shù)與對數(shù)、特殊與一般之間的關(guān)系及其相互轉(zhuǎn)化，尤為重要.

例17 （重慶A卷）如果一個自然數(shù)[M]的個位數(shù)字不為[0]，且能分解成[A×B]，其中A與[B]都是兩位數(shù)，A與[B]的十位數(shù)字相同，個位數(shù)字之和為[10]，則稱數(shù)[M]為“合和數(shù)”，并把數(shù)[M]分解成[M=A×B]的過程，稱為“合分解”.

例如，因為[609=21×29]，[21]和[29]的十位數(shù)字相同，個位數(shù)字之和為[10]，所以[609]是“合和數(shù)”.

又如，因為[234=18×13]，18和13的十位數(shù)相同，但個位數(shù)字之和不等于[10]，所以[234]不是“合和數(shù)”.

（1）判斷[168]，[621]是否是“合和數(shù)”？并說明理由.

（2）把一個四位“合和數(shù)”[M]進行“合分解”，即[M=A×B.] A的各個數(shù)位數(shù)字之和與[B]的各個數(shù)位數(shù)字之和的和記為[PM];A的各個數(shù)位數(shù)字之和與[B]的各個數(shù)位數(shù)字之和的差的絕對值記為[QM]. 令[GM=][PMQM]，當[GM]能被[4]整除時，求出所有滿足條件的[M].

設(shè)計思路分析：此題定義了新數(shù)“合和數(shù)”，賦予字母[M]，A，[B]新的含義. 可使用字母表達這樣的含義，即[M=A×B，] [A=10m+n，] [B=10m+10-n，] [m，] [n]為自然數(shù)，且[1≤m≤9，] [1≤n≤9]. 題設(shè)條件中給出“例如”，以舉例子的方式，呈現(xiàn)文字所描述的“合和數(shù)”的特點，有利于對新數(shù)的理解.

第（1）小題可直接依據(jù)“合和數(shù)”的定義，由[168=12×14]，這里[2+4≠10]，所以[168]不是“合和數(shù)”，由[621=23×27]，23與27的十位數(shù)字相同，且個位數(shù)字3 + 7 = 10，[621]是“合和數(shù)”. 事實上，對于[M=A×B=10m+n10m+10-n]，可得對于任意1至9的自然數(shù)[m，] [n，] 所構(gòu)成的新數(shù)[100mm+1+n10-n]一定是“合和數(shù)”，于是當[m]= 2，[n]= 3時，得到的數(shù)621即為“合和數(shù)”，按照這個特點，可命制出許多符合條件的“合和數(shù)”. 可見，用字母可以表達符合某種特定條件的一系列的數(shù)，再借助用字母表達的式子的運算，能得到一般性的結(jié)論.

第（2）小題對學生的能力要求較高，應(yīng)基于字母M，A，B的含義，用含有m，n的式子將[PM]，[QM，][GM]表達出來，得[PM=2m+10，] [QM=2n-10]. 于是[GM=m+5n-5]. 這里，只要討論m，n所對應(yīng)的自然數(shù)滿足運算的結(jié)果能被4整除就可以了，顯然[m]= 3或7，再對應(yīng)得出[n]的值. 所以，滿足條件的[M]有四個：[1 224]，[1 221]，[5 624]，[5 616].

此題涉及新定義的數(shù)學問題，理解“合和數(shù)”的定義，用字母表達新數(shù)及其構(gòu)成的規(guī)律，并綜合運用數(shù)與式的運算予以解決，進一步揭示了數(shù)式通性，運算具有一致性的代數(shù)特征.類似地，以新定義的方式，重慶B卷第24題設(shè)置了“共生數(shù)”，甘肅武威卷第9題設(shè)置了“相隨數(shù)對”，同樣需要在新定義情境下，運用相關(guān)運算解決問題.能夠根據(jù)題目條件尋求正確的運算途徑，是分析、解決這類問題的關(guān)鍵.

4. 立德樹人，弘揚中華優(yōu)秀文化，美美與共

（1）根植于中華優(yōu)秀文化.

中國古代數(shù)學達到了很高的造詣. 例如，三國時期的劉徽，所著的《九章算術(shù)注》和《海島算經(jīng)》是中國古代最為寶貴的數(shù)學寶藏;南北朝時期的祖沖之繼劉徽之后，將圓周率成功推算至小數(shù)點后七位，這個計算結(jié)果比歐洲早一千多年;等等. 以此作為中考命題的素材，在考查數(shù)與式相關(guān)內(nèi)容的基礎(chǔ)上，可有效激發(fā)學生的愛國情懷，增強民族自信心和自豪感.根植于中國古代的優(yōu)秀文化，傳承優(yōu)秀的數(shù)學教育思想，呈現(xiàn)基于數(shù)的運算及其規(guī)律的探究，為眾多命題者所采用.

例18 （江西卷）圖3在我國宋朝數(shù)學家楊輝1261年的著作《詳解九章算法》中提到過，因而人們把這個表叫做楊輝三角，試根據(jù)楊輝三角的規(guī)律補全表第四行空缺的數(shù)字是 ? ? ? ?.

設(shè)計思路分析：此題選取我國宋朝數(shù)學家楊輝1261年的著作《詳解九章算法》中的“楊輝三角”為素材，觀察發(fā)現(xiàn)，圖中的數(shù)字排列成一個大三角形，位于兩腰上的數(shù)字均是1，其余數(shù)字均等于它上面兩數(shù)字之和，觀察、發(fā)現(xiàn)、應(yīng)用是此題設(shè)計的出發(fā)點，也是思考數(shù)學問題的重要方面.

事實上，這個大三角形還可以用來開方和解方程，而且與組合、高階等差級數(shù)等數(shù)學知識有密切的關(guān)系，極大地豐富了我國古代數(shù)學寶庫，為數(shù)學科學做出了卓越的貢獻.

例19 （湖北·隨州卷）2021年5月7日，《科學》雜志發(fā)布了我國成功研制出可編程超導量子計算機“祖沖之”號的相關(guān)研究成果. 祖沖之是我國南北朝時期杰出的數(shù)學家，他是第一個將圓周率π精確到小數(shù)點后第七位的人，他給出π的兩個分數(shù)形式：[227]（約率）和[355113]（密率）.同時期，數(shù)學家何承天發(fā)明的“調(diào)日法”是程序化尋求精確分數(shù)來表示數(shù)值的算法，其理論依據(jù)是：設(shè)實數(shù)x的不足近似值和過剩近似值分別為[ba]和[dc]（即有[ba]< x <[dc]，其中a，b，c，d為正整數(shù)），則[b+da+c]是x的更為精確的近似值. 例如，已知[15750]< π <[227]，則利用一次“調(diào)日法”后可得到π的一個更為精確的近似分數(shù)為[157+2250+7=17957];由于[17957]≈ 3.140 4 < π，再由[17957]< π <[227]，可以再次使用“調(diào)日法”得到π的更為精確的近似分數(shù)……現(xiàn)已知[75]<[2]<[32]，則使用兩次“調(diào)日法”可得到[2]的近似分數(shù)為 ? ? ? ? .

設(shè)計思路分析：此題依托經(jīng)典，通過介紹利用“調(diào)日法”得到π的更為精確的近似分數(shù)的方法，給出[2]的不足近似值和過剩近似值分別為[75]和[32]，要求使用兩次“調(diào)日法”求[2]的近似分數(shù).

此題源于中國古代研究的成就，用含有字母的式子表示程序化尋求精確分數(shù)來表示數(shù)值的算法“調(diào)日法”，從[ba]< x <[dc]，到[b+da+c]能表示x的更為精確的近似值，到可以再次使用“調(diào)日法”，實現(xiàn)逐步接近x的更為精確的近似值的效果，完美呈現(xiàn)了中國古代數(shù)學家的研究方法與智慧，成為這類試題設(shè)計的亮點.

此外，江蘇鹽城卷第22題，也是選取圓周率π作為題目的素材，指出：歷史上，祖沖之、劉徽、韋達、歐拉等數(shù)學家都對π有過深入的研究. 目前，超級計算機已計算出π的小數(shù)部分超過31.4萬億位. 所不同的是，題目進一步設(shè)計為與概率內(nèi)容相結(jié)合的綜合性問題.

（2）落實立德樹人根本任務(wù).

通過數(shù)學學科內(nèi)容的教學與評價，落實立德樹人根本任務(wù)，是命制中考試題必須遵循的重要指導思想. 需要以數(shù)學學科內(nèi)容為載體，體現(xiàn)作為一門科學的數(shù)學所表現(xiàn)出來的文化特征及應(yīng)用價值，幫助學生感受到數(shù)學的美好，形成解決數(shù)學問題的一般策略和方法.

例20 （湖北·黃岡卷）人們把[5-12]這個數(shù)叫做黃金分割數(shù)，著名數(shù)學家華羅庚的優(yōu)選法中的[0.618]法就應(yīng)用了黃金分割數(shù). 設(shè)[a=5-12]，[b=5+12]，得[ab=1]. 記[S1=11+a+11+b]，[S2=11+a2+11+b2]，…，

[S10=11+a10+11+b10]. 則[S1+S2+…+S10=]_________.

設(shè)計思路分析：黃金分割是幾何中的一個著名問題. 此題以我國著名數(shù)學家華羅庚的優(yōu)選法中的[0.618]法應(yīng)用了黃金分割數(shù)作為背景，將人們熟知的黃金分割數(shù)[5-12]作為切入點，賦予了字母a，b的含義及關(guān)系，進而通過構(gòu)造一系列有規(guī)律的含有a，b的式子，討論這些式子的和. 這里，[S1]，[S2]，…，[S10]所含有的a，b的式子具有相同的結(jié)構(gòu)，由[S1=11+a+11+b]，根據(jù)分式運算法則，得[11+a+11+b=1+b+1+a1+a1+b=][2+a+b1+a+b+ab]. 又由[ab=1]，易得[S1=1]. 注意到，在保持[ab=1]的情況下，運算過程中a，b的指數(shù)對于運算結(jié)果并沒有產(chǎn)生影響，即[11+ai+11+bi=1+bi+1+ai1+ai1+bi=][2+ai+bi1+ai+bi+abi]，i可以是任意數(shù)，因此[Si=1]恒成立. 此題僅要求[S1]至[S10]的和，所以[S1+S2+…+ S10=10].

解決此題的關(guān)鍵，是根據(jù)式子構(gòu)成的特點，且算且看，不盲目陷入式子的繁雜運算之中，這需要仔細的觀察、有邏輯的思考，以及合理使用題目中的已知條件. 同時，題目冠以極具美感的黃金分割數(shù)，在代數(shù)運算中，感受式子的簡約、對稱、相似之美，體會運算結(jié)果與初始條件的本質(zhì)關(guān)聯(lián)，將有助于學生養(yǎng)成良好的思考、分析問題的習慣，有助于數(shù)學素養(yǎng)的形成和發(fā)展.

三、模擬題

1. 2021年5月15日7時18分，天問一號著陸巡視器成功著陸于火星，我國首次火星探測任務(wù)著陸火星取得圓滿成功. 探測器距離地球約3.2億千米. 將3.2億用科學記數(shù)法表示應(yīng)為（ ? ?）.

（A） [32×106] （B） [32×107]

（C） [3.2×107] （D） [3.2×108]

答案：D.

【提示】先將3.2億寫成[320 000 000]，再用科學記數(shù)法表示為形如a × 10n的式子，其中a，n的值應(yīng)滿足1 ≤ [a]< 10，n為整數(shù).

2. 在數(shù)軸上表示實數(shù)a，b的點的位置如圖4所示，有以下結(jié)論：①[a+b<0;] ②[a-b<0;] ③[ab>0;]④[ab<1]. 則正確結(jié)論的個數(shù)是（ ? ?）.

（A）1個 （B）2個

（C）3個 （D）4個

答案：C.

【提示】觀察數(shù)軸，得[a<b<0]. 顯然，結(jié)論①②③正確. 取[a=-2]，[b=-1]，則[ab=2]，與[ab<1]矛盾，結(jié)論④不正確.

3. 已知[M=b+ca]，[N=a+cb]，[P=a+bc]，其中a，b，c滿足[a>0>b>c]，且[a+b+c=1]，則M，N，P的大小關(guān)系是（ ? ?）.

（A） [M<N<P] （B） [N<P<M]

（C） [M<P<N] （D） [P<N<M]

答案：B.

【提示】觀察式子的特點，有[M+1=a+b+ca]，[N+1=a+b+cb]，[P+1=a+b+cc]. 因為[a>0>b>c]，得[1b<1c<1a]. 結(jié)合[a+b+c=1]，即可得解.

4. 定義新運算：對于任意實數(shù)a，b（其中[a≠0]），都有[a?b=a-ba-1a]，等式右邊是通常的加法、減法及除法運算. 例如，[2?3=2-32-12=-1]. 則[-2?3]的值為 ? ? ? ?.

答案：3.

【提示】依據(jù)新定義的運算規(guī)則，有[-2?3=][-2-3-2-1-2=52+12=3].

5. 如圖5，用[n]個邊長為2a和a的小平行四邊形拼成一個大平行四邊形，若[n=2 022]，則用含有a的式子表示所拼成的一個大平行四邊形的周長為 ? ? ?.

答案：8 090a.

【提示】按照圖5，拼成一個大平行四邊形的方法，所拼成的一個大平行四邊形的周長[ln]與a有關(guān). 當[n=1]時，周長[l1=6a];當[n=2]時，周長[l2=10a];當[n=3]時，周長[l3=14a];當[n=4]時，周長[l4=18a];…. 可得周長[ln=4n+2a]，代入[n=2 022]即可.

6. 先化簡，再求值：[m-32m-4÷5m-2-m-2]，其中[m=6-3].

答案：[-612].

【提示】此題應(yīng)先進行分式的化簡，將括號內(nèi)的式子通分，經(jīng)過因式分解、約分后，得原式 =[-12m+3]，再代入[m=6-3].

7. 數(shù)學活動課上，一位同學發(fā)現(xiàn)：[0×1×2×3+][1=1，] [1×2×3×4+1=25=52，] [2×3×4×5+1=121=112，]

[3×4×5×6+1=361=192]，…. 由此猜想：任意四個連續(xù)自然數(shù)的積加上1，一定是一個正整數(shù)的平方. 你認為他的猜想正確嗎？說明理由.

答案：正確.

【提示】根據(jù)題意，設(shè)[n]為任意自然數(shù)，則四個連續(xù)自然數(shù)的積可表示為[nn+1n+2n+3]. 化簡含有[n]的式子[nn+1n+2n+3+1]，可得[n2+3n+12].

綜上，基于對2021年中考數(shù)學試題“數(shù)與式”專題的命題分析，可以看到數(shù)系擴充和用字母表示數(shù)是研究數(shù)與式的重要內(nèi)容，感受到數(shù)與式是對現(xiàn)實世界中事物抽象的結(jié)果，是數(shù)學思考和數(shù)學表達的重要形式，是數(shù)學抽象能力、運算能力、推理能力的集中反映，將其有效融入命題之中，是評價育人效果的重要方面. 可以體會到，同向同行，數(shù)式通性，才會把握要領(lǐng);各美其美，相輔相成，方能美美與共，真正契合代數(shù)發(fā)展的內(nèi)在規(guī)律.

參考文獻：

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