張西平

(1.北京語言大學，北京 100083；2.北京外國語大學，北京 100089)

在梵蒂岡圖書館所藏的白晉易學研究手稿中，最為復雜的是他對象、數(shù)、圖的研究，而這也是他在易學研究上最有所創(chuàng)新和獨特之處。本文擬對其《易經(jīng)》外篇思想，即象數(shù)研究展開分析，對白晉易學象數(shù)研究的思路內(nèi)在邏輯、主要觀點展開研究，同時對他在整個問題上與康熙帝的互動及其學術(shù)貢獻展開討論。

一、中國傳統(tǒng)易學象數(shù)研究的歷史

《四庫全書總目》將易學分為兩派六宗，兩派指象數(shù)派、義理派。在歷史文獻上，“象”、“數(shù)”對稱，最早見于《左傳·僖公十五年》：“龜，象也；筮，數(shù)也。物生而后有象，象而后有滋，滋而后有數(shù)”。“象數(shù)”連用，大約在漢代。如《易緯·乾坤鑿度》：“八卦變策，象數(shù)庶物，老天地限以為則。”然而，作為龜象筮數(shù)的”象數(shù)”則應上溯到《易經(jīng)》以前的遠古時代。

邵雍說：“象也者，盡物之形也；數(shù)也者，盡物之體也?！?《皇極經(jīng)世書·觀物內(nèi)篇》)在易學研究史上，所謂的“象數(shù)派”就是“以象數(shù)為本位，采用取象取數(shù)的方法闡釋《周易》經(jīng)傳，以回答象辭相應之理。屬于易學范疇，而易學又是經(jīng)學的一處，因而構(gòu)成了經(jīng)學>易學>象數(shù)易學的層次關(guān)系。象數(shù)易學的目的是解釋《周易》經(jīng)傳，研究《周易》卦爻象與卦爻辭，研究方法是立足于‘象’和‘數(shù)’，從‘象數(shù)’出發(fā)，尋找卦爻象數(shù)所象征事物之象，然后反過來解釋卦爻辭，認為卦爻辭與卦爻象之間有必然的邏輯關(guān)系。為了解《易》，擴大了取象取數(shù)的范圍，增加了大量物象、事象，并發(fā)明了各種象數(shù)圖式，如卦變圖、河圖洛書、先天圖、太極圖等”。①

對《易經(jīng)》最早的研究應是從《易傳》開始，經(jīng)是經(jīng)，傳是傳，傳的根本在于研究經(jīng)。這樣一來，研究《易經(jīng)》就存在著取象說和取義之說兩種不同的方法。取象是以卦象所象征的物象來解釋《易經(jīng)》中的卦爻象和卦爻辭。取義說是取八卦和六十四卦卦名的涵義，解釋卦爻象和卦爻辭。這兩種研究方法，在最初研究《易經(jīng)》的成果《易傳》的體系中是并存的。可是，漢朝以后，這兩種說法逐漸發(fā)展為兩大對立的流派：象數(shù)學派和義理學派?！爸貜年庩柶媾贾當?shù)、九六之數(shù)、大衍及天地之數(shù)、卦爻象以及八卦所象征的物象來解說《周易》經(jīng)傳文義的，稱為象數(shù)之學。而著重從卦名的意義和卦的德行解釋《周易》經(jīng)傳文，注重闡發(fā)其中義理的，則屬于義理之學。這兩大流派，無論對《周易》經(jīng)傳文字的解釋，還是對其理論的闡發(fā)，都具有自己的特色，而且展開了長期的爭論?！雹?/p>

從漢到清，象數(shù)派為易學的發(fā)展貢獻了自己的智慧，如果對象數(shù)派作一總結(jié)，一般認為有兩點：(一)運用象數(shù)方法闡釋《周易》象辭關(guān)系。象數(shù)派延用取象取數(shù)的方法解釋《周易》卦爻辭，說明象辭之間存在相應的邏輯關(guān)系。但有些學者認為，“取象取數(shù)完全是為了解經(jīng)的需要，并沒有固定不變的規(guī)則，哪種物象能解通卦爻辭就取哪種物象，因而不能不走向煩瑣之途，并帶來種種弊端”。③這也說明象辭之間并沒有必然的邏輯關(guān)聯(lián)，不過象數(shù)學尋找事物之間普遍聯(lián)系的思維方式還是有積極意義的。(二)創(chuàng)立象數(shù)圖式發(fā)揮《周易》哲學原理。象數(shù)學派創(chuàng)立圖式解《易》，借圖式以闡發(fā)《周易》基本原理，圖的研究成為易學一個重要的方面。這主要是宋明象數(shù)派的特點。

白晉之前，在中國悠久的《易經(jīng)》象數(shù)研究歷史中，尚未見到一個歐洲人所繪制的易圖圖式。白晉是中國歷史上第一個繪制《易經(jīng)》圖式的歐洲人。應該說，白晉的《易經(jīng)》象數(shù)圖式豐富了清代的《易經(jīng)》圖式歷史。

二、白晉關(guān)于數(shù)象圖總的說明

(一)象數(shù)圖總體關(guān)系

白晉在《易經(jīng)一》(Borg.cin.317-8)這份文獻中有一個對易經(jīng)數(shù)象圖的總體說明，十分重要，轉(zhuǎn)錄如下：

易數(shù)象圖總說

內(nèi)《易》之秘，奧蘊至神。雖難測而難達，幸由外《易》數(shù)象圖之妙，究其內(nèi)之精微，則無不可知矣?！兑讉鳌吩疲骸皡⑽橐宰?，錯綜其數(shù)。通其變，遂成天地之文。拯其數(shù)，遂定天下之象?！贝四私y(tǒng)貫象圖，而包括外《易》之廣大也。若能拯其數(shù)，觀其象，即真可知矣。是以古者包羲氏之王天下也，未有文字，欲通書契，以開天道于穆無聲無臭之秘。惜其書不盡言，言不盡意。由是仰觀俯察，度天測地，近取諸身，遠取諸物，而儗諸其形容，象其物宜，審其數(shù)象之理。凡可見者皆象，可計者皆數(shù)。雖殊類異性，千變?nèi)f化，莫越于數(shù)象之外，莫非神與物，莫不歸于有形無形之二宗。皆本于天，同為帝德神明之象。因推大本，至于帝出乎震之初，當發(fā)令而生物，則以數(shù)生象，成形之規(guī)，造化神形。其萬有之生生，無異于數(shù)之生生。理與數(shù)，數(shù)與象，自然相關(guān)而不相離。因言理莫如數(shù)，明數(shù)莫如象。數(shù)象所不及者，莫如圖以顯之。于是先師倚數(shù)列象畫卦，而成大《易》方圓二圖。其中六十四卦、三百八十四爻，莫非數(shù)也，莫非象也。則是象由數(shù)而出，數(shù)因象而行焉。所以古今言易圖者，無不以數(shù)象言之也。數(shù)無象而先于象，為萬象所寓而出之原。故凡有形者，生于無形。數(shù)本無形，惟可度可計，有多寡之類，應天無形，以陰陽言之也。象無異于形，惟可測可見，有大小之類，應地有形，以剛言之也。數(shù)與象皆有始而無窮，故先師所立方圓二圖者，以窮天地萬物始終之情，乃明先天生其物之理，盡后天成其物之義也矣。欲詳《易》外學之妙，俱在于詳究《易》數(shù)象圖之奧耳。④

白晉在這里表達了幾層意思：首先，《易經(jīng)》起源于對象觀察。這就是“由是仰觀俯察，度天測地，近取諸身，遠取諸物，而儗諸其形容，象其物宜，審其數(shù)象之理”。其次，說明了在易學研究中象數(shù)圖之間的關(guān)系，這就是“理與數(shù)，數(shù)與象，自然相關(guān)而不相離。因言理莫如數(shù)，明數(shù)莫如象。數(shù)象所不及者，莫如圖以顯之”。白晉在這段總論中確立了象數(shù)圖在整個易學研究中的地位和象數(shù)圖三者之間的關(guān)系。易學象數(shù)的價值在于：“吉兇之關(guān)，天文之妙、歷法之正，格物之規(guī)，窮理之矩，治平之范、輕重之衡，幾何之實，律呂之美，算法之要，象圖之微，萬學萬殊，先圣之所以盡備于《易》。”⑤這說明白晉的易學外篇研究包括了天文歷法、律呂幾何、象數(shù)圖等多方面的內(nèi)容。這正是白晉易學外篇不同于中國傳統(tǒng)易學象數(shù)派之處。

(二)易學外篇與易理內(nèi)篇之關(guān)系

《易經(jīng)總說稿》⑥和《易經(jīng)一》⑦是白晉留在梵蒂岡圖書館易學研究的兩份重要手稿，這兩份文獻對于解開這批文獻的內(nèi)在關(guān)系有重要價值，因為它們都是作者研究的總綱。在《易經(jīng)總說稿》中，白晉說：“夫易自為經(jīng)也，有理焉，有數(shù)焉，有象焉，有圖焉。圖不離象，象不離數(shù)，數(shù)不離理；理生數(shù)，數(shù)生象，象生圖；圖備而象顯，象立而數(shù)著，數(shù)出而理明。是故，凡欲知理者，莫若明數(shù)，欲明數(shù)者，莫若觀象，欲觀象者，莫若玩圖。四者之中，理為要，蓋易之所以為易者，道也”。⑧

由此，白晉把易的內(nèi)容分為兩類，一類是圖，一類是理。白晉認為在上古的三易時，易中就有內(nèi)外之分，“三易之中復有內(nèi)外焉，象者，外焉，道者，內(nèi)也。數(shù)也，幾何也，輕重也此三者，象也。天也，地也，人也，此三者道也。由外入內(nèi)，因象明道，易之本也”。⑨在《易經(jīng)一》即《易經(jīng)總說》中，他也表達了同樣的意思，認為《易經(jīng)》是文字之祖，義理之宗，概括了天下的道理。

理也，學也，約之為兩端：一天學，一世學耳。夫天學著者，大到也，神道也，即內(nèi)學心法也，其義之精微，盡蘊于易之文之秘；夫世學者，其理之廣大，品類雖繁，無不具于數(shù)，幾何，天文，律呂，格物，盡現(xiàn)于易之數(shù)象圖之奧。⑩

這樣，易理就分為內(nèi)外之學，白晉的研究路徑在于：“謹遵圣教，竭盡鄙誠，是以分為易學內(nèi)外兩篇……此先以外篇言之，嗣以內(nèi)篇言之”?！叭字校袃?nèi)外焉。象者，外焉，道者，內(nèi)也。數(shù)也、幾何也、輕重也。此三項者，象也。天也、地也、人也，此三項道也。由外入內(nèi)，因象明道，易之本乎矣。”

照此思路，應是易學外篇的寫作在前，易學內(nèi)篇寫作在后。筆者也是依據(jù)白晉這個思路，將其文獻分成“義理研究文獻”和“象數(shù)研究文獻”兩大部分，對這兩部分文獻分別展開辨析，從而分別從“白晉易學義理研究述略”和“白晉易學象數(shù)研究述略”兩個角度展開研究。

在易學外篇的研究中，白晉首先從總體上確定了象數(shù)研究在易學研究中的地位。他認為在易學研究中無非是內(nèi)外兩條思路，這兩條思路各有其對象和內(nèi)容。他說：

言乎其內(nèi)，易學即天學心法也，雖測不可見，道理之精微，不外于此；言乎其外，即天地之始終，人物之生死，古今之世變，凡有性可見，有數(shù)可測者，盡備于其中，而顯于易數(shù)象圖。

三、先天后天三易是象數(shù)圖之本原

在易學研究中，白晉認為理解易理要從數(shù)入手，而理解數(shù)又要從象入手，“數(shù)象所不及者，莫如以圖示之，正因為此，伏羲先師倚數(shù)列象畫卦而成大易方圓圖，而六十四卦，三百八十四爻莫非數(shù)也，莫非象也”。這里，他說明了易學研究中的數(shù)象圖之間的關(guān)系。在白晉看來，易學之象數(shù)源于對數(shù)的理解，他說：

道規(guī)之始，既立于一，先師思夫一為數(shù)之本，其能雖全無極，然獨一不生，乃萬數(shù)無不屬于陰陽，皆由其先陰陽之所生。數(shù)之本已立，則以陰陽之二元繼之。論數(shù)之理，一與一為二，乃一生一。夫二可半，為偶為陰，諸陰偶之元也。二與一為三，乃二生三。夫三不可半，為奇為陽，諸陽奇之元也。是知一二三為陰陽奇偶諸數(shù)，生生之三才一本二元。天地陰陽諸數(shù)，生生至于無窮，必始于一而成于三。理與數(shù)相關(guān)，在數(shù)既然，在理亦莫不然也。

這里，白晉是從陰陽引出數(shù)的一二三，同時，一二三之提出也和易學歷史相關(guān)。在他看來，在易學的數(shù)象圖研究中最根本的是什么呢？他引經(jīng)據(jù)典指出：

《周禮·大卜》三《易》云：一曰《連山》，二曰《歸藏》，三曰《周易》。”《易緯乾鑿度》云：“《易》一名而含三義?！薄兑讉鳌吩疲骸傲持畡樱龢O之道也?！薄秱鳌吩疲骸耙子刑珮O?！奔扔幸缀啞⒆円?、不易之三《易》，則各有其太極，共三個太極而已。注云：“天地人三才，各一太極?！比魵w之于一不易之《周易》則非，《周易》豈有三太極乎？若歸之于三《易》，即所謂天地人三才，則自然各有其太極也。

這樣就引出了易學中的“一二三”的概念，白晉認為易學中的“一二三”，最重要的原和本，即連山易，歸藏易，周易這三種文本。對一二三的論述，他有三易逐步轉(zhuǎn)向象數(shù)，如他所說：

白晉對一二三的論述在不同的手稿中表達不一。一方面，他把一二三這個數(shù)的問題引向神學，例如《易引》的第六節(jié)說：“此節(jié)發(fā)明一三主造宇宙之原旨”。另一方面，他又從一二三數(shù)字開始，為其易學外篇的象數(shù)研究打開門戶。這是我們在把握白晉的易學外篇時要注意的。

同時，白晉認為，這個一二三也可以說是“三才”。白晉在此基礎(chǔ)上又借用易學研究中“先天后天”的概念加以發(fā)揮?！对铝顝V義》中有：“先天、中天、后天”之說，王弘的《周易圖說述》：“邵子嘗云：先天學，心法也。萬化萬事，生乎心也。圖雖無文，天地萬物之理，盡在其中?；騿柡我玻吭唬褐熳釉疲阂蝗沼幸蝗罩\，一月有一月之運，一歲有一歲之運。大而天地之始終，小而人物之生死，遠而古今之世變，皆不外乎此”。這樣，白晉的“先天后天”之說就有了歷史的基礎(chǔ)。所以，他在《易學外篇》的首節(jié)就討論“先天后天三易各數(shù)象圖之本原”。

白晉認為，連山易所以簡潔、易行，根本在于“先天全吉之時，天道平平，貴靈賤形，神而陽明，天心純?nèi)势帐?，連山易簡之易行焉”。后歸藏變化“貴形賤靈”，由此天震怒，這樣才產(chǎn)生“與鬼神合其吉兇，仁義之德備”的周易不易之易。他說：

先天未變，先天已變，后天不變?nèi)字?，一分各兼三才，而為三才之道各本于函三一太極也。連山之易，即系神純明，歸藏之易，即系鬼純幽，周易即系神鬼幽明。故之，先師以一純明，一純幽，一半明半幽三環(huán)之圓為其太極圖，而分別傳于世。

純明是“天”，純幽是“地”，一半明一半幽是“人”。這樣，他把三易和太極圖連在了一起，同時為后面的以天主教解經(jīng)埋下了伏筆。同時，白晉的先天后天之說也是對易學史的一個總結(jié)，他認為：“或云伏羲氏之小成，神農(nóng)易之為中成，黃帝易之為大成。伏羲氏之先天，神農(nóng)易之為中天，黃帝易之為后天”。

白晉在易學外篇研究上有一個龐大的計劃，他說：“故于凡觀大《易》三義之數(shù)象圖，分解印符，其中所系先天未變、先天已變、后天不變者，分析而成三卷。于三卷之首，將《易》一而函三義之原旨，各釋詳注矣”。白晉是受康熙皇帝之命來研讀《易經(jīng)》的，他的研究結(jié)果都要送康熙審閱，因而文中不時有對康熙的溢美之詞。在提到三易之象數(shù)圖由于年代久遠，無法考證，歷代眾說紛紜時，白晉說：

今盛朝，我皇上天縱聰明，遠邁前代，學貫上古，五十載，日專務道之本，洞察格物窮理、歷數(shù)律呂之精，躬教臣工，實可復明易學內(nèi)外之正，而闡明奧秘之微旨。

那么，這個奧秘之微旨是什么呢？白晉認為“一二三為易數(shù)象圖原本”，即一二三這三個數(shù)是易象數(shù)的全部奧秘 。他認為，包羲氏在上古未有文字時“知天道之精唯一無二，其理無窮，其體至神難測，不可見，不囿于方圓，自根自立，至先無始，超越天地數(shù)象之上，而為天地始終，萬有生生化化之原”。在白晉看來，這一個數(shù)非奇、非偶、非陰、非陽、非數(shù)、非象，這樣，它就是超越奇偶陰陽數(shù)象之上的，因而也是數(shù)象圖之本，為天地始終，萬有生生化化道心之象。有了這個本，

則陰陽之二元繼之，論數(shù)之理，一與一為二，乃一生一。夫二可半為偶為陰，諸陰陽偶之元也。二與一為三，乃二生三，夫三不可為半，為奇為陽，諸陽奇之元也。

這說明了由一到三的過程。這個一本二元，天地陰陽諸數(shù)，生生至于無窮的數(shù)象圖“必始于一而成于三”。一二三在數(shù)象圖中得到清楚的定位。白晉說：“上層之一自根自本，不在數(shù)內(nèi)，不顯象形卻為萬數(shù)萬象之根本，此正唯微之道心。”他又說：“三一內(nèi)容不曾發(fā)外，無極太極之象萬物之奧也?！庇纱耍袛?shù)之一二三推出天地人，易學之數(shù)就奠定了基礎(chǔ)。

四、天尊地卑之圖為先天未變易象圖之原

在對一二三作了初步的說明后，白晉進一步解釋他的易學外篇之觀點，并由此推演出《天尊地卑圖》作為易學數(shù)象的最高解釋。河圖洛圖與天尊地卑之圖為易象之原。白晉根據(jù)《易傳》和河圖、洛書的基礎(chǔ)數(shù)字，推演出《天尊地卑圖》為易學象數(shù)圖之原。他說：

河洛二圖，所以為先天未變，數(shù)象圖所出之原，其式何以知之？《易上傳》首章云：“天尊地卑，乾坤定矣。卑高以陳，貴賤位矣。動靜有常，剛?cè)釘嘁印７揭灶惥?，物以群分，吉兇生矣。在天成象，在地成形，變化見矣?！庇诖丝梢娚鲜加谝唬陆K于十，天尊地卑圖，真為先天未變，大《易》數(shù)象圖之原也。觀天尊地卑圖之數(shù)，即《易傳》所記“天一、地二、天三、地四、天五、地六、天七、地八、天九、地十。天數(shù)五，地數(shù)五，五位相得而各有合。天數(shù)二十五，地數(shù)三十，凡天地之數(shù)五十有五”是也。觀天尊地卑圖之式，即洛書始于一，終于九，五奇四耦，為四十五，乃地缺不足之數(shù)。河圖之始于一，終于十，五奇五耦，為五十五，乃天地均平之全數(shù)。將此河洛之數(shù)，于天尊地卑圖求之，即成河洛相兼合一之圖式可見矣。先師欲明此圖，所以為先天未變，《易》數(shù)象圖所出之原。

為何《天尊地卑圖》有如此高的地位？白晉在這里給了三條理由：其一，天尊地卑，乾坤定矣。這句話是《系辭》開篇之語，說明其地位；其二，《天尊地卑圖》所含之數(shù)合《系辭》中大衍數(shù)；其三，此圖之數(shù)又合河圖洛書之數(shù)。由此，白晉指出：“凡《易》卦爻之象，何以由天尊地卑圖之式而生，于前已釋矣。今將其數(shù)何以亦由天尊地卑圖所衍而出者釋之。《易》卦爻之數(shù)，有大成，有小成。其大成與小成之數(shù)，皆由河圖所衍，而本于天尊地卑圖之數(shù)也”。他認為：“天尊地卑圖真為先天未變，大易數(shù)象圖之原也。”《天尊地卑圖》是如何形成的呢？白晉從易學上給予了說明。“此無極太極將生萬物，一本二原，發(fā)本之象。”然后，從三角形向四層推進，“此無極太極，一本二原，發(fā)于外，衍成四方之象”。由此，而層層相加，不斷推進，“此圖即時將天尊地卑之圖層層相加相聯(lián)而成”。

《易傳》云：“生生之謂〈易〉》?！庇衷疲骸霸谔斐上螅诘爻尚??！卑讜x認為在《天尊地卑圖》上既包含天象之數(shù)也包含地象之數(shù)，實際上他用天象之數(shù)和地象之數(shù)來表達在《天尊地卑圖》中包含著平方的道理。所謂天象之數(shù)就是，在《天尊地卑圖》中黑白微圓，如果所位微圓謂天一，與次下位之地二，連積成三，這就是圖中第一個三極天象。如果再向下三格，連積成六，這就是第二個三極天象?！耙严轮劣诮K十，次第連積，仿此所生者，即十、十五、二十一、二十八、三十六、四十五、五十五，皆有三極之式，而成天象。由此推之，至于無窮，莫不皆然?！卑讜x在這里實際講的是平方數(shù)，即由三而成六，這是三的平方。

所謂其諸地形之數(shù)之式，從天尊地卑圖來看，此圖有九層空間，各層之數(shù)為極。次第連貫而成。如果上層之為一，向下三層三，連積而成四，就是到了第四層。而四意味著是二自乘之方數(shù)。這可稱為第一個三角之地形也。同樣，從第四層向下五層，連積成九，就是到了第九層。而九意味著三自乘之方數(shù)，即第二之三角地形。這樣推演下去終九，次第連積，仿此所生者，即十六、二十五、三十六、四十九、六十四、八十一，皆為方數(shù)，各有三角，而成地形也。由此推之，至于無窮，莫不皆然。白晉說：

已上所謂之地形者，面之方數(shù)也。實惟系天象。然因其數(shù)由諸三角形所生，故謂之形。其數(shù)之生生，亦莫不見于此圖矣。

同樣，《天尊地卑圖》也包含著立方的道理。他說：

天尊地卑圖中，凡微圓三極天象，與容方三角地形，各類之九，衍之至于五十五，乃天地相得合一之全數(shù)，則成天地大衍之圖。其中之微圓五十五位，三極天象，合于天一至尊，超諸形象之上者，共五十六位也。將此圖之容方五十五層，以始于一、終于十，五奇五耦，十位數(shù)自然之比例，次第分之為十層，則于此容方之積數(shù)，次第分見十個立方之例序。將此十個立方之積數(shù)并合之，則成三千二十五，即天數(shù)二十五、地數(shù)三十，共五十五自乘之方數(shù)。大衍之圖，衍之至于無窮。凡立方積數(shù)，次第之序，莫不見于其中矣。

白晉這里所說的五十五就是《天尊地卑圖》中共有五十五個微圓，五十五之立方就是三千二十五。五十五是個什么數(shù)呢？就是《系辭》中大衍數(shù)。通過這兩個論證，白晉認為在《天尊地卑圖》中既包含了平方之數(shù)也包含了立方之數(shù)。由此，說明天尊地卑之圖的價值，“《易》大成小成之數(shù)，所以由河圖之數(shù)式所衍，而本于天尊地卑圖者”。

五、白晉在易學外篇中關(guān)于開方的介紹

(一)平面象的論述

在Borg.cin.317-3中有一節(jié)題目為“此論系易學七節(jié)八節(jié) 一明凡有角邊之數(shù)象皆生于天尊地卑之圖，一解此圖內(nèi)含有開諸方之本。”在這一節(jié)白晉介紹了開方的知識。他說：

今因數(shù)象之類，總歸于二種，即平面象與形象是也。平面象如三角三邊、四角四邊之等象，形象如立方、三乘方、四乘方等。是故將二種數(shù)學解明，如何畢具在古圖之內(nèi)。

就平面而言，他舉出三角形、四邊形和五邊形的例子。他認為，在《天尊地卑之圖》內(nèi)，一二三等相連，得到三角三邊諸面象的數(shù)序。將第一層和第二層相連，構(gòu)成第二個三角形，然后越過四、五兩層到底六層，就構(gòu)成第三個三角三邊面象之數(shù)。再然后越過四層到底十層，即成第四個三角三邊之面象。以此推之，凡五、六、七等層之面象數(shù)，都是如此。這是一個平面圖之間的關(guān)系。那么，論四角四邊之面象，即是將圖內(nèi)的諸奇數(shù)自然之序，一、三、五、七等相聯(lián)，就可以得到四角四邊諸面象之數(shù)。具體而論就是，將上層之一聯(lián)向下三層到第四層，這樣就有了作第二個四角四邊之象。接著越過五層，到第九層就得到第三個四角四邊性。以此類推，諸四角四邊之面象，無不可類推矣。論五角五邊之面象，亦無不然。將圖內(nèi)上層之一與第四層之四，相聯(lián)為五，這樣有了成第二個五角五邊面象之數(shù)。又隔兩層，并第七層之七為十二，成為第三個。又隔兩層，并第十層之十為二十二，這樣成了第四個。以此推之，至于無窮。

(二)關(guān)于立方的論述

白晉說：“面象數(shù)學，以前既已明之矣。而形象之說何如？要之，形象數(shù)學，無不歸于立方。三乘方、四乘等方之數(shù)，自平方起。然平方、立方、三乘、四乘等方之法，無不全備于此圖之內(nèi)。諸方之學，總歸于二，一為生成諸方之數(shù)，一為解開諸方之數(shù)。果明此圖之義，而窮究其理，則形象數(shù)之說了然矣。”

白晉在介紹立方之數(shù)時，引入了《算法統(tǒng)宗》，就是開方求廉之圖。程大位著《算法統(tǒng)宗》全稱《新編直指算法統(tǒng)宗》，是中國古代數(shù)學名著。程大位(1533—1606年)，字汝思，號賓渠，休寧率口(今屬屯溪區(qū))人，《算法統(tǒng)宗》17卷，卷1、卷2介紹數(shù)學名詞、大數(shù)、小數(shù)和度量衡單位以及珠算盤式圖、珠算各種算法口訣等，并舉例說明具體用法；卷3至卷12按“九章”次序列舉各種應用題及解法；卷13到卷16為“難題”解法匯編；卷17“雜法”，為不能歸入前面各類的算法，并列有14個縱橫圖。書后附錄“算經(jīng)源流”一篇，著錄了北宋元豐七年(1084年)以來的數(shù)字書目51種。在第6卷和第7卷中，“程大位首先提出開平方、開立方的珠算方法。所有言算步驟與籌算術(shù)相同。只要把開方術(shù)中的‘方法’放在被開方數(shù)的右邊，所得方根放在被開方數(shù)的左邊，把原來的上、下陳列改為左臺并列，就可以依術(shù)演算”。因為《算法統(tǒng)宗》開篇有“揭河圖洛書，見數(shù)有本?！币虼?，此書也受到歷代易學象數(shù)之家的重視。

白晉很自然認為《算法統(tǒng)宗》圖就是天尊地卑之圖。第一層是一，這是萬數(shù)之本，其實不在數(shù)內(nèi)。所以一乘一者，即千百萬次，仍為一，到底不變。白晉說，一很像造物者，生萬物，變?nèi)f物，而自無始，無所從生，總不變也。然使一獨立，必不生數(shù)。只有一分為二，遂因二而生此圖內(nèi)無窮之數(shù)。

如果說從三易推出一二三，由一二三推出天尊地卑之圖是白晉易學象數(shù)思想的前三個邏輯環(huán)節(jié)，那么將天尊地卑之圖和易學的河洛之圖加以溝通和連接則是他的第四個邏輯環(huán)節(jié)。在“釋河洛合一天尊地卑圖，為先天未變易數(shù)象圖之原”一節(jié)中，白晉說：

上始于一，下終于十，天尊地卑圖真為先天未變，大易數(shù)象圖之原也。觀天尊地卑圖之數(shù)，即易傳所記：天一，地二，天三，地四，天五，地六，天七，地八，天九，地十，天數(shù)五，地數(shù)五。五位相得而各有合，天數(shù)二十五，地數(shù)三十。凡天地之數(shù)，五十有五是也。觀天尊地卑圖之式，即洛書始于一終于九，五奇四偶，為四十五，乃地缺不足之數(shù)。河圖之始于一，終于十，五奇五偶，為五十五，乃天地均平之全數(shù)。

這是說從數(shù)字的角度來看，河圖和洛圖與天尊地卑之圖是完全契合的，而河圖和洛圖是易學傳統(tǒng)中的最重要內(nèi)容之一，這樣白晉就為他從數(shù)學角度解釋《易經(jīng)》找到了一個根據(jù)。

白晉從象數(shù)來解釋易學的中心是《天尊地卑圖》，如果說前面的論證說明了《天尊地卑圖》的地位，白晉并未停止，他繼續(xù)以《天尊地卑圖》為中心來解釋《易經(jīng)》的具體內(nèi)容。

他認為，《易經(jīng)》的八卦、六十四卦和《天尊地卑圖》有著內(nèi)在的聯(lián)系?！耙讉髟疲骸子刑珮O，是生兩儀，兩儀生四象，四象生八卦?！卑讜x認為，在《天尊地卑圖》中完全包含著這些易學的基本概念和圖象?！短熳鸬乇皥D》是始于一成于三，這個圖內(nèi)外各三層，有“三極六極天圓陰陽之象”，同時，這個圖有“三角六角地方剛?cè)嶂蟆薄６衫へ缘娜嫒?，上、中、下三爻正和《天尊地卑圖》的內(nèi)三層相對應，干坤之下爻是一奇一偶，對應的是兩儀，這正和圖中的一黑一白相對應。在談到八卦時，白晉說：

由是應天尊地卑圖外層外推于干坤之上爻，又于奇偶雙畫之四象，再各分為二，衍而推之，則生配三畫八個不同之象，所謂八卦也。于圓方二圖其名同，觀其序有二，以先天對待觀之，乃干、坤、兌、艮、離、坎、震、巽是也，即先天天地位于上下，日出于東，月出于西，雷起于地中，風行于天上。西北多山，東南多水之象，以先天方位觀之，即先天天地位乎上下，日出乎于東，月出乎于西，雷起于地中，風行于天上。西北多山，東南多水之象，以先天方位觀之，即干一，兌二，離三，震四，巽五，坎六，艮七，坤八是也。三爻八卦之小成，本于天尊地卑圖如此。

在談到六十四卦時，白晉以同樣的思路加以論證，他說：“易傳云：‘六爻之動，三極之道也’。蓋天尊地卑圖自內(nèi)向外既不過于內(nèi)中外三層而止。故，易小成八卦之爻數(shù)，亦至于上中下，內(nèi)中外之三爻而止，所以必然矣”。由三爻之動，可推出八卦，同理，由六爻之動，也可推出六十四卦，所以由內(nèi)向外衍于六層天尊地卑之圖，就可以得易之大成六十四卦。

白晉通過《天尊地卑圖》解釋了傳統(tǒng)易學里八卦、六十四卦、三百八十四爻。不僅如此，《天尊地卑圖》還超出了易學的范圍，成為天歷地律之根本，由此闡明了《天尊地卑圖》在他的易學象數(shù)理論中的地位。

六、白晉在《易經(jīng)》象數(shù)研究上的互動及其貢獻

梵蒂岡圖書館的《易考》這份文獻中(Borgia Cinese 317[4] )就有多份康熙帝對白晉研讀《易經(jīng)》的批復：

二十四日進新改了的釋先天未變之原義一節(jié)，又釋河洛合一，天尊地卑圖為易數(shù)象圖之原一本，并歷法問答定歲實法一本，交李三湖。

呈奏奉 旨朕俱細細看過了，明日伺侯。欽此。

二十五日呈覽。

上諭，爾等所譯之書甚好，朕覽的書合于一處，朕所改已上，所謂地形者之處，可另抄過送上。

七月初四日呈御筆改過的《易經(jīng)》，并新得第四節(jié)，釋天尊地卑圖為地形立方諸方象，類于洛書方圖之原及大衍圖一張，進講未完。

上諭，將四節(jié)合定一處，明日伺侯。欽此。

初六日，呈前書，并新作的釋天尊地卑圖得先天未變始終之全數(shù)法圖二張，進講。

上諭，王道化，白晉作的數(shù)甚是明白？雖為他將新作的釋天尊地卑圖，得先天未變始終之全數(shù)法圖。晉下?！兑捉?jīng)》明日伺侯。欽此。

這說明在《易經(jīng)》研究上白晉和康熙帝有著緊密的互動，他們所集中討論的就是《易經(jīng)》所包含的象數(shù)問題。白晉也極力向康熙說明《天尊地卑圖》所包含的數(shù)學問題，以引起康熙帝的注意?！端惴ńy(tǒng)宗》是白晉在研究易學象數(shù)時的重要參考書。這點無論在康熙帝的批復中，還是在他自己的研究手稿中都十分清楚。在他給康熙帝的易學研讀匯報中有以下記錄：

七月初五日，上曰：白晉所釋易經(jīng)如何？欽此。

王道化回奏：今現(xiàn)在解《算法統(tǒng)宗》之欑九圖、聚六圖等因具奏。

這里首先涉及到《算法統(tǒng)宗》這本書。在程大位的時代，《算法統(tǒng)宗》所記述的口訣已相當完備。程大位用幾十年時間，走遍多地收集數(shù)學文獻，并潛心研究，將歷史上的珠算著作加以系統(tǒng)整理，出版了《算法統(tǒng)宗》這本書。在這本書中，他最早提出了珠算開平方和開立方的方法，他還創(chuàng)造了測量田地用的“丈量步車”。《算法統(tǒng)宗》出版后一時洛陽紙貴，成為古代中國數(shù)學史上發(fā)行數(shù)量最多、流傳和影響最廣的一部數(shù)學著作。數(shù)學史專家李儼先生說：“在中國古代數(shù)學的整個發(fā)展過程中，《算法統(tǒng)宗》是一部十分重要的著作，從流行之長久、廣泛和深入來說，那是任何其他數(shù)學著作不能與它相比的。”

利瑪竇所代表的西方傳教士來到中國之后，西方數(shù)學傳入中國，“徐光啟著《勾股義》、《測量異同》等書，欲以《幾何原本》的原理解說《算法統(tǒng)宗》?！锻乃阒浮肥抢钪逶诶敻]傳授西學的基礎(chǔ)上，結(jié)合中西數(shù)學成果完成的，其中有不少內(nèi)容引自《算法統(tǒng)宗》”。白晉肯定讀過《幾何原本》《勾股義》《測量異同》這些前輩們的書，對《算法統(tǒng)宗》在中國數(shù)學上的地位必定十分了解。在《算法統(tǒng)宗》中保留了楊輝三角的內(nèi)容，這樣，白晉在介紹《算法統(tǒng)宗》時，也介紹了楊輝三角的內(nèi)容。

白晉在對《天尊地卑圖》的象數(shù)研究中有些地方并未逐一對照《算法統(tǒng)宗》，但在文字敘述中表達了與楊輝三角一樣的思想，而在另一些文字中則直接對《算法統(tǒng)宗》圖作了詳細的解釋。在這些研究中，我們可以看到白晉展示出了他的《天尊地卑圖》和楊輝三角之間的數(shù)學關(guān)系。他說：

夫天尊地卑之圖，其天外包微圓之數(shù)，既始于一，終于十，而為十層列之。若于各層分而觀之，即明別其陰陽上下，共十層三極之圖，各徑一圍三而圓也。其地內(nèi)三角微容之數(shù)，既始于一，終于九，而為九層列之。若各層分而觀之，即明奇偶上下共九層三角之圖，各有一定之數(shù)，自乘而方也。其天為圓，其地為方，合之即為陰陽諸圓，奇偶方正生生變化之宗圖。

這一段是對天尊地卑之圖所包含的的主要內(nèi)容：天地陰陽之數(shù)，奇偶之數(shù)，方圓之數(shù)三個問題作一個總的概括，說明在這幅圖中都包括了。所以，天尊地卑之圖成為“陰陽諸圓，奇偶方正生生變化之宗圖”。第二段，白晉以“或問”“答曰”的問答形式展開具體論述。

或問曰：九天陰陽三極微圓之數(shù)，其生生何如？

答曰：天圓三極諸層之圖，九層各下生與已相繼者，蓋上層積數(shù)與下層之徑數(shù)相加，即生下層之積數(shù)。如地九層乃洛書四十五之積數(shù)，相加于下第十層河圖徑之十，即下生河圖五十五之積數(shù)。自此衍至于無窮，凡上層生下層皆仿此。

這里討論的是天尊地卑圖內(nèi)三角形微圓上下之數(shù)量關(guān)系。他提出上層是上層的微圓積數(shù)和下一層的徑數(shù)相加，產(chǎn)生下一層的積數(shù)。他說的“積數(shù)”是指微圓數(shù)，所說的“徑數(shù)”是指天尊地卑圖的三角形的層數(shù)。例如，頂端之一微圓加上第二層這個二的層數(shù)，就變成第三層微圓的積數(shù)，即成為三個微圓，按照這樣下推。如他所說第九層是45個微圓，加上第十層的十這個徑數(shù)，就是55個圓。白晉在這里把九層的45個微圓說成洛書的積數(shù)，把第十層的徑數(shù)說成河圖之徑，把積數(shù)和徑數(shù)相加所得的55，說成是河圖五十五之積數(shù)。這是完全用傳統(tǒng)易學的術(shù)語來表達。

但這個解釋也含有對《算法統(tǒng)宗》里的楊輝三角的介紹。在文獻Borgia .cin .317-3《易經(jīng)總論》中，白晉在介紹《天尊地卑圖》時詳細介紹了楊輝三角，從楊輝三角來說明開方、立方問題。他說：

面象數(shù)學，以前既已明之矣。而形象之說何如？要之，形象數(shù)學，無不歸于立方。三乘方、四乘等方之數(shù)，自平方起。然平方、立方、三乘、四乘等方之法，無不備于此圖之內(nèi)。諸方之學，總歸于二，一為生成諸方之數(shù)，一為解開諸方之數(shù)。果明此圖之義，而窮究其理，則形象數(shù)之說了然矣。

白晉指出所有開方、立方問題均可以在《天尊地卑圖》中得到解決。然后他具體說明其與《算法統(tǒng)宗》的一致性。他說：

以生成諸方之數(shù)言，觀《算法統(tǒng)宗》中，開方求廉之圖，即天尊地卑之圖也。但此處各以墨線上下聯(lián)絡(luò)之，則易見矣。上層之一，總為萬數(shù)之根本，其實不在數(shù)內(nèi)。故以一乘一者，即千百萬次，止是為一，到底不變。此象造物者，生萬物，變?nèi)f物，而自無始，無所從生，總不變也。然使一獨立，必不生數(shù)。是故一分為二，遂因二而生此圖內(nèi)無窮之數(shù)。

或問生法何如。答曰：上層之一分為二，生二層左右之各一。若止論各層方所容之件數(shù)，即二層左邊之一，生三層左邊之一；二層右邊之一，生三層右邊之一。又以二層左右之各一，相合下來，生三層中間之二。細觀圖中之墨線，貫絡(luò)自明。三層左邊之一，生四層左邊之一；三層右邊之一，生四層右邊之一。三層左邊之一，同三層中間之二，相合下來，生四層左邊之三；三層右邊之一，亦同三層中間之二，相合下來，又生四層右邊之三。亦各有墨線聯(lián)絡(luò)。四層左邊之一，生五層左邊之一。四層左邊之一，又同左邊之三，相合下來，又生五層左邊之四。四層右邊之一，生五層右邊之一。四層右邊之一，又同右邊之三，相合下來，生五層右邊之四。四層中間之兩三，相合下來。又生五層中間之六。以此推之，至于十層，衍于無窮，無不皆然。得此諸層之數(shù)，諸方之形亦得矣。

上層之一，分為二層之二，尚未成方，以二不能包括面形故也。至三層之四，即為二層之二之平面方，一乘方也。第四層之八，即為二層之二之立形方，二乘方也。第五層之十六，即為二層之二之三乘方也。其第六層、七層之三十二、六十四，亦為二之四乘方、五乘方也。以此推之，至于無窮，亦得偶數(shù)無窮自然之序。即《易》中生卦之法，亦不出此。

生成諸方之數(shù)，其法亦已明矣。今欲解開，其法何如？答曰：諸方之第一平方是也。天尊地卑圖內(nèi)，上層之一，即諸方未分之根也。此根未分，其方亦無分，總稱為一。若根分為二，如古圖二層之內(nèi)，即各方亦有分，便有件數(shù)。假如三層內(nèi)之四，即為二自乘之總平方。其總方中所容之面，必有小方，有廉有隅……

下邊甲合乙之墨線，即當天尊地卑圖內(nèi)，一分為二之方根。甲合乙之方，即為古圖二自乘之方。今甲合乙之總方，明含有四件：一小方，兩廉、一隅是也。甲甲即是甲之小方，乙乙即是乙之隅，兩甲乙即是甲合乙相乘之兩廉。

如此，則天尊地卑圖之奧義愈明矣。識此圖之精微者，于開平方之法無難。蓋依圖之序，右邊之一指初商，須求右邊小方之根。圖內(nèi)之二指須倍根求廉，左邊之一指隅。隅法盡，開方之法亦完矣。

開立方之法，無不相同。蓋天尊地卑之圖，第四層右邊之一，指此處暗有一小立方。左邊之一，指彼處暗有一隅。右邊之三，指右一之根方，合左一之根，三次相乘所生之三廉。左邊之三，又指左邊之根方，合左一之根，三次相乘所生之三廉。共八件。開立方之時，以此為據(jù)，開法不難矣。細觀后圖，此理固顯。然尤不如以六方之木，作成立方式樣，開合詳辨，如指諸掌。今特備得一個。至于三乘四乘等，更高諸方之理仿此。論開方之詳，算法家言之甚悉，自不必贅。但今因《算法統(tǒng)宗》中，載有天尊地卑之圖。以為開方求廉之本，可見此圖之妙，無所不包，故從而推明稱贊云耳。

我們可以將白晉的這些論述結(jié)合賈憲三角來逐一分析，就可以看出，上述文字是賈憲三角的詳細解釋。“賈憲所提出的釋解開方有兩種：開平方和開立方?！_平方和開立方實在就是二次二項式和三次二項式的數(shù)解法?！?/p>

白晉在這段文字中先介紹了賈憲三角的三邊都是一，然后每一層數(shù)字變化的原因都是上一層積數(shù)和行數(shù)一相加。按照楊輝三角來理解，三角形的兩側(cè)徑數(shù)均為1，將上層微圓之積數(shù)和均為1的格層徑數(shù)相加，這就成為楊輝三角的數(shù)量結(jié)構(gòu)。有學者認為白晉在這里指的就是賈憲三角是完全正確的。

賈憲三角在世界數(shù)學史上都有著重要的價值。李約瑟在《中國科學技術(shù)史》第三卷中利用八國聯(lián)軍所劫走的《永樂大典》卷16344的插圖，對賈憲三角作了研究，指出了其在世界數(shù)學史的意義?！爸焓澜苷f這個三角形式古法。這一事實說明，二項式定理最晚在12世紀初期就已為人們所知。僅有的另一個文獻是1100年前后波斯(今伊朗)的烏馬·卡亞米(Umar al-Khayyami)所說的一段話。他說，他能夠用它發(fā)現(xiàn)的一種不依賴于幾何圖形的法則，求出各個數(shù)的四次、五次、六次以上更高次方根……在中國，雖然這個三角形的現(xiàn)存的最早復制圖是在楊輝的《詳解九章算法》中，但我們從該書得知它老早就已存在了。賈憲在1100年前后就解釋過它?！?/p>

在完成上述介紹后，白晉指出了《天尊地卑圖》與《算法統(tǒng)宗》的關(guān)系，白晉說：

易之天圓地方、陰陽剛?cè)嵴{(diào)和相蕩。萬數(shù)萬象生生變化成律之理。既備于此天尊地卑，始于一，終于十之圖。此圖明為數(shù)學之宗，故此圖諸圓之內(nèi)，所列諸數(shù)，照中華算法統(tǒng)宗，開方求廉諸圓之法列之，即成開方變化，諸數(shù)之總圖。較西土借根方算法所用之圖，雖外事不同，因其列數(shù)之例相同，其用法亦同。故將二圖另備，以明其外式雖異，而內(nèi)例相同也。

這樣，白晉就完成從《天尊地卑圖》到《算法統(tǒng)宗》圖之間的轉(zhuǎn)變和連接的論證。通過與白晉等傳教士的接觸，康熙帝對西方數(shù)學的興趣越來越大。他成為中國歷史上對數(shù)學和西方科學最為關(guān)心的一位帝王，在這個過程中白晉起著重要的作用?？滴醯蹖Α兑捉?jīng)》象數(shù)之學也一直很重視。他在《御制周易折中凡例》中就說：

然弼所得者，乃老莊之理，不盡合于圣人之道，故自《程傳》出而弼說又廢。今案溺于象數(shù)，而支離無根者，固可棄矣。然《易》之為書，實根于象數(shù)而作，非它書專言義理者比也。但自焦贛、京房以來，穿鑿太甚，故守理之儒者，遂鄙象數(shù)為不足言。至康節(jié)邵子，其學有傳，所發(fā)明圖卦蓍策，皆易學之本根，豈可例以象數(shù)目之哉？故朱子表章推重，與程子并稱。

對于義理之學，康熙帝總結(jié)王弼之說“不合于圣道”，所以推崇《程傳》。對于象數(shù)之學，他認為漢代象數(shù)易學的代表人物焦贛、京房等學者的學說“穿鑿太甚”，然后又高度評價了邵雍的易說，認為他“其學有傳，所發(fā)明圖卦蓍策，皆易學之本根”?？梢?，在康熙帝對《周易》的理解中，很重視象數(shù)易學，“然《易》之為書，實根于象數(shù)而作”。他認為，對《周易》一書義理的闡釋應該以象數(shù)為基礎(chǔ)，義理與象數(shù)都不能偏廢，強調(diào)象數(shù)、義理兼重的特質(zhì)?！端膸烊珪嵋分幸苍u價《折中》一書：“冠以《圖說》殿以《啟蒙》，未嘗不用數(shù)，而不以盛談河洛致晦玩占觀象之元冠以《程傳》次以《本義》，未嘗不主理，而不以屏斥讖緯并廢互體、變爻之用?！?/p>

可見該書在內(nèi)容上是做到了象數(shù)、義理兼重。通過比較象數(shù)和義理兩派的諸家易說以此還原了《周易》的原貌。

同時，康熙帝對專門的數(shù)學研究也很感興趣。他在位期間同當時的數(shù)學家保持著較為密切的關(guān)系，第四次南巡時，聽說安徽宣城貢生梅文鼎對數(shù)學研究頗深，便向大學士李光地索取梅文鼎的著作。1705年，康熙第五次南巡時，特意在德州的船上中召見梅文鼎，與他談論數(shù)學等科學技術(shù)知識達三天之久，事后他感嘆說：“歷象算法聯(lián)最留心，此學今鮮知者，如文鼎僅見也!”并賜給梅文鼎“績學參微”四字愿額。康熙帝與陳厚耀、李光地等清初的數(shù)學家都有很多交往，不再一一贅述。

康熙帝不僅自己學習數(shù)學，也寫了關(guān)于數(shù)學的論文，代表性的就是他寫的《御制三角形推算法》?？滴醯墼谖闹袑懙溃骸翱滴醭跄觊g，以歷法爭訟，互為奸出，至于死者，不知其甚幾?！踩f機余暇，即專至于天文歷法二十余年，所以略知其大概，不致于混亂?！睆倪@段話可以知道，康熙帝對于數(shù)學的學習已經(jīng)長達20余年，有學者初步研究認為滿漢合璧的《御制三角形推算法》大概成書于1703年。這一時期正是康熙帝安排白晉等人研讀《易經(jīng)》的時期?？滴醯蹫楹螌懴隆队迫切巍纺?？有學者指出，這和當時康熙參與的科學活動有關(guān)。我以為除此之外，這和他與白晉一起研讀《易經(jīng)》，白晉從象數(shù)角度為他介紹《天尊地卑圖》的數(shù)學內(nèi)容恐怕也有一定的聯(lián)系。

七、結(jié) 論

自從閻守城先生于上個世紀在梵蒂岡圖書館發(fā)現(xiàn)了康熙帝有關(guān)與白晉讀《易經(jīng)》的文獻后，近一個多世紀來中外學者都停留在閻先生所發(fā)現(xiàn)的文獻研究上。而我們梳理了白晉易學外篇的總體思路，在易學外篇的研究中他由數(shù)開始，一二三是理解數(shù)的開始，由數(shù)入圖。圖的關(guān)鍵在于《天尊地卑圖》，通過《天尊地卑圖》，他解釋了八卦、六十四卦、三百八十四爻，由此打通整個易學體系。通過仔細地分析白晉關(guān)于易學外篇的文獻，本文揭示出白晉的易學外篇研究的重要貢獻就是把西方近代數(shù)學，即帕斯卡三角介紹到中國。同時，白晉通過對《天尊地卑圖》的數(shù)學解釋將楊輝三角引入到易學的象數(shù)研究中。這在中國易學研究史上是開天辟地之作，白晉第一次將易學的象數(shù)研究與中國傳統(tǒng)數(shù)學結(jié)合了起來，并第一次將中外數(shù)學通過易經(jīng)研究結(jié)合了起來。這是白晉對《易經(jīng)》研究所作出的重大貢獻。白晉的這個發(fā)現(xiàn)或者說相關(guān)研究，成為康熙帝對西方數(shù)學產(chǎn)生興趣的重要原因之一，并寫下了他一生唯一的一部數(shù)學著作——《御制三角形》。

注 釋：

① 張其成：《象數(shù)易學》，北京，中國書店出版社，第63頁，2003年。

② 朱伯昆主編：《周易通釋》，北京，昆侖出版社，第171頁，2004年。

③ 張其成：《象數(shù)易學》，北京，中國書店出版社，第147頁，2003年。

④ 《易經(jīng)一》，梵蒂岡圖書館Borg.cin.317-8，第1頁。

⑤ 梵蒂岡圖書館Borg.cin.317-3《易經(jīng)總說》，第3頁。

⑥ 余東編號“35-11”，她定為白晉的作品；伯希和編號“Borg.cin.317-3”，未確定作者。

⑦ 余東編號“34-10”，她用了書內(nèi)的標題《易經(jīng)總說》，并定為白晉的作品；伯希和編號“Borg.Cin.317-8”，未確定作者。

⑧ 梵蒂岡圖書館Borg.Cinese.317-3，第1頁。

⑨ 梵蒂岡圖書館Borg.Cinese.317-3，第6頁。

⑩ 梵蒂岡圖書館Borg.Cinese.317-8，第2頁。