馮東新

函數(shù)最值問(wèn)題是指在某個(gè)或多個(gè)約束條件下，求某個(gè)函數(shù)式的最大值和最小值.此類(lèi)問(wèn)題的綜合性較強(qiáng)，通常需靈活運(yùn)用簡(jiǎn)單基本函數(shù)的定義、性質(zhì)、圖象，以及復(fù)合函數(shù)和導(dǎo)函數(shù)的性質(zhì)來(lái)解答.本文重點(diǎn)介紹解答函數(shù)最值問(wèn)題的三種常用方法：導(dǎo)數(shù)法、函數(shù)性質(zhì)法、基本不等式法.

一、導(dǎo)數(shù)法

利用導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)最值的步驟為：

第一步，對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)；

第二步，令導(dǎo)函數(shù)為0，求得其零點(diǎn)；

第三步，用零點(diǎn)將函數(shù)的定義域劃分為幾個(gè)區(qū)間，并在每個(gè)區(qū)間上討論導(dǎo)函數(shù)與0的大小關(guān)系.若導(dǎo)函數(shù)大于0，則函數(shù)單調(diào)遞增；若導(dǎo)函數(shù)小于0，則函數(shù)單調(diào)遞減；

第四步，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性畫(huà)出函數(shù)的大致圖象，確定函數(shù)的極值點(diǎn)，并求得函數(shù)的極值；

第五步，將極值與函數(shù)在定義域端點(diǎn)處的值進(jìn)行比較，其中較大的為最大值，較小的為最小值.

所以函數(shù)的最小值為-1.

運(yùn)用導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)的最值，主要是根據(jù)導(dǎo)函數(shù)與函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系判斷出函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而求得函數(shù)的極值.在運(yùn)用導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)的極值時(shí)，要注意：函數(shù)極大（?。┲挡灰欢ㄊ呛瘮?shù)的最大（?。┲?，最大（小）值也不一定是極大（?。┲?，因此，在求得極值后，需將極值與函數(shù)在定義域端點(diǎn)處的值進(jìn)行比較.

二、函數(shù)性質(zhì)法

如果遇到的函數(shù)為熟悉的基本函數(shù)，如一次函數(shù)、二次函數(shù)、對(duì)勾函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)等，就可根據(jù)這些基本函數(shù)的單調(diào)性來(lái)求函數(shù)的最值.運(yùn)用函數(shù)性質(zhì)法求最值，需先根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義、復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)判斷出函數(shù)的單調(diào)性.一般地，對(duì)于增函數(shù)而言，在定義域[a，b]上，函數(shù)在x=a處取最小值，在x=b處取最大值；對(duì)于減函數(shù)，函數(shù)在x=b處取最小值，在x=a處取最大值.

對(duì)于多元函數(shù)的最值問(wèn)題，通常要根據(jù)已知條件消元，將問(wèn)題變成一元函數(shù)最值問(wèn)題，再根據(jù)一元函數(shù)的單調(diào)性來(lái)求最值.對(duì)于一元一次函數(shù)y=kx+ b（k≠0），當(dāng)k>0時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)k <0時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減.將定義域的端點(diǎn)值代入函數(shù)式中，即可根據(jù)一次函數(shù)的單調(diào)性求得函數(shù)的最值.

除了上述這些方法外，求函數(shù)最值的方法還有換元法、消元法、數(shù)形結(jié)合法等.相比較而言，函數(shù)性質(zhì)法和基本不等式法比較常用，導(dǎo)數(shù)法比較復(fù)雜，因此在解題時(shí)，可首先運(yùn)用前兩種方法，最后考慮運(yùn)用導(dǎo)數(shù)法.

（作者單位：江蘇省沭陽(yáng)如東中學(xué)）