沈惠林

求函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)問(wèn)題是函數(shù)中的一大常見(jiàn)考點(diǎn).此類問(wèn)題主要考查函數(shù)的圖象、方程的根的分布以及零點(diǎn)存在性定理等知識(shí)點(diǎn).下面，結(jié)合例題，談一談求函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的幾種途徑.

一、運(yùn)用方程思想

由函數(shù)零點(diǎn)的定義可知，函數(shù)f（x）的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)就是方程f（x）=0的根的個(gè)數(shù).那么在求函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)時(shí)，可以根據(jù)函數(shù)與方程之間的關(guān)系，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)對(duì)應(yīng)方程的根的個(gè)數(shù)，運(yùn)用方程思想來(lái)解題.一般地，方程有幾個(gè)根，函數(shù)就有幾個(gè)零點(diǎn).在解方程后，要注意檢驗(yàn)所得的解是否在函數(shù)的定義域內(nèi)，若不在定義域內(nèi)，需將其刪除.

綜上可知，函數(shù)共有5個(gè)零點(diǎn).

方程思想通常適用于求解方便求得方程的根的問(wèn)題.運(yùn)用方程思想，通過(guò)解方程去求函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，可有效地轉(zhuǎn)化解題的思路.

二、采用圖象法

若根據(jù)函數(shù)的解析式難以求出零點(diǎn)的值，則可以利用圖象法，借助函數(shù)的圖象去求函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù).通常要先根據(jù)函數(shù)的解析式畫出函數(shù)的圖象，然后尋找函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn).若函數(shù)的解析式可以拆分為兩個(gè)新函數(shù)，只需尋找兩個(gè)圖象的交點(diǎn)，確定交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，即可確定函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù).

例2 .求函數(shù)f（x）=2x+x3-2在區(qū)間（0，1）上零點(diǎn)的個(gè)數(shù).

解：令f（x）=2x+x3-2=0，

可得2x=2-x3，

令g（x）=2x、h（x）=2-x3，在同一個(gè)坐標(biāo)系中分別作出兩個(gè)函數(shù)g（x）=2x和h（x）=2-x3的圖象，如圖所示.

通過(guò)觀察圖象可知：g（x）和h（x）的圖象在定義域（0，1）內(nèi)有且只有1個(gè)交點(diǎn)，

所以函數(shù)f（x）=2x+x3-2在區(qū)間（0，1）上只有1個(gè)零點(diǎn).

運(yùn)用圖象法求函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，依據(jù)是函數(shù)的零點(diǎn)即為函數(shù)圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo).對(duì)于本題，需先令f（x）=2x+x3-2=0，構(gòu)造出兩個(gè)新函數(shù)，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求兩個(gè)函數(shù)g（x）=2x和h（x）=2-x3交點(diǎn)的個(gè)數(shù).結(jié)合函數(shù)的圖象，運(yùn)用圖象法，便可快速求出函數(shù)f（x）零點(diǎn)的個(gè)數(shù).

三、利用零點(diǎn)存在性定理

所謂零點(diǎn)存在性定理，是指若函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[a，b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有f（a）？f（b）<0，那么函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（a，b）內(nèi)有零點(diǎn).運(yùn)用零點(diǎn)存在性定理解題關(guān)鍵的一步是判斷f（a）？f（b）的符號(hào).若在（a，b）內(nèi)函數(shù)有幾個(gè)零點(diǎn)，就需運(yùn)用零點(diǎn)存在性定理分別判斷幾個(gè)子區(qū)間上函數(shù)是否有零點(diǎn).

例3.已知在R上f（x）是奇函數(shù)，當(dāng)x>0時(shí)，f（x）=2x+2x-4，求f（x）零點(diǎn)的個(gè)數(shù).

解：因?yàn)樵赗上函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，所以f（0）=0，

所以當(dāng)x>0時(shí)，函數(shù)f（x）有1個(gè)零點(diǎn).

根據(jù)奇函數(shù)的對(duì)稱性可知，當(dāng)x<0時(shí)，函數(shù)f（x）也有1個(gè)零點(diǎn).

因此函數(shù)f（x）一共有3個(gè)零點(diǎn).

相比較而言，第一、二種途徑比較常用，且適用范圍較廣；第三種途徑的適用范圍較窄，且通常需運(yùn)用方程思想、圖象法來(lái)輔助解題.

（作者單位：江蘇省大豐高級(jí)中學(xué)）