莫道“生”之錯(cuò) 常思“教”之過(guò)

俞麗平

[摘? 要] 在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，運(yùn)算定律一直是四則運(yùn)算的教學(xué)重點(diǎn)內(nèi)容。作為簡(jiǎn)便計(jì)算的知識(shí)基礎(chǔ)，教師如能幫助學(xué)生在系統(tǒng)地學(xué)習(xí)這些定律和性質(zhì)時(shí)，盡可能地獲得較為深刻的認(rèn)知與理解，將對(duì)他們計(jì)算能力的快速形成和發(fā)展起到十分重要的作用。文章結(jié)合學(xué)生的實(shí)際情況與教師的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)（人教版四年級(jí)下冊(cè)“運(yùn)算定律”單元），從教材內(nèi)容、教學(xué)實(shí)施、學(xué)生學(xué)習(xí)三個(gè)角度出發(fā)，談?wù)劸唧w的做法以及由此引發(fā)的思考。

[關(guān)鍵詞] 運(yùn)算定律;單元教學(xué);實(shí)踐;思考

在針對(duì)這個(gè)單元所進(jìn)行的常規(guī)性的教學(xué)研討中，教師們常常會(huì)大倒苦水：“這部分知識(shí)看起來(lái)也沒(méi)太大難度啊，怎么就教不會(huì)呢？”“知識(shí)分塊的時(shí)候還好，一到集中起來(lái)運(yùn)用的時(shí)候?qū)W生就錯(cuò)誤百出，簡(jiǎn)直慘不忍睹。”“這幾個(gè)孩子，看來(lái)是教不懂這個(gè)知識(shí)點(diǎn)了?！薄拔以谝呀?jīng)把這種錯(cuò)誤分析了無(wú)數(shù)次了，但我每天都在講，學(xué)生還是每天都在錯(cuò)……”概括起來(lái)說(shuō)，上述問(wèn)題集中反映出教師對(duì)教學(xué)的預(yù)期效果與學(xué)生實(shí)際掌握情況之間的差距，并且在不知不覺(jué)中，部分教師顯然已把產(chǎn)生這種差距的原因歸結(jié)到學(xué)生身上。這樣的現(xiàn)象，實(shí)在應(yīng)該引起教師們足夠的重視與深刻的反思。

一、基于教材內(nèi)容的理解看實(shí)施

結(jié)合具體的實(shí)踐效果，筆者認(rèn)為，教師應(yīng)以學(xué)生的實(shí)際情況為重要參考，并在課堂教學(xué)前，著重理解以下幾個(gè)方面的教材內(nèi)容及其編寫(xiě)意圖。

1. 把握教材內(nèi)容——理清“形式”與“本質(zhì)”的關(guān)系

教材對(duì)加法運(yùn)算定律和減法性質(zhì)的編排以“李叔叔汽車(chē)旅行”的事件貫穿，乘法運(yùn)算定律則選取了“同學(xué)們植樹(shù)”的情境。這樣的編排，除了體現(xiàn)將計(jì)算內(nèi)容教學(xué)與解決實(shí)際問(wèn)題相結(jié)合的思路外，既為學(xué)生學(xué)習(xí)運(yùn)算定律提供了豐富的素材資源，也為解釋算式的意義提供了現(xiàn)實(shí)依據(jù)。常見(jiàn)的課堂教學(xué)導(dǎo)入環(huán)節(jié)如下：

【片段一】加法運(yùn)算定律

教師用課件出示情境圖。并提問(wèn)：你能從中找到哪些信息？可以提出什么問(wèn)題呢？

生1：李叔叔上午騎了40千米，下午騎了56千米，一共騎了多少千米？

師：那么解決這個(gè)問(wèn)題該怎樣去列式？

生1：40+56。

師：還可以有別的方法嗎？

生1：還可以56+40。

師：這兩個(gè)算式之間可以用什么符號(hào)連接？

生1：等于符號(hào)。

師：誰(shuí)來(lái)說(shuō)說(shuō)為什么？

生2：要加的數(shù)沒(méi)有變，只是交換了位置，結(jié)果不變。

師：你能再舉出幾個(gè)這樣的例子嗎？

乍一看，這似乎就應(yīng)該是按教材內(nèi)容展開(kāi)的課堂教學(xué)范例，但實(shí)際上，以這樣的方式教學(xué)，就已經(jīng)脫離了運(yùn)算定律產(chǎn)生的本質(zhì)。筆者認(rèn)為，在教學(xué)實(shí)施之前，教師首先應(yīng)該明確：運(yùn)算定律與四則運(yùn)算是一個(gè)有機(jī)的整體;運(yùn)算定律是對(duì)數(shù)的運(yùn)算過(guò)程中基本規(guī)律的歸納與總結(jié)。在以上環(huán)節(jié)中，應(yīng)繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生深入思考，即為什么結(jié)果不會(huì)發(fā)生改變？交換加數(shù)的位置只是表示形式上的不同，其本質(zhì)需要用加法的意義，也即“把兩個(gè)數(shù)合并成一個(gè)數(shù)的運(yùn)算”來(lái)解釋。

考慮到后期乘法分配律的教學(xué)，上述關(guān)于理清“形式”與“本質(zhì)”之間關(guān)系的引導(dǎo)，則就應(yīng)該是“加法運(yùn)算定律”這一知識(shí)點(diǎn)教學(xué)中不可忽略的教學(xué)目標(biāo)。也正因?yàn)楸缓雎?，教師才?jīng)常會(huì)站在個(gè)人理解的角度，對(duì)乘法分配律的具體表現(xiàn)形式進(jìn)行“多樣化”的解讀：

【片段二】乘法分配律

教師列出算式：25×（4+2）=25×4+25×2，并提問(wèn)：思考一下，你能結(jié)合一個(gè)情境，用自己的話(huà)來(lái)解釋一下這個(gè)算式嗎？同桌之間互相交流。

生1：有25個(gè)小組，每組4個(gè)男生，2個(gè)女生，問(wèn)一共有多少人？

生2：一本練習(xí)本4元，一支圓珠筆2元，一共要買(mǎi)25套，共需要多少元？

師：老師這里也有一個(gè)例子。我們可以把25這個(gè)數(shù)當(dāng)作是“籃子”的數(shù)量，4和2這兩個(gè)數(shù)表示的是蘋(píng)果的個(gè)數(shù)。左邊一共25個(gè)籃子，每個(gè)籃子裝6個(gè)蘋(píng)果，右邊一共50個(gè)籃子，其中有25個(gè)籃子每個(gè)裝4個(gè)蘋(píng)果，另外25個(gè)籃子每個(gè)裝2個(gè)蘋(píng)果。

在小學(xué)數(shù)學(xué)的課堂中，教師應(yīng)結(jié)合學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展特點(diǎn)與教學(xué)內(nèi)容實(shí)際，適當(dāng)采用以上方式組織課堂提高學(xué)生思考以及參與討論的積極性。但需要注意的是，“形式”的內(nèi)容成分切不可大于“本質(zhì)”，教師應(yīng)該從乘法意義的角度去引導(dǎo)學(xué)生理解以上算式：左邊是求6個(gè)25的和是多少，右邊分成4個(gè)25與2個(gè)25的和。采用這樣的方式教學(xué)，教師才能使學(xué)生理解運(yùn)算定律的“本質(zhì)”是運(yùn)算的意義，同時(shí)也增強(qiáng)了課堂的“數(shù)學(xué)味”。

2. 依據(jù)編寫(xiě)意圖——實(shí)現(xiàn)從“基礎(chǔ)”到“拓展”的提升

仍以乘法分配律為例，教材秉持一貫的編寫(xiě)方法，僅以不完全歸納法的形式引出該定律，卻在“練習(xí)七”中設(shè)計(jì)了多個(gè)極具針對(duì)性的習(xí)題。例如“第6題”——用乘法分配律計(jì)算下面各題：103×12;20×55;24×205;“第7題”——判斷每組算式得數(shù)是否相等：35×201與35×200+35;265×105-265×5與265×（105-5），等等。

作為教師，首先應(yīng)該意識(shí)到，學(xué)生在學(xué)習(xí)乘法結(jié)合律與分配律時(shí)，已經(jīng)存在認(rèn)知上較大“跨越”。其主要原因是運(yùn)用這兩個(gè)運(yùn)算定律達(dá)成簡(jiǎn)便計(jì)算的“路徑”不同，容易產(chǎn)生混淆。為了夯實(shí)學(xué)生對(duì)乘法分配律的理解基礎(chǔ)，教師應(yīng)該盡力挖掘并整合教材內(nèi)容，并在教學(xué)過(guò)程中引導(dǎo)學(xué)生對(duì)該部分知識(shí)進(jìn)行系統(tǒng)的梳理。（如圖1）

只有有針對(duì)性的拓展教學(xué)，才能加深學(xué)生對(duì)乘法分配律知識(shí)的理解，也能為學(xué)生更好地運(yùn)用該運(yùn)算定律打下了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

二、結(jié)合課堂教學(xué)的實(shí)際定策略

教材將運(yùn)算定律的知識(shí)集中在一起系統(tǒng)編排，并將減法中“連減的性質(zhì)”與除法中“連除的性質(zhì)”也穿插在內(nèi)。從有利的角度分析，這便于學(xué)生感悟知識(shí)間的聯(lián)系與區(qū)別，可以對(duì)四則運(yùn)算的定律性質(zhì)形成比較完整的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。從不利的角度分析，隨著教學(xué)內(nèi)容的展開(kāi)，知識(shí)間的串聯(lián)很容易出現(xiàn)“知識(shí)負(fù)遷移”的現(xiàn)象，增加了學(xué)生理解與掌握的難度。針對(duì)以上實(shí)際情況，教師應(yīng)有意識(shí)地研究制定相應(yīng)的課堂教學(xué)策略。

1. 利用“聯(lián)系”，實(shí)現(xiàn)知識(shí)的正遷移

運(yùn)算定律來(lái)自數(shù)的運(yùn)算過(guò)程中對(duì)基本規(guī)律的總結(jié)，其提煉與概括的過(guò)程具有高度抽象性。教師需要充分利用學(xué)生已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行針對(duì)性教學(xué)，如在加法（乘法）運(yùn)算的教學(xué)中采用交換兩個(gè)加數(shù)（因數(shù)）的位置引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行驗(yàn)算;讓學(xué)生理解“幾個(gè)數(shù)相加（相乘）時(shí)先算哪一部分都不影響結(jié)果”的原理;引導(dǎo)學(xué)生理解“列豎式計(jì)算兩位數(shù)乘法，就是乘法分配律知識(shí)的實(shí)際應(yīng)用”，等等。這樣的教學(xué)，對(duì)于學(xué)生更加深刻地理解和接受新知具有十分重要的作用。此外，在單元內(nèi)部的知識(shí)間，教師也可以找到許多“聯(lián)系點(diǎn)”。例如在乘法運(yùn)算定律第一課時(shí)的教學(xué)中：

【片段三】乘法交換律和乘法結(jié)合律

在分別比較加法交換律和乘法交換律、加法結(jié)合律和乘法結(jié)合律后，你發(fā)現(xiàn)了什么？（在此前引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行分組討論）

生：乘法交換律和加法交換律差不多，乘法結(jié)合律與加法結(jié)合律也差不多。

師：你能具體說(shuō)一說(shuō)嗎？

生：加法交換律是兩個(gè)數(shù)相加，乘法交換律是兩個(gè)數(shù)相乘……（略）

師：兩個(gè)運(yùn)算律的最大相同點(diǎn)是什么？

生：交換律是改變了數(shù)字的位置，結(jié)合律是改變了運(yùn)算的順序。

師：那它們最大的不同點(diǎn)呢？（在學(xué)生作答后，向?qū)W生闡明兩者運(yùn)算意義的不同）

2. 構(gòu)造“模型”，降低理解的難度

教材將“連減的性質(zhì)”與“連除的性質(zhì)”穿插編排在加法、乘法的運(yùn)算定律內(nèi)容之后。從例題分析：“連減的性質(zhì)”通過(guò)在不同算法上的呈現(xiàn)，結(jié)合“你喜歡哪種方法？”的問(wèn)題，適合用來(lái)引導(dǎo)學(xué)生去比較各種方法的特點(diǎn)，思考適用范圍。“連除的性質(zhì)”則更多地傾向于體現(xiàn)算法優(yōu)化的意圖，在例題呈現(xiàn)上顯得更為簡(jiǎn)單。總的來(lái)說(shuō)，教材更加強(qiáng)調(diào)這兩類(lèi)性質(zhì)在實(shí)際運(yùn)算情境中所起的作用。但是，教師顯然不能忽略這樣一個(gè)問(wèn)題——缺少了與五個(gè)運(yùn)算定律類(lèi)似的“模型”支撐，對(duì)于學(xué)生尤其是基礎(chǔ)較為薄弱的學(xué)生來(lái)說(shuō)，理解的難度無(wú)疑就加大了。在實(shí)際教學(xué)中，教師應(yīng)充分結(jié)合實(shí)例，有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生自主構(gòu)建這兩類(lèi)性質(zhì)的模型（如圖2）。

3. 突破“難點(diǎn)”，促進(jìn)思維的發(fā)展

如今的教材，改變了以往對(duì)運(yùn)算定律與簡(jiǎn)便計(jì)算教學(xué)中偏重于算法技巧的編排形式，著力引導(dǎo)學(xué)生將運(yùn)算定律學(xué)習(xí)、簡(jiǎn)便計(jì)算應(yīng)用、解決實(shí)際問(wèn)題三者結(jié)合?；诖?，教師應(yīng)關(guān)注方法的靈活性和解決問(wèn)題策略的多樣性，并以此為基礎(chǔ)發(fā)展學(xué)生思維的靈活性，提高分析、解決問(wèn)題的能力，但這無(wú)疑是單元教學(xué)的最大難點(diǎn)。

那么，該采用哪些具體的方法突破上述難點(diǎn)呢？筆者認(rèn)為，首先應(yīng)盡可能拉長(zhǎng)對(duì)綜合運(yùn)用定律和性質(zhì)解決問(wèn)題的過(guò)程，使學(xué)生充分地經(jīng)歷探究、嘗試、比較等學(xué)習(xí)活動(dòng)。如關(guān)于連減的簡(jiǎn)便計(jì)算，學(xué)生在學(xué)會(huì)不同算法后，需要再去理解“為什么想到這樣算？”“為什么可以這樣算？”等原理性問(wèn)題，才能繼續(xù)從算理和算法兩個(gè)層面開(kāi)展探究。其次，教師還應(yīng)落實(shí)解決問(wèn)題策略的多樣化，重點(diǎn)引導(dǎo)學(xué)生的發(fā)散思維，在學(xué)生習(xí)得盡可能多的方法后，引導(dǎo)他們展開(kāi)比較與交流，體會(huì)簡(jiǎn)便計(jì)算的關(guān)鍵是根據(jù)數(shù)據(jù)特征找到合理的方法，從而培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性。

4. 把握“節(jié)奏”，達(dá)成高效的實(shí)施

運(yùn)算定律的內(nèi)容屬于計(jì)算教學(xué)的范疇。因而，在課堂實(shí)施中，教師需要特別注意把握好“自主探索、分析概括與隨堂練習(xí)”等環(huán)節(jié)間的教學(xué)節(jié)奏，也就是通常所說(shuō)的“講與練”的節(jié)奏。同時(shí)，教師應(yīng)該根據(jù)學(xué)生作業(yè)中的錯(cuò)誤所提供的“教學(xué)反饋”，合理地把控“舊知溫習(xí)”與“新知教學(xué)”之間的節(jié)奏。需要說(shuō)明的是，不論是何種教學(xué)“節(jié)奏感”，都應(yīng)充分結(jié)合內(nèi)容與學(xué)生實(shí)際情況，如教師能將之調(diào)控得當(dāng)，那么這種節(jié)奏感體現(xiàn)在實(shí)際效果中的作用，將會(huì)非常明顯。

三、關(guān)注學(xué)生學(xué)習(xí)的效果促反思

毫無(wú)疑問(wèn)，學(xué)生對(duì)知識(shí)與技能的實(shí)際掌握情況，并在此基礎(chǔ)上獲得思維發(fā)展與能力提升的程度，是開(kāi)展教學(xué)實(shí)踐研究的出發(fā)點(diǎn)和歸結(jié)點(diǎn)，也是衡量教師教學(xué)水平的主要指標(biāo)。據(jù)此，在實(shí)際教學(xué)中，教師應(yīng)通過(guò)教學(xué)前測(cè)、作業(yè)反饋、階段性測(cè)評(píng)等多種方式跟蹤了解學(xué)生的學(xué)習(xí)狀況。此外，還應(yīng)考慮到小學(xué)生的心理特點(diǎn)和認(rèn)知發(fā)展上的差異，有針對(duì)性地開(kāi)展教學(xué)實(shí)施。

1. 重視教學(xué)前測(cè)、階段性測(cè)評(píng)的作用，以此作為重要的實(shí)施依據(jù)

前文提及，本單元教學(xué)應(yīng)利用新舊知識(shí)間的聯(lián)系，喚醒學(xué)生已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)。那么，實(shí)際操作中，首先要明確就應(yīng)該是學(xué)生的知識(shí)起點(diǎn)在哪里，這就需要教師通過(guò)前測(cè)進(jìn)行了解。如在開(kāi)展加法運(yùn)算定律、乘法運(yùn)算定律第一課時(shí)的教學(xué)之前，教師可以將教材中“做一做”的習(xí)題作為前測(cè)素材。結(jié)合筆者實(shí)際進(jìn)行的操作和統(tǒng)計(jì)分析，接近97%的學(xué)生能夠順利地完成解答，而對(duì)其中設(shè)置的問(wèn)題“你能說(shuō)說(shuō)為什么可以這樣算嗎？”只有47%的學(xué)生能夠進(jìn)行比較合理的解釋。根據(jù)這一結(jié)果，筆者認(rèn)為課堂實(shí)施的重點(diǎn)應(yīng)落在運(yùn)算定律的歸納與意義理解相結(jié)合上。

作為計(jì)算教學(xué)的內(nèi)容，教師尤須重視階段性測(cè)評(píng)，以便及時(shí)地查漏補(bǔ)缺，并反思教學(xué)實(shí)施中的問(wèn)題。針對(duì)本單元內(nèi)容，筆者認(rèn)為可以分別在“減法的性質(zhì)”“乘法分配律”的知識(shí)教學(xué)之后，精心編制習(xí)題進(jìn)行測(cè)評(píng)和分析。結(jié)合筆者的實(shí)際經(jīng)驗(yàn)，這樣的測(cè)評(píng)既能使學(xué)生鞏固所學(xué)知識(shí)，還能減少對(duì)后續(xù)知識(shí)學(xué)習(xí)的不利影響。

2.結(jié)合學(xué)生認(rèn)知發(fā)展與心理特點(diǎn)，有針對(duì)性地選取和使用教學(xué)素材

四年級(jí)的學(xué)生，其認(rèn)知以及思維方式正處于由具體形象向抽象邏輯成分轉(zhuǎn)變的關(guān)鍵階段。在單元重難點(diǎn)知識(shí)的教學(xué)中，教師應(yīng)采用合適的教學(xué)媒介輔助施教，在吸引學(xué)生注意力的同時(shí)，極大地提高他們對(duì)知識(shí)理解與掌握的程度。

【片段四】加法中的數(shù)據(jù)特征與簡(jiǎn)便運(yùn)算

（操作引入）出示兩張卡片紙，分別剪成不同的兩個(gè)部分，讓學(xué)生觀(guān)察，怎樣的兩張正好可以拼成一張完整的卡片紙。（引語(yǔ)）在數(shù)學(xué)中也有這樣的現(xiàn)象。

請(qǐng)同學(xué)們?cè)谧鳂I(yè)紙上連一連：

6? ? 791? 115? ?132

34? ? 9? ?118? ? 85

師：你是依據(jù)什么來(lái)連線(xiàn)的？

生：因?yàn)榭梢詼惓烧?、整百的?shù)。

師：同樣，6、791、34、9可以連在一起成為一個(gè)整體，115、132、118、85也可以連在一起成為一個(gè)整體。你們知道為什么嗎？

生：因?yàn)樗鼈兯膫€(gè)湊一起也可以湊成整十整百的數(shù)。

師：也就是兩種連接方式，都依據(jù)的是這些數(shù)字所具備的可湊整的數(shù)據(jù)特征。通過(guò)這個(gè)，你們能聯(lián)想到我們學(xué)過(guò)的哪些知識(shí)嗎？

生：加法交換律、加法結(jié)合律。

師：對(duì)，也可以統(tǒng)稱(chēng)為“運(yùn)算定律”。

上述環(huán)節(jié)中，以卡片直觀(guān)的“形狀”特征關(guān)聯(lián)了相對(duì)抽象的“可湊整”數(shù)據(jù)特征，這樣的操作活動(dòng)與數(shù)的拆分、合并相對(duì)應(yīng)。教師在此時(shí)可利用心理學(xué)中追求完整的行為動(dòng)機(jī)，順勢(shì)引入對(duì)后續(xù)環(huán)節(jié)的探索。筆者認(rèn)為，如果將這樣的設(shè)計(jì)思路拓展至乘法分配律等知識(shí)的教學(xué)中，即采用“數(shù)形結(jié)合”的方法，也能得到意想不到的教學(xué)效果。例：學(xué)校購(gòu)買(mǎi)校服，每件上衣30元，每條褲子25元，買(mǎi)4套這樣的校服，一共需要多少元？在學(xué)生列式計(jì)算后，教師可以引導(dǎo)他們用畫(huà)圖的方式來(lái)表示不同算法，以加深理解（如圖3）。

3.以聯(lián)系與發(fā)展的眼光看待學(xué)生，適當(dāng)?shù)貐^(qū)別對(duì)待施行分層教學(xué)

尊重學(xué)生客觀(guān)存在的差異是每個(gè)教師必須正視的問(wèn)題。事實(shí)上，集體授課的制度和模式下，教師不應(yīng)該對(duì)每個(gè)孩子實(shí)際掌握知識(shí)的情況都用同一把“尺子”去衡量。因而，在“運(yùn)算定律”這一單元的教學(xué)過(guò)程中，針對(duì)不同學(xué)生的實(shí)際情況，教師還要做好針對(duì)性的“培優(yōu)補(bǔ)差”。

對(duì)于學(xué)習(xí)有困難的學(xué)生，作業(yè)的完成情況多半會(huì)不夠理想。但是，這一情況所反映出的問(wèn)題既可以作為很好的教學(xué)素材，也有助于教師進(jìn)一步地反思教學(xué)設(shè)計(jì)和課堂實(shí)施行為。而對(duì)學(xué)有余力的學(xué)生，教師也可以根據(jù)實(shí)際情況適當(dāng)?shù)赝卣蛊渲R(shí)的廣度。例：在“連減與連除”的教學(xué)中，教師可以向?qū)W生進(jìn)一步展示以下兩組理解難度更高的運(yùn)算性質(zhì)“模型”（如圖4）。

雖然本文是立足于“對(duì)教材內(nèi)容的理解”“課堂教學(xué)的實(shí)施”和“學(xué)生學(xué)習(xí)的效果”這三個(gè)維度進(jìn)行論述的。但是筆者認(rèn)為，這三者之間其實(shí)并不存在明確的界限，同時(shí)教師所有行為的總和應(yīng)始終指向于使每個(gè)學(xué)生更好地理解知識(shí)和發(fā)展能力。在教學(xué)過(guò)程中，教師需要更多地從“怎么教”的角度出發(fā)，養(yǎng)成勤于思考、善于思考的習(xí)慣，便能少一些本文開(kāi)頭的抱怨，使學(xué)生的學(xué)習(xí)變得更高效。

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