由一道題談求異面直線所成角的思路

陸海蓉

異面直線所成的角問題在立體幾何中比較常見.由于兩條異面直線不相交，我們很難快速找到兩條異面直線所成的夾角，需根據(jù)異面直線所成角的定義以及向量的夾角公式來求解.本文從一道題出發(fā)，談一談求異面直線所成角的思路.

例題：在直三棱柱 ABC -A1B1C1中，∠ABC =120°， AB =2，BC = CC1=1，求異面直線 AB1與 BC1所成角的余弦值.

解答本題，需先根據(jù)題意畫出相應(yīng)的圖形，以便明確各點、角、線段、面的位置及其關(guān)系，找到兩條異面直線所成的角，得到恰當(dāng)?shù)慕忸}方案.

思路一：根據(jù)異面直線所成角的定義求解

設(shè)a、b 是兩條異面直線，經(jīng)過空間任一點 O作直線a′∥a，b′∥b，把a′與b′所成的銳角（或直角）叫做異面直線a 與b 所成的角（或夾角）.在求異面直線所成的角時，需在空間中找到兩條與異面直線平行的直線，并使其相交，所成的夾角即為兩條異面直線所成的角.再根據(jù)正余弦定理、勾股定理即可求得夾角的大小.對于本題，可通過添加輔助線，作出異面直線的平行線，使 OE//AB1、OF//BC1，則∠EOF 為異面直線 AB1與 BC1所成的角，再在ΔA1B1C1、RtΔEGF 、ΔEOF 中，運用勾股定理和余弦定理求得異面直線 AB1與 BC1所成角的余弦值.

解：

思路二：通過構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系求解

對于方便建立空間直角坐標(biāo)系的立體幾何問題，我們可采用坐標(biāo)系法來求解.首先根據(jù)幾何圖形的性質(zhì)、特點建立合適的空間直角坐標(biāo)系，然后求得各個點、向量的坐標(biāo)，通過向量坐標(biāo)運算即可求得兩異面直線所成的角.對于本題，我們可以 B 為原點、BC 所在直線為 y 軸、BB1所在直線為 z 軸建立空間直角坐標(biāo)系，求得 A B1與 B C1后，便可利用空間向量的夾角坐標(biāo)公式求得異面直線 AB1與 BC1所成角的余弦值.

解：

思路三：采用基底法求解

運用基底法求空間異面直線所成的角，需先選擇合適的基底，根據(jù)空間向量基本定理將兩條異面直線用基底表示出來，然后根據(jù)空間向量的運算法則以及空間向量的夾角公式來求得兩異面直線所成的角.對于本題，可以 B B1、B C 為基底，求得 A B1與 B C1，便可根據(jù)向量的夾角公式進(jìn)行求解.

解：

相比較而言，第一、二個思路較為常用，第二、三種思路較為簡單.在求異面直線所成的角時，同學(xué)們可根據(jù)異面直線所成角的定義，也可構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，選取合適的基底，利用空間向量來解題.

（作者單位：江蘇省大豐高級中學(xué)）