談?wù)剝深惓？嫉姆侄魏瘮?shù)問題的解法

劉武

分段函數(shù)的定義域被劃分為兩段或者兩段以上，每一段上的函數(shù)解析式各不相同.分段函數(shù)問題一般較為復(fù)雜，在解題時通常需運用分類討論思想對不同區(qū)間段上的函數(shù)進行討論，且往往需利用數(shù)形結(jié)合思想來輔助解題.下面主要討論一下兩類?？嫉姆侄魏瘮?shù)問題的解法.

一、求分段函數(shù)的值

求分段函數(shù)值的問題一般較為簡單，常以選擇題或者填空題的形式出現(xiàn).在求分段函數(shù)的值時，首先要明確所求值的自變量所在的范圍，找出相對應(yīng)的區(qū)間段和函數(shù)的解析式，再將其代入函數(shù)的解析式中進行計算，即可求得函數(shù)的值.

例1.

解：

由于函數(shù)解析式中含有參數(shù)a、b，因此需先根據(jù)已知條件建立關(guān)于a、b 的關(guān)系式求得a、b 的值，得到函數(shù)的解析式.由于-3≤0，所以需先將x =-3代入 fx=ax +b 中進行計算，得到 f-3=9.而9>0，所以需將 x =9代入 fx=log3x 中進行計算得到所求的值.若所求的值為 f（fa）的形式，應(yīng)遵循“由內(nèi)到外”的原則，從內(nèi)到外依次求值，即先求 fa的值，然后將所得的值代入 f（x）中進行計算.

二、解分段函數(shù)不等式

解分段函數(shù)不等式通常有兩種思路：①運用分類討論法.即對每段函數(shù)的解析式進行分類討論，分別求解，然后綜合所得的結(jié)果（求并集）即可.值得注意的是，運用分類討論法求解時，應(yīng)檢驗所求的解集是否符合其相應(yīng)區(qū)間段上自變量的取值范圍.②采用數(shù)形武結(jié)合法.若分段函數(shù)的圖象比較容易畫出來，可用數(shù)形結(jié)合法進行解題.首先依據(jù)題意畫出分段函數(shù)的圖象，將題設(shè)中的數(shù)量關(guān)系式通過圖象呈現(xiàn)出來，然后借助圖象的直觀性去掉函數(shù)符號“ f ”，建立關(guān)于自變量的不等式，解不等式即可解題.

例2

解法一：

解法二：

解法一主要采用了分類討論法，根據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，分4種情況討論自變量x+1和2x 的大小關(guān)系;解法二主要采用了數(shù)形結(jié)合法，先畫出函數(shù) 的圖象，以明確 x +1和2x 可能所在的位置，再根據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性建立不等式，求得不等式的解集.

在求解分段函數(shù)問題時，同學(xué)們應(yīng)該明白的是，分段函數(shù)的定義域是幾個區(qū)間段的并集，因此需對每一個區(qū)間段上的情況都進行分析，討論每一個區(qū)間段上自變量的取值范圍、函數(shù)的取值、單調(diào)性等.

（作者單位：南京師范大學(xué)第二附屬高級中學(xué)）