運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想，提升解題的效率

明漢鎖

轉(zhuǎn)化思想是指采用某種手段將問(wèn)題通過(guò)變換使之轉(zhuǎn)化，進(jìn)而求得問(wèn)題的答案的一種數(shù)學(xué)思想.該思想在解答高中數(shù)學(xué)問(wèn)題中應(yīng)用較為廣泛，尤其是在解題遇到困難時(shí)，靈活運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想將問(wèn)題轉(zhuǎn)化，有利于快速找到解題的突破口，使問(wèn)題順利獲解.下面結(jié)合實(shí)例談一談轉(zhuǎn)化思想在解答高中數(shù)學(xué)問(wèn)題中的應(yīng)用，以期對(duì)同學(xué)們解題有所幫助.

一、正難則反

有些問(wèn)題從正面思考，耗時(shí)費(fèi)力，且容易陷入困境，同學(xué)們不妨另辟蹊徑，采用迂回的方式，運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想，從反面著手分析，如分析集合的補(bǔ)集、對(duì)立事件、命題的否定等，這樣往往可以使解題“峰回路轉(zhuǎn)”.

例1.在下列方程中：① m2+2km +4k2+2k +3=0;② m2+（2k +1）m +k2=0;③（k -1）m2+2km +（k -1）=0.若這些方程中至少有一個(gè)方程存在實(shí)數(shù)根，那么實(shí)數(shù) k 的取值范圍為 .

分析：此題若從正面分析，需要分類討論多種情形，運(yùn)算過(guò)程較為繁瑣.不妨運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想，從反面切入，考慮三個(gè)方程都沒(méi)有實(shí)數(shù)根的情況，根據(jù)一元二次方程的判別式建立不等式組，取其補(bǔ)集即可解題.

解：

二、由“一般”向“特殊”靠攏

某些數(shù)學(xué)問(wèn)題涉及了動(dòng)點(diǎn)、動(dòng)曲線，且含有較多的參數(shù)，此時(shí)我們需打破常規(guī)，從問(wèn)題的特殊情形入手，從中發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的一般性規(guī)律，挖掘出問(wèn)題的本質(zhì)屬性，從而撥開(kāi)迷霧，找到解題的思路.

例2.△ABC 中的三個(gè)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若a，b，c成等差數(shù)列，那么=? .

分析：解答本題的常規(guī)思路是利用余弦定理將 cosA 和 cos C 轉(zhuǎn)換為邊之間的關(guān)系，解題過(guò)程比較復(fù)雜.本題為填空題，不需要詳細(xì)的解答過(guò)程，我們不妨由“一般”向“特殊”靠攏，選取合適的特殊值，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)運(yùn)算問(wèn)題，則可以避繁就簡(jiǎn)，使問(wèn)題快速得解.

解：因?yàn)閍，b，c成等差數(shù)列，所以設(shè)a =3， b =4， c =5，

于是cosA =，cos C =0，所以 = .

例3.已知x=2007t+2008，y=2007t+2009，z=2007t+2010，則x2+y2+z2-xy-yz-xz 的值為 .

分析：此題按照常規(guī)方法求解計(jì)算量相當(dāng)大，十分棘手.不妨換個(gè)思路，采用轉(zhuǎn)化思想，通過(guò)賦值，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的計(jì)算問(wèn)題來(lái)求解，便能快速求得問(wèn)題的答案.

解：令 t =-1，可得 x =1，y =2，z =3，則 x2+y2+z2- xy -yz -xz =12+22+32-2-6-3=3.

三、將“主元”視作“次元”

含有多個(gè)參數(shù)、變量的代數(shù)問(wèn)題一般較為復(fù)雜，需進(jìn)行分類討論.此時(shí)我們可轉(zhuǎn)換思維，運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想，將“主元”視作“次元”，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為關(guān)于參數(shù)的函數(shù)、方程、不等式問(wèn)題來(lái)求解.

例4.已知x，y，z，k 均為實(shí)數(shù)，且y2（k2+1）+2yk（x+ z）+x2k2++z2=0，求證：y2=xz.

分析：此題是一個(gè)多元問(wèn)題，涉及x，y，z，k 四個(gè)變量，直接證明，無(wú)從下手.通過(guò)仔細(xì)審題，不難看出，目標(biāo)式中不含 k，可將原來(lái)的主元“y”視為“次元”，把原方程轉(zhuǎn)化為以“k”為主元的一元二次方程，再利用根的判別式，則可以使問(wèn)題順利破解.

證明：y2（k2+1）+2yk（x +z）+x2k2++z2=（x2+y2）k2+2y（x +z）k +（y2+z2）=0.

因?yàn)閗 為實(shí)數(shù)，所以當(dāng)x2+y2≠0時(shí)，

△=4y2（x +z）2-4（x2+y2）（y2+z2）≥0.

整理得：（y2-xz）≤0，所以 y2-xz =0，即 y2=xz.

所以當(dāng)x2+y2=0，即 x =y =0，z =0時(shí)，y2=xz.

總之，在解題受阻時(shí)，靈活運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想，將問(wèn)題巧妙轉(zhuǎn)化，能有效提升解題的效率.在平時(shí)的解題訓(xùn)練中，同學(xué)們要注意根據(jù)問(wèn)題的結(jié)構(gòu)特征，巧妙使用迂回戰(zhàn)術(shù)，靈活運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想，開(kāi)拓新思路，使解題“柳暗花明”.

（作者單位：江蘇省鹽城市龍岡中學(xué)）