做數(shù)學(xué)：思想淵源與課程實(shí)施

摘 要：對(duì)“做數(shù)學(xué)”的思想淵源及課程實(shí)施做簡(jiǎn)要的梳理，有利于深入理解“做數(shù)學(xué)”的內(nèi)涵，把握“做數(shù)學(xué)”的教學(xué)?！白鰯?shù)學(xué)”改變了從定義出發(fā)，進(jìn)而介紹性質(zhì)、規(guī)則、方法等，以“例題—習(xí)題”的模式，讓學(xué)生在模仿中接受形式化知識(shí)體系的數(shù)學(xué)教學(xué)方式，體現(xiàn)了波利亞所說(shuō)的“學(xué)習(xí)從行動(dòng)和感受開(kāi)始”，以及弗賴(lài)登塔爾“學(xué)一個(gè)活動(dòng)的最好方法是做”的思想。在各國(guó)數(shù)學(xué)課程的實(shí)施中，對(duì)手腦協(xié)同以及數(shù)學(xué)活動(dòng)體驗(yàn)的關(guān)注和強(qiáng)調(diào)，對(duì)理論與實(shí)踐相結(jié)合的相關(guān)要求，無(wú)不體現(xiàn)了“做數(shù)學(xué)”的基本理念。

關(guān)鍵詞：“做數(shù)學(xué)”;思想淵源;課程實(shí)施

長(zhǎng)期以來(lái)，數(shù)學(xué)自身的高度抽象性，以及伴隨工業(yè)化社會(huì)所形成的急功近利的教育觀念偏差，致使中小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)普遍存在過(guò)程形式化、目標(biāo)功利化的問(wèn)題，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中學(xué)生的感官并未得到充分調(diào)動(dòng)，學(xué)生的思維并未實(shí)現(xiàn)充分激活，學(xué)生的情緒很難獲得正面體驗(yàn)。面對(duì)這些問(wèn)題，受到歐美廣泛推行的“Handon（動(dòng)手做）”學(xué)習(xí)計(jì)劃的影響，基于杜威“從做中學(xué)”和陶行知“教學(xué)做合一”的教育思想，“做數(shù)學(xué)”越來(lái)越為數(shù)學(xué)教育工作者所重視。學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)主要不應(yīng)該是記數(shù)學(xué)、背數(shù)學(xué)、練數(shù)學(xué)、考數(shù)學(xué)，而應(yīng)該是“做數(shù)學(xué)”。孔企平.小學(xué)兒童如何學(xué)數(shù)學(xué)[M].上海：華東師范大學(xué)出版社，2001：120125?！白鰯?shù)學(xué)”讓學(xué)生在“做”的過(guò)程中，經(jīng)歷知識(shí)的產(chǎn)生過(guò)程、豐富知識(shí)的表征方式、觸及知識(shí)的基本原理，為抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)直觀化、可視化創(chuàng)造了條件，成為促進(jìn)學(xué)生深度理解所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)的重要路徑。郭慶松.在“做數(shù)學(xué)”中促進(jìn)深度理解[J].教育研究與評(píng)論，2021（3）：30。對(duì)“做數(shù)學(xué)”的思想淵源及課程實(shí)施做簡(jiǎn)要的梳理，有利于我們深入理解“做數(shù)學(xué)”的內(nèi)涵，把握“做數(shù)學(xué)”的教學(xué)。

一、 數(shù)學(xué)教育思想演進(jìn)中的“做數(shù)學(xué)”

自歐幾里得以降，數(shù)學(xué)形成了以一些基本的公理和定義為基礎(chǔ)，通過(guò)一系列邏輯步驟演繹而得的定理（結(jié)論）體系，構(gòu)成了所謂的歐幾里得范式。郝寧湘.論實(shí)驗(yàn)數(shù)學(xué)對(duì)歐幾里德范式的挑戰(zhàn)[J].自然辯證法通訊，2002（3）：28。嚴(yán)謹(jǐn)性已成為數(shù)學(xué)的基本特征，嚴(yán)密的邏輯推理和高度的抽象化使得數(shù)學(xué)成為一門(mén)演繹科學(xué)。掌握形式化的體系固然是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的目標(biāo)，但需要進(jìn)一步思考的是：我們是否只能如傳統(tǒng)方式那樣，將這一體系從定義出發(fā)，進(jìn)而介紹性質(zhì)、規(guī)則、方法等，以“例題—習(xí)題”的模式，讓學(xué)生在模仿中接受？

事實(shí)上，考察數(shù)學(xué)史上的重大發(fā)現(xiàn)，或追尋數(shù)學(xué)家的思考?xì)v程，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)，數(shù)學(xué)研究者們往往是從直覺(jué)開(kāi)始，作出數(shù)學(xué)的種種猜想，進(jìn)而再給出證明（或在證偽后提出新的猜想）的。至于那些符號(hào)或定義，往往是因表達(dá)和交流的需要而引入的，都是思維活動(dòng)的產(chǎn)物而已。由此，皮亞杰、科普蘭、迪恩斯、彼格斯等心理學(xué)家或數(shù)學(xué)教育家都強(qiáng)調(diào)由數(shù)學(xué)操作活動(dòng)獲得的實(shí)際體驗(yàn)對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要價(jià)值。這里，更加值得關(guān)注的是同時(shí)具有數(shù)學(xué)家與數(shù)學(xué)教育家身份的幾位大家的數(shù)學(xué)教育思想中所體現(xiàn)的“做數(shù)學(xué)”。

對(duì)“問(wèn)題解決”教學(xué)作出奠基性貢獻(xiàn)的美籍匈牙利數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)教育家波利亞指出：“數(shù)學(xué)被人看作是一門(mén)論證科學(xué)，然而這僅僅是它的一個(gè)方面。以最后確定的形式出現(xiàn)的定型的數(shù)學(xué)，好像是僅含證明的純論證性的材料，然而數(shù)學(xué)的創(chuàng)造性過(guò)程是與其他知識(shí)的創(chuàng)造過(guò)程一樣的。在證明一個(gè)數(shù)學(xué)定理之前，你先得推測(cè)證明的思路。你先得把觀察的結(jié)果加以綜合，然后加以類(lèi)比。你得一次又一次地進(jìn)行嘗試。”G.波利亞.數(shù)學(xué)與猜想（第一卷）：數(shù)學(xué)中的歸納和類(lèi)比[M].李心燦，王日爽，李志堯，譯.北京：科學(xué)出版社，2001：5。他借用康德的名言“人的認(rèn)識(shí)從感覺(jué)開(kāi)始，從感覺(jué)上升到概念，最后形成思想”，進(jìn)一步指出：“學(xué)習(xí)從行動(dòng)和感受開(kāi)始，再?gòu)倪@里上升到語(yǔ)言和概念，最后形成該有的心理習(xí)慣?！眴讨巍げɡ麃?數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)：對(duì)解題的理解、研究和講授[M].劉景麟，曹之江，鄒清蓮，譯.北京：科學(xué)出版社，2006：284。并據(jù)此將數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過(guò)程分為三個(gè)階段：探索階段、形式化階段和同化階段。作為第一階段的探索階段，聯(lián)系行動(dòng)和感知，在直覺(jué)和啟發(fā)水平上發(fā)展，奠定了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)。這里的行動(dòng)無(wú)疑可以通俗直白地理解為“做”?！皩W(xué)數(shù)學(xué)”從“做數(shù)學(xué)”開(kāi)始，是波利亞關(guān)于“問(wèn)題解決”的理論及其實(shí)踐給我們的重要啟示。他主張，數(shù)學(xué)教育的根本目的是“教會(huì)學(xué)生思考”，教學(xué)過(guò)程應(yīng)該遵循的三個(gè)基本原則是主動(dòng)學(xué)習(xí)、最佳動(dòng)機(jī)、循序漸進(jìn)。這為后續(xù)“做數(shù)學(xué)”的研究與實(shí)踐奠定了基礎(chǔ)。

同樣是數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)教育家的荷蘭皇家科學(xué)院院士和數(shù)學(xué)教育研究所所長(zhǎng)弗賴(lài)登塔爾認(rèn)為，傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教學(xué)出現(xiàn)了一種“違反教學(xué)法的顛倒”，數(shù)學(xué)家從不按照他們發(fā)現(xiàn)、創(chuàng)造的真實(shí)過(guò)程介紹他們的工作，而教科書(shū)更是常將通過(guò)分析法獲得的結(jié)論采用綜合法的形式敘述，使文字表達(dá)的思維過(guò)程與實(shí)際獲得的發(fā)現(xiàn)過(guò)程完全相反，這對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)形成了某種障礙。他系統(tǒng)地分析了“想”和“做”的關(guān)系，認(rèn)為除了現(xiàn)成的數(shù)學(xué)以外，還存在一種作為活動(dòng)的數(shù)學(xué)。一方面，要將數(shù)學(xué)作為一個(gè)現(xiàn)成的產(chǎn)品提供給世界;另一方面，又要將現(xiàn)成的數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)換成“做”出來(lái)的數(shù)學(xué)。進(jìn)而，他將夸美紐斯的教學(xué)論原理之一“教一個(gè)活動(dòng)的最好方法是演示”，進(jìn)一步發(fā)展為“學(xué)一個(gè)活動(dòng)的最好方法是做”弗賴(lài)登塔爾.作為教育任務(wù)的數(shù)學(xué)[M].陳昌平，唐瑞芬，等編譯.上海：上海教育出版社，1995：103110。。他認(rèn)為，數(shù)學(xué)來(lái)源于普通的常識(shí)，數(shù)學(xué)實(shí)質(zhì)上是人們常識(shí)的系統(tǒng)化，因而每一個(gè)學(xué)生都可能在一定的指導(dǎo)下，通過(guò)親身經(jīng)歷的“做”來(lái)獲得這些知識(shí)。他進(jìn)一步提出了有指導(dǎo)的“再創(chuàng)造”方式，為“學(xué)一個(gè)活動(dòng)的最好方法是做”作出了深刻的注解。

數(shù)學(xué)是最古老的科學(xué)之一。遠(yuǎn)古時(shí)期的人類(lèi)祖先首先在日常生活中獲得數(shù)與形的概念，在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步凝聚成各種規(guī)則、定理。于是，日常的知識(shí)逐漸提高，發(fā)展成了數(shù)學(xué)。這個(gè)過(guò)程實(shí)質(zhì)上是在“做”中不斷創(chuàng)造、發(fā)現(xiàn)的過(guò)程。數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史進(jìn)程如此，個(gè)人學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的進(jìn)程同樣如此。每一個(gè)人都可以在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的進(jìn)程中，根據(jù)自己的體驗(yàn)，用自己的思維方式，重新創(chuàng)造、發(fā)現(xiàn)有關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)。也就是說(shuō)，教師不必將各種規(guī)則、定理灌輸給學(xué)生，而要?jiǎng)?chuàng)造合適的條件，提供盡可能多的“做”的機(jī)會(huì)，讓學(xué)生在實(shí)踐活動(dòng)中，見(jiàn)識(shí)并感受更多的具體而鮮活的例子，“再創(chuàng)造”各種法則，“再發(fā)現(xiàn)”有關(guān)規(guī)律。顯然，這并非機(jī)械地重復(fù)歷史，而是對(duì)歷史的借鑒。

除了上述數(shù)學(xué)科學(xué)發(fā)展的視角，從教育學(xué)的視角，我們同樣可以獲得相關(guān)的理論支持。首先，通過(guò)自身活動(dòng)所獲得的知識(shí)與能力，遠(yuǎn)比別人強(qiáng)加的要理解得透徹、掌握得到位，也更具實(shí)用性，一般來(lái)說(shuō)還可以保持較長(zhǎng)久的記憶。其次，“再創(chuàng)造”包含了發(fā)現(xiàn)，而發(fā)現(xiàn)是一種樂(lè)趣，因而通過(guò)“再創(chuàng)造”來(lái)學(xué)習(xí)能引起學(xué)生的興趣，并激發(fā)學(xué)生深入探索研究的學(xué)習(xí)動(dòng)力。最后，通過(guò)“再創(chuàng)造”方式，可以進(jìn)一步促使學(xué)生借助自身的體驗(yàn)形成這樣的觀念：數(shù)學(xué)是一種人類(lèi)的活動(dòng)，數(shù)學(xué)教學(xué)（學(xué)習(xí)）也是一種人類(lèi)的活動(dòng)。唐瑞芬.數(shù)學(xué)教學(xué)理論選講[M].上海：華東師范大學(xué)出版社，2001：3536。

為了說(shuō)明“做”的重要性及基本特性，弗賴(lài)登塔爾常以學(xué)習(xí)游泳為例：游泳雖然有理論，也需要觀察示范動(dòng)作，但最重要的還是實(shí)際的下水練習(xí)，一直站在岸上，動(dòng)作要領(lǐng)記得再熟也不可能學(xué)會(huì)游泳?；氐綌?shù)學(xué)學(xué)習(xí)領(lǐng)域，如同要在游泳中學(xué)會(huì)游泳，我們也必須在“做數(shù)學(xué)”中學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)。

20世紀(jì)90年代，我國(guó)數(shù)學(xué)家與數(shù)學(xué)教育家陳重穆先生針對(duì)“片面理解科學(xué)性原則，在名詞、術(shù)語(yǔ)上孜孜以求”的時(shí)弊，撰文表達(dá)了“淡化形式，注重實(shí)質(zhì)”的觀點(diǎn)，其中特別提到“不要把概念放在最前，教學(xué)不要從概念出發(fā)，而要從實(shí)際出發(fā)，‘先做后說(shuō)’”“概念教學(xué)要靠直觀演示，具體操作，使學(xué)生對(duì)它有實(shí)際領(lǐng)悟”陳重穆，宋乃慶.淡化形式，注重實(shí)質(zhì)——兼論《九年義務(wù)教育全日制初級(jí)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱》[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，1993（2）：78。。這里雖然是就具體的數(shù)學(xué)概念教學(xué)而言的，但還是鮮明地表達(dá)了“做數(shù)學(xué)”的觀念，對(duì)數(shù)學(xué)教育，特別是義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)教育具有重要的意義。

二、 各國(guó)數(shù)學(xué)課程中的“做數(shù)學(xué)”

1957年11月蘇聯(lián)人造衛(wèi)星上天，引起了美國(guó)乃至整個(gè)西方世界對(duì)教育的反思。反思認(rèn)為，技術(shù)落后的主要原因是教育，特別是數(shù)學(xué)教育落后。隨后，在布魯納等一大批著名學(xué)者的推動(dòng)下，從美國(guó)到歐洲開(kāi)始了歷時(shí)十多年、史稱(chēng)“新數(shù)運(yùn)動(dòng)”的數(shù)學(xué)教育現(xiàn)代化運(yùn)動(dòng)。當(dāng)新數(shù)學(xué)課程在美國(guó)大多數(shù)學(xué)校推開(kāi)后，其對(duì)結(jié)構(gòu)思想的過(guò)于強(qiáng)調(diào)，特別是“任何學(xué)科的知識(shí)都可以用某種方式教給任何年齡的學(xué)生”的所謂早期學(xué)習(xí)的思想，在教學(xué)實(shí)踐中受到了很多的質(zhì)疑。批評(píng)的意見(jiàn)主要集中在以下幾個(gè)方面：（1） 過(guò)于抽象，過(guò)于演繹;（2） 過(guò)于“內(nèi)向”，而不重視數(shù)學(xué)的應(yīng)用;（3） 過(guò)分強(qiáng)調(diào)了結(jié)構(gòu)、嚴(yán)格性和符號(hào)化;（4） 包含了許多不應(yīng)該在中小學(xué)施教的內(nèi)容;（5） 過(guò)分強(qiáng)調(diào)了一些較新的但用處不大的數(shù)學(xué)分支。黃建弘.小學(xué)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)比較研究[M].上海：華東師范大學(xué)出版社，2001：11。顯而易見(jiàn)的是，改進(jìn)上述問(wèn)題需要更多聯(lián)系學(xué)生的實(shí)際，通過(guò)“做”的過(guò)程，讓學(xué)生獲得更多的直觀經(jīng)驗(yàn)，有更多的機(jī)會(huì)應(yīng)用數(shù)學(xué)。而另一方面，“新數(shù)運(yùn)動(dòng)”中強(qiáng)調(diào)的“激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)積極性的首要條件是對(duì)數(shù)學(xué)真正的興趣”，以及“讓學(xué)生親自去發(fā)現(xiàn)結(jié)論和規(guī)律，使自己成為發(fā)現(xiàn)者”等觀點(diǎn)，并未遭到全盤(pán)否定。顯然，成為發(fā)現(xiàn)者的前提乃是親自去“做”。

20世紀(jì)70年代后期，美國(guó)與歐洲在社會(huì)輿論的壓力下，由反對(duì)“新數(shù)運(yùn)動(dòng)”而呼吁“回到基礎(chǔ)”，但回到“新數(shù)運(yùn)動(dòng)”之前顯然已經(jīng)不可能。1980年，全美數(shù)學(xué)教師理事會(huì)（National Council of Teachers of Mathematics，簡(jiǎn)稱(chēng)為NCTM）出版了《行動(dòng)議程》（An Agenda for Action），提出“問(wèn)題解決”應(yīng)成為中小學(xué)數(shù)學(xué)的核心。經(jīng)過(guò)近十年的探索，1989年，NCTM發(fā)布了《學(xué)校數(shù)學(xué)課程與評(píng)估標(biāo)準(zhǔn)》（Curriculum and Evaluation Standards for School Mathematics）。又歷時(shí)十年，2000年，NCTM發(fā)布了《學(xué)校數(shù)學(xué)教育的原則和標(biāo)準(zhǔn)》（Principles and Standards for School Mathematics）。相繼發(fā)布的“課程標(biāo)準(zhǔn)”，表達(dá)了新的數(shù)學(xué)課程觀。其中較為突出的便是，強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是一個(gè)現(xiàn)實(shí)的體驗(yàn)、理解和反思的過(guò)程，以學(xué)生為主體的學(xué)習(xí)活動(dòng)對(duì)學(xué)生理解數(shù)學(xué)極為重要，學(xué)生實(shí)踐、探索與思考數(shù)學(xué)是學(xué)生理解數(shù)學(xué)的重要條件，而所謂“懂得數(shù)學(xué)”就是“會(huì)做數(shù)學(xué)”。人們是在一些有具體目的的活動(dòng)中收集、發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造知識(shí)的。教學(xué)中應(yīng)該反復(fù)強(qiáng)調(diào)，“干”比“知道”更為重要。全美數(shù)學(xué)教師理事會(huì).美國(guó)學(xué)校數(shù)學(xué)課程與評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)[M].人民教育出版社數(shù)學(xué)室，譯.北京：人民教育出版社，1994：6。無(wú)論是應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，還是人們熟知的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方式，都與“做”相聯(lián)系。知識(shí)之間能否建立聯(lián)系，既取決于知識(shí)本身之間的關(guān)系，也與學(xué)生學(xué)習(xí)過(guò)程的參與度有關(guān)，而“做數(shù)學(xué)”的過(guò)程，可以有效提高學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的參與度。

為了解決美國(guó)各州之間課程標(biāo)準(zhǔn)不一帶來(lái)的成績(jī)和學(xué)習(xí)水平認(rèn)證以及教育公平等問(wèn)題，全美州長(zhǎng)協(xié)會(huì)（National Governors Association，簡(jiǎn)稱(chēng)為NGA）和美國(guó)首席州立學(xué)校官員理事會(huì)（The Council of Chief State School Officers，簡(jiǎn)稱(chēng)為CCSSO）在2010年聯(lián)合推出了《州際核心數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（Common Core State Standards for Mathematics）。到2012年，美國(guó)已有45個(gè)州和華盛頓特區(qū)簽署了使用該標(biāo)準(zhǔn)的文件。全美州長(zhǎng)協(xié)會(huì)和首席州立學(xué)校官員理事會(huì).美國(guó)州際核心數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)：歷史、內(nèi)容和實(shí)施[M].蔡金法，孫偉，江春蓮，等編譯.北京：人民教育出版社，2016：10?；趯?duì)“過(guò)程與能力”的重視，該標(biāo)準(zhǔn)提出了與內(nèi)容標(biāo)準(zhǔn)相對(duì)應(yīng)的一般性的數(shù)學(xué)實(shí)踐標(biāo)準(zhǔn)，共包含以下八個(gè)方面：（1） 理解問(wèn)題并能堅(jiān)持不懈地解決問(wèn)題;（2） 抽象化、量化地進(jìn)行推理;（3） 構(gòu)建可行的論證，評(píng)判他人的推理;（4） 數(shù)學(xué)建模;（5） 合理使用恰當(dāng)?shù)墓ぞ?（6） 關(guān)注準(zhǔn)確性;（7） 尋求并使用結(jié)構(gòu);（8） 在不斷地推理中尋求并表征規(guī)律。該數(shù)學(xué)實(shí)踐標(biāo)準(zhǔn)突出了美國(guó)著名教育家杜威所強(qiáng)調(diào)的“從做中學(xué)”，強(qiáng)調(diào)教學(xué)過(guò)程應(yīng)看作“做”的過(guò)程，教師必須按照學(xué)生能夠理解數(shù)學(xué)的標(biāo)準(zhǔn)來(lái)教學(xué)，而不僅是教會(huì)學(xué)生熟練地解題。由此獲得的啟示有：（1） 加強(qiáng)數(shù)學(xué)內(nèi)容與數(shù)學(xué)實(shí)踐的聯(lián)系;（2） 教師應(yīng)該成為數(shù)學(xué)實(shí)踐的引導(dǎo)者;（3） 學(xué)生應(yīng)該成為數(shù)學(xué)實(shí)踐的參與者。全美州長(zhǎng)協(xié)會(huì)和首席州立學(xué)校官員理事會(huì).美國(guó)州際核心數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)：歷史、內(nèi)容和實(shí)施[M].蔡金法，孫偉，江春蓮，等編譯.北京：人民教育出版社，2016：270271。這也是引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷“做數(shù)學(xué)”的幾個(gè)基本原則。

各國(guó)的課程標(biāo)準(zhǔn)，雖然未必明確提出“做數(shù)學(xué)”，但是，其中對(duì)數(shù)學(xué)課程實(shí)施的相關(guān)要求都或多或少地體現(xiàn)了“做數(shù)學(xué)”的理念。德國(guó)黑森州2010年編寫(xiě)的12年義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程大綱，提出：“數(shù)學(xué)教學(xué)中的學(xué)習(xí)應(yīng)貼近現(xiàn)實(shí)并結(jié)合生活中的應(yīng)用實(shí)例;知識(shí)、能力及技能應(yīng)該在數(shù)學(xué)教學(xué)中，通過(guò)發(fā)現(xiàn)生動(dòng)形象的生活實(shí)例并進(jìn)行分類(lèi)操作而學(xué)習(xí)掌握?！雹邰?/p>

曹一鳴.十三國(guó)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)評(píng)介（小學(xué)、初中卷）[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2012：157，202203，283284。日本2008年頒布的小學(xué)和初中的數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)，在描述總體目標(biāo)時(shí)，都首先強(qiáng)調(diào)通過(guò)數(shù)學(xué)活動(dòng)，讓學(xué)生掌握基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能，并讓學(xué)生切實(shí)感受到數(shù)學(xué)活動(dòng)的快樂(lè)和用數(shù)學(xué)解決問(wèn)題的益處。“數(shù)學(xué)活動(dòng)以問(wèn)題解決的形式實(shí)施，教師在此過(guò)程中適當(dāng)?shù)剡M(jìn)行指導(dǎo)，將理論結(jié)合具體的操作，重視理論與實(shí)踐之間的靈活應(yīng)用?！雹坌录悠?011年公布的數(shù)學(xué)教育大綱，更重視數(shù)學(xué)過(guò)程，其核心元素是學(xué)習(xí)體驗(yàn)。“數(shù)學(xué)是一個(gè)充滿樂(lè)趣并令人興奮的學(xué)科，它使得學(xué)生有機(jī)會(huì)進(jìn)行創(chuàng)造性的活動(dòng)，體驗(yàn)思想的火花迸射而產(chǎn)生的快樂(lè)?！雹茉凇白鰯?shù)學(xué)”的過(guò)程中進(jìn)行創(chuàng)造，進(jìn)而獲得積極體驗(yàn)，正是這樣的課程設(shè)計(jì)所追求的。

三、 我國(guó)數(shù)學(xué)課程改革中的“做數(shù)學(xué)”

1949—2000年，我國(guó)數(shù)學(xué)教育的課程目標(biāo)、課程設(shè)置、內(nèi)容和要求都主要反映在由國(guó)家頒布的教學(xué)大綱之中。教學(xué)大綱總體上側(cè)重于對(duì)所學(xué)內(nèi)容及其范圍或程度的規(guī)定，至于對(duì)教學(xué)方式方法的要求，則主要聚焦在如何讓學(xué)生通過(guò)練習(xí)形成相應(yīng)基本技能，對(duì)如何根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)開(kāi)展相適應(yīng)的教學(xué)活動(dòng)并未做過(guò)多的表述。除了中華人民共和國(guó)成立初期和“文革”結(jié)束之后具有過(guò)渡性質(zhì)的教學(xué)大綱以外，1963年、1986年和1992年頒布的教學(xué)大綱比較具有代表性。1963年頒布的大綱，僅在“教學(xué)中應(yīng)該注意的幾點(diǎn)”中用較小的篇幅提到“要適當(dāng)?shù)芈?lián)系實(shí)際”“要理論聯(lián)系實(shí)際”⑥⑦

課程教材研究所.20世紀(jì)中國(guó)中小學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)·教學(xué)大綱匯編：數(shù)學(xué)卷[M].北京：人民教育出版社，2001：454，111，156。。1986年頒布的大綱除了繼續(xù)強(qiáng)調(diào)理論聯(lián)系實(shí)際之外，在提及注意培養(yǎng)學(xué)生初步的邏輯思維能力和空間觀念時(shí)，強(qiáng)調(diào)“要通過(guò)直觀教學(xué)和實(shí)際操作，引導(dǎo)學(xué)生在感性材料的基礎(chǔ)上，理解數(shù)學(xué)概念，進(jìn)行簡(jiǎn)單的判斷、推理，掌握數(shù)學(xué)最基礎(chǔ)的知識(shí)”⑥。1992年頒布的《九年義務(wù)教育全日制小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱（試用）》，在提及幾何初步知識(shí)的教學(xué)要求時(shí)，則進(jìn)一步提出“引導(dǎo)學(xué)生對(duì)物體、模型等的觀察、測(cè)量、擺拼、畫(huà)圖、制作、實(shí)驗(yàn)等活動(dòng)，掌握形體的基本特征和面積、體積的計(jì)算方法，并且注意在實(shí)際中應(yīng)用，以利于培養(yǎng)初步的空間觀念”⑦。上述教學(xué)大綱體現(xiàn)的教學(xué)理念，對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中讓學(xué)生經(jīng)歷“做”的過(guò)程，雖然總體上不夠重視，但是隨著時(shí)間的推移，呈現(xiàn)出逐步開(kāi)始關(guān)注數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的“做”，逐步豐富“做”的內(nèi)容與過(guò)程的趨勢(shì)。

2001年，我國(guó)啟動(dòng)了影響深遠(yuǎn)的第八次課程改革。作為課程改革的綱領(lǐng)性文件，《基礎(chǔ)教育課程改革綱要（試行）》指出：“要改變課程實(shí)施過(guò)于強(qiáng)調(diào)接受學(xué)習(xí)、死記硬背、機(jī)械訓(xùn)練的現(xiàn)狀，倡導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)參與、樂(lè)于探究、勤于動(dòng)手，培養(yǎng)學(xué)生搜集和處理信息的能力、獲取新知識(shí)的能力、分析和解決問(wèn)題的能力以及交流與合作的能力。”與之相呼應(yīng)，2001年頒布的《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)稿）》，從課程理念到課程實(shí)施建議，都對(duì)學(xué)習(xí)方式的改善提出了具體而明確的要求。在“課程理念”部分提出：“學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容應(yīng)當(dāng)是現(xiàn)實(shí)的、有意義的、富有挑戰(zhàn)性的，這些內(nèi)容要有利于學(xué)生主動(dòng)地進(jìn)行觀察、實(shí)驗(yàn)、猜測(cè)、驗(yàn)證、推理與交流等數(shù)學(xué)活動(dòng)?！薄坝行У臄?shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)不能單純地依賴(lài)模仿與記憶，動(dòng)手實(shí)踐、自主探索與合作交流是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要方式。”在“課程實(shí)施建議”部分提出：“數(shù)學(xué)教學(xué)，要緊密聯(lián)系學(xué)生的生活實(shí)際，從學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)和已有知識(shí)出發(fā)，創(chuàng)設(shè)生動(dòng)有趣的情境，引導(dǎo)學(xué)生開(kāi)展觀察、操作、猜想、推理、交流等活動(dòng)，使學(xué)生通過(guò)數(shù)學(xué)活動(dòng)，掌握基本的數(shù)學(xué)知識(shí)和技能，初步學(xué)會(huì)從數(shù)學(xué)的角度去觀察事物、思考問(wèn)題，激發(fā)對(duì)數(shù)學(xué)的興趣，以及學(xué)好數(shù)學(xué)的愿望?！薄皵?shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程充滿著觀察、實(shí)驗(yàn)、模擬、推斷等探索性與挑戰(zhàn)性活動(dòng)。教師要改變以例題、示范、講解為主的教學(xué)方式，引導(dǎo)學(xué)生投入探索與交流的學(xué)習(xí)活動(dòng)之中?！?/p>

2012年，《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》正式施行，在分析我國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教學(xué)優(yōu)勢(shì)的基礎(chǔ)上，相應(yīng)地進(jìn)行了糾偏和完善，但基本保留了上述相關(guān)要求，并在“課程實(shí)施建議”中，進(jìn)一步強(qiáng)調(diào)：學(xué)生應(yīng)用知識(shí)并逐步形成技能，離不開(kāi)自己的實(shí)踐;學(xué)生在獲得知識(shí)、技能的過(guò)程中“只有親身參與教師精心設(shè)計(jì)的教學(xué)活動(dòng)，才能在數(shù)學(xué)思考、問(wèn)題解決和情感態(tài)度方面得到發(fā)展”。

此外，以發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng)為課程目標(biāo)導(dǎo)向，新一輪的義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)修訂工作正在進(jìn)行中，已經(jīng)為教學(xué)實(shí)踐所認(rèn)同的動(dòng)手實(shí)踐等學(xué)習(xí)方式將會(huì)進(jìn)一步得到堅(jiān)持。與此同時(shí)，也將更加強(qiáng)調(diào)引導(dǎo)學(xué)生在真實(shí)情境中發(fā)現(xiàn)問(wèn)題和提出問(wèn)題，大幅增加“綜合與實(shí)踐”的內(nèi)容，讓學(xué)生在主題活動(dòng)和項(xiàng)目學(xué)習(xí)中分析、解決實(shí)際問(wèn)題，體驗(yàn)跨學(xué)科的綜合學(xué)習(xí)。由此，“做”的方式將會(huì)更為豐富，“做”的過(guò)程將會(huì)更加深入，“做”中獲得的體驗(yàn)也將會(huì)更好地支撐起學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。

為了將課程標(biāo)準(zhǔn)的理念和要求落實(shí)到數(shù)學(xué)課程中，教材編寫(xiě)者進(jìn)行了積極的嘗試和探索。蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材在一到四年級(jí)分冊(cè)的每個(gè)內(nèi)容中都安排了“想想做做”板塊。這里的“做”不僅是做習(xí)題、做練習(xí)，還通過(guò)精心選擇素材設(shè)計(jì)了豐富的數(shù)學(xué)活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生開(kāi)展觀察、操作、猜想、推理、交流等活動(dòng)。除此之外，教材還專(zhuān)門(mén)設(shè)計(jì)了《動(dòng)手做》欄目：依托相應(yīng)的數(shù)學(xué)內(nèi)容設(shè)計(jì)了具體的操作活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生

在手腦協(xié)同、邊做邊思中切實(shí)經(jīng)歷“做數(shù)學(xué)”的過(guò)程。蘇科版初中數(shù)學(xué)教材設(shè)置了豐富多彩的欄目，助力學(xué)生“做數(shù)學(xué)”。除了《做一做》《練一練》等欄目外，還專(zhuān)門(mén)設(shè)置了“數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)室”“數(shù)學(xué)活動(dòng)”“課題學(xué)習(xí)”等實(shí)踐性任務(wù)，引導(dǎo)學(xué)生“做數(shù)學(xué)”，通過(guò)“做”感受數(shù)學(xué)本質(zhì)。

“做數(shù)學(xué)”豐富了學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過(guò)程，“做”的經(jīng)歷讓學(xué)生在關(guān)注“知識(shí)是什么”的同時(shí)，也體會(huì)到“知識(shí)怎么來(lái)”“知識(shí)向哪里去”;更重要的是，學(xué)生在通過(guò)“做”主動(dòng)參與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過(guò)程中，獲得理性精神、創(chuàng)新意識(shí)及實(shí)踐能力的全面發(fā)展。“做數(shù)學(xué)”也給課程實(shí)施帶來(lái)了新的挑戰(zhàn)，如何通過(guò)“做數(shù)學(xué)”更好地實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科的育人價(jià)值，特別是在形成人的理性思維、科學(xué)精神和促進(jìn)人的智力發(fā)展方面的獨(dú)特價(jià)值，還需要廣大數(shù)學(xué)教育工作者的不懈探索。

（郭慶松，江蘇省教育科學(xué)研究院中小學(xué)教學(xué)研究室。江蘇省教育學(xué)會(huì)小學(xué)數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)委員會(huì)秘書(shū)長(zhǎng)。主要研究方向：小學(xué)數(shù)學(xué)課程、教學(xué)、評(píng)價(jià)等。）