董立偉

摘? 要：以不等式的證明為例，關(guān)注同一個(gè)數(shù)學(xué)問題不同解法之間存在的思維關(guān)聯(lián). 從某一解法出發(fā)，用思維關(guān)聯(lián)打通不同解題視角，讓一題多解自然發(fā)生.

關(guān)鍵詞：一題多解;思維關(guān)聯(lián);自然發(fā)生

思維是人腦對(duì)客觀事物本質(zhì)屬性和內(nèi)在聯(lián)系的概括和間接反映. 思維關(guān)聯(lián)則是指思維之間的聯(lián)系或影響. 數(shù)學(xué)以解題為核心. 解題的價(jià)值是在于通過(guò)問題的解決，掌握數(shù)學(xué)知識(shí)，習(xí)得解題技能，體悟數(shù)學(xué)思想方法，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng). 很多數(shù)學(xué)問題的解法并不是唯一的. 從不同視角出發(fā)，利用不同的策略對(duì)問題進(jìn)行分析，運(yùn)用不同的數(shù)學(xué)知識(shí)與思想方法，可以給出同一個(gè)數(shù)學(xué)問題的多種解法，也就是一題多解. 一題多解不僅有助于學(xué)生對(duì)所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)、解題方法和數(shù)學(xué)思想進(jìn)行優(yōu)化整合，幫助學(xué)生對(duì)問題進(jìn)行更全面深入的理解，更有助于培養(yǎng)學(xué)生敏銳的觀察能力，提高學(xué)生解決問題的能力，激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)造欲.

在教學(xué)中，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)，學(xué)生常常會(huì)因一個(gè)問題有多種解法而感到震撼，但假如讓他們獨(dú)立探究，可能只能得到其中的一兩種解法. 以不等式證明問題為例，其常用方法有比較法、放縮法、利用經(jīng)典不等式（如均值不等式、柯西不等式等）證明法、構(gòu)造法（如構(gòu)造函數(shù)、恒等式、輔助命題、局部不等式等）、證明加強(qiáng)命題等多種方法. 學(xué)生容易想到利用比較法證明不等式，但是讓他們利用經(jīng)典不等式解決問題卻可能難以獨(dú)立完成. 其中一個(gè)很重要的原因是從不同視角出發(fā)去思考，雖然可以實(shí)現(xiàn)一題多解，但畢竟有難度，大部分學(xué)生難以做到.

一題多解要注重思路的自然而然展開，為一題多解而一題多解，往往事倍功半. 事實(shí)上，同一個(gè)問題的不同解法之間往往存在思維關(guān)聯(lián)，從某一解法出發(fā)，用思維關(guān)聯(lián)打通不同解題視角，一題多解就可以自然發(fā)生.

一、探尋理論依據(jù)

波利亞的“怎樣解題表”將解題過(guò)程分為理解題目、擬訂方案、執(zhí)行方案和反思回顧四個(gè)步驟. 解答完一道題之后，是需要進(jìn)行反思回顧的，只有解題而沒有反思，就如同“入寶山而空返”. 波利亞提出，“反思回顧”的內(nèi)容包括你能否檢驗(yàn)這個(gè)論證？你能否用其他方法導(dǎo)出這個(gè)結(jié)果？你能否直接看出結(jié)果？你能否把這個(gè)結(jié)果或方法用于解決其他的問題？這些問題都將反思回顧指向了“思維”.

根據(jù)維果茨基的最近發(fā)展區(qū)理論，不同解法所在思維水平不同，不同學(xué)生解決問題的思維水平也不相同. 學(xué)生根據(jù)已知條件所能獨(dú)立想到的方法可以看作他們思維的現(xiàn)實(shí)發(fā)展水平，借助教師的幫助可以想到，但是難以獨(dú)立想到的方法則是他們的潛在發(fā)展水平. 這兩者之間的差距就是學(xué)生的最近發(fā)展區(qū). 在一題多解教學(xué)中，教師應(yīng)當(dāng)關(guān)注學(xué)生思維中的最近發(fā)展區(qū)，利用不同解法之間的思維關(guān)聯(lián)，鋪設(shè)支架，幫助學(xué)生在現(xiàn)有思維發(fā)展水平的基礎(chǔ)上，不斷將潛在發(fā)展水平轉(zhuǎn)化為現(xiàn)有發(fā)展水平.

二、基于思維關(guān)聯(lián)的一題多解探究

1. 始于自然

蔣凱、錢云祥兩位教師認(rèn)為，某一數(shù)學(xué)問題解法的產(chǎn)生，也許是經(jīng)驗(yàn)，也許是感覺，也許是運(yùn)氣. 筆者很贊同這一觀點(diǎn). 由于經(jīng)驗(yàn)、感覺的不同，不同的學(xué)生在面對(duì)同一個(gè)問題時(shí)，思考的切入點(diǎn)往往不同，順著切入點(diǎn)思考而得的方法，往往是問題最自然的解法.

三、反思回顧

1. 對(duì)利用思維關(guān)聯(lián)探尋一題多解的正確認(rèn)識(shí)

解題會(huì)受到各種主觀或客觀因素的影響. 因此，我們需要對(duì)利用思維關(guān)聯(lián)探尋一題多解有正確的認(rèn)識(shí).

從一種解法出發(fā)，不一定能一直思維關(guān)聯(lián)下去，得出問題的所有解法，思維關(guān)聯(lián)只是提供了一種探尋一題多解的思路. 有時(shí)從單一解法出發(fā)，不一定能進(jìn)行有效的思維關(guān)聯(lián). 這時(shí)，可以從多種解法出發(fā)，找尋這些解法的共性，進(jìn)行思維關(guān)聯(lián). 在同一問題中，探尋一題多解的思維關(guān)聯(lián)路徑通常不止一條. 利用思維關(guān)聯(lián)探尋一題多解的方式是多樣的. 例如，可以對(duì)已有解法進(jìn)行優(yōu)化，可以從已有解法所缺失的方面入手，可以把所用的某種方法以其他形式呈現(xiàn)出來(lái)，也可以尋找已有解法的衍生方法，等等.

2. 開展基于思維關(guān)聯(lián)的一題多解活動(dòng)

利用思維關(guān)聯(lián)探尋問題一題多解能力的培養(yǎng)，不可能一蹴而就，而是需要反復(fù)多次的“練”和“悟”. 這就需要教師挑選合適的例題，精心設(shè)計(jì)相關(guān)的數(shù)學(xué)活動(dòng)，給予學(xué)生適當(dāng)?shù)臅r(shí)間進(jìn)行練習(xí)和參悟. 活動(dòng)中要注意以學(xué)生為主，教師起引導(dǎo)的作用，遵循學(xué)生的理解，自然形成解法. 一題多解訓(xùn)練結(jié)束后，還可以借助思維導(dǎo)圖，將思維關(guān)聯(lián)可視化，鞏固所得成果.

3. 適時(shí)、適度做好知識(shí)方法的拓展延伸

學(xué)生在利用思維關(guān)聯(lián)探尋一題多解的過(guò)程中，可能會(huì)摩擦出許多思維的“火花”. 但是要將這些思維的“火花”轉(zhuǎn)化為問題的解答可能會(huì)用到一些學(xué)生現(xiàn)階段沒有學(xué)習(xí)過(guò)的知識(shí)，有些知識(shí)甚至不在高中數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容之內(nèi). 例如，本文中出現(xiàn)的“冪平均不等式”“琴生不等式”等. 但這些知識(shí)在開闊學(xué)生的解題思維，幫助學(xué)生觸碰問題的深層結(jié)構(gòu)，以及對(duì)問題解答做進(jìn)一步的思維關(guān)聯(lián)上起著很重要的作用. 因此，對(duì)于有精力的學(xué)生，教師可以進(jìn)行拓展性的闡述.

參考文獻(xiàn)：

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