用樣本的頻率分布估計總體分布案例分析

孫五林 柳應(yīng)康

(四川省達(dá)州市高級中學(xué)培文學(xué)校 635000)

柳應(yīng)康,碩士,高中一級教師,從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.

我校積極推行課堂教學(xué)模式改革，每個老師的課堂都采用五導(dǎo)四動的課堂教學(xué)模式，現(xiàn)把這堂課呈現(xiàn)給大家.

1 課前導(dǎo)學(xué)(閱讀教材65-68頁并完成填空)

導(dǎo)語：統(tǒng)計學(xué)的基本思想是用樣本估計總體，通過樣本的基本特征來估計總體的基本特征，進(jìn)一步為我們作出更好的決策.

(1)分析數(shù)據(jù)的基本方法有：____.

(2)極差是一組數(shù)據(jù)的____的差，它反映了一組數(shù)據(jù)____.

(3)頻數(shù)、頻率：將樣本中的數(shù)據(jù)按要求分為若干組，對各個小組內(nèi)數(shù)據(jù)的____累計，這個累計數(shù)叫做各個小組的____，各個小組的____除以____，即得該小組的____.

(4)組距和組數(shù)的確定____(有/沒有)固定的標(biāo)準(zhǔn)，組距等于____；一般分組的組數(shù)與____有關(guān)；樣本容量越大，分組組數(shù)越____，樣本容量越小，分組組數(shù)越____.

(5)在頻率分布直方圖中，縱軸表示____，各小長方形的面積等于____，所有長方形面積之和等于____.

本環(huán)節(jié)分析：課堂導(dǎo)學(xué)是指課前學(xué)生按照導(dǎo)學(xué)案要求進(jìn)行自主預(yù)習(xí)，完成知識梳理和小題練習(xí).這樣設(shè)計的目的在于提前讓學(xué)生對本節(jié)的概念有一個預(yù)知，不會對某些新概念感到陌生.

2 討論導(dǎo)習(xí)

討論導(dǎo)習(xí)是指上課后，老師對課前自主學(xué)習(xí)內(nèi)容進(jìn)行討論交流，目的是解決學(xué)生自主學(xué)習(xí)中存在的問題.

2020年6月19日，我國陳薇院士帶領(lǐng)的疫苗研發(fā)團(tuán)隊發(fā)布了50位志愿者在接種了試驗(yàn)疫苗以后血清中的抗體GMT倍增比值情況，如表1：

表150位志愿者抗體GMT倍增比值情況表

問題1：以上50個數(shù)據(jù)，同學(xué)們能直接得出哪些信息?

問題2：上述50個數(shù)據(jù)中的最大值和最小值分別是多少？由此說明樣本數(shù)據(jù)的變化范圍是什么？

問題3：為了更加清晰的呈現(xiàn)數(shù)據(jù)規(guī)律，同學(xué)們會怎樣整理和分析數(shù)據(jù)？

問題4：對樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行分組，其中組數(shù)由哪些因數(shù)決定？

問題5：將上述50個數(shù)據(jù)按組距為“4”分組，能分成多少組？按照組距為“5”分組，能分成多少組呢?

問題6：各組數(shù)據(jù)的取值范圍(分段點(diǎn)如何歸屬)可以如何設(shè)定？

上述50個數(shù)據(jù)在各組中的頻數(shù)是多少？頻率是多少？你能將這些數(shù)據(jù)用表格反映出來嗎? (請同學(xué)們分小組合作完成表2)

表2 50位志愿者抗體GMT倍增比值情況表

為了直觀的反應(yīng)樣本數(shù)據(jù)在各組的分布情況，類比頻數(shù)分布直方圖，將上面頻率分布表中的有關(guān)信息用直方圖的形式畫出.

問題7：在頻率分布直方圖中各小長方形的面積表示什么？小長方形面積之和為多少，為什么？

問題8：頻率分布直方圖非常直觀的反應(yīng)了樣本數(shù)據(jù)的分布情況，你能根據(jù)頻率分布直方圖估計志愿者接種試驗(yàn)疫苗以后抗體GMT倍增比值的一些分布特點(diǎn)嗎？

問題9：如果食藥監(jiān)局希望有90%左右的接種者能達(dá)到抗體GMT倍增比值標(biāo)準(zhǔn)，根據(jù)頻率分布直方圖，你對此標(biāo)準(zhǔn)制定有何建議？

思考：以上研究的50位志愿者的抗體GMT倍增比值正是我國自主研發(fā)的新疫苗“克爾來?！痹谝黄谂R床試驗(yàn)中的數(shù)據(jù)，該款疫苗效力優(yōu)秀，根據(jù)統(tǒng)計，接種者抗體GMT倍增比值達(dá)標(biāo)率99.9967%.請同學(xué)們思考一下，為什么實(shí)際的達(dá)標(biāo)率和試驗(yàn)的達(dá)標(biāo)率不一樣呢，你認(rèn)為有哪些因素造成了這樣的誤差？

本環(huán)節(jié)分析：本節(jié)課由學(xué)生觀看疫苗研發(fā)視頻開始，引起共鳴，提出要研究的問題，然后以問題為導(dǎo)向，層層遞進(jìn)，教師扮演導(dǎo)演的角色，負(fù)責(zé)問題的設(shè)置與啟發(fā)，聯(lián)系實(shí)際引導(dǎo)學(xué)生，逐步探索，積極發(fā)現(xiàn)，最終找到解決問題的辦法.在核心素養(yǎng)滲透方面，通過計算頻數(shù)和頻率，培養(yǎng)了學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)；通過自主探究與合作交流，經(jīng)歷數(shù)字特征的生成過程，利用樣本的頻率分布估計總體從而更好地作出決策，培養(yǎng)學(xué)生整理數(shù)據(jù)，提取信息的數(shù)據(jù)分析核心素養(yǎng).

3 講授導(dǎo)法(用數(shù)據(jù)說話)

講授導(dǎo)法是指師生圍繞知識點(diǎn)進(jìn)行例題講授、復(fù)習(xí)，目的是引導(dǎo)學(xué)生找到解決問題的方法，并能靈活地運(yùn)用相應(yīng)方法解決問題.

治愈率的高低可以從側(cè)面反應(yīng)疫苗的效果，現(xiàn)在我們通過以下40個國家的治愈率數(shù)據(jù)分布情況來估計全球197個主權(quán)國家的新冠肺炎的治愈率分布情況，并以此為據(jù)來判斷我們國家疫苗的效果好壞.原始數(shù)據(jù)中已經(jīng)找出了治愈率、死亡率的最大(小)值：治愈率最大值：新加坡(99.53%)；治愈率最小值：英國(20.22%).

請同學(xué)們根據(jù)表3，完成以下題目：

表3

圖1

(1)求上表中a、b、c、d的值；

(2)請補(bǔ)全頻率分布直方圖；

(3)請利用樣本估計總體的思想，試估計全世界197個國家中治愈率大于等于90%的國家個數(shù).

本環(huán)節(jié)分析：本環(huán)節(jié)通過填頻率分布表，畫頻率分布直方圖，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合、直觀想象的核心素養(yǎng).本環(huán)節(jié)充分體現(xiàn)了以學(xué)生為主體的新課程理念，讓學(xué)生充分體會數(shù)學(xué)來源于生活，同時又服務(wù)于生活.通過新冠疫苗的治愈率，進(jìn)行愛國主義教育、勵志教育，讓本節(jié)課達(dá)到高潮，通過這種教育讓學(xué)生感受祖國的強(qiáng)大，立志好好學(xué)習(xí)，做新時代的優(yōu)秀青年.

4 當(dāng)堂導(dǎo)練(活動時間——用數(shù)據(jù)說話)

當(dāng)堂導(dǎo)練是根據(jù)知識點(diǎn)要求及例題講授情況，及時組織當(dāng)堂訓(xùn)練，目的是了解學(xué)生對當(dāng)堂內(nèi)容的掌握程度.

近日鐘南山團(tuán)隊在網(wǎng)站上發(fā)布最新論文，披露了針對1000例新冠病毒感染者的研究成果.這篇論文對未來的疫情防治工作提供了重要的決策支持，但其中提到的潛伏期最長可達(dá)24天的結(jié)論，卻引起廣大網(wǎng)友和群眾的恐慌.原來不是一直說潛伏期最長14天嗎，現(xiàn)在怎么變成24天了？

同學(xué)們能不能用今天所學(xué)習(xí)的知識幫助廣大的網(wǎng)友消除疑惑呢？

本環(huán)節(jié)分析：數(shù)學(xué)來源于生活，同時又服務(wù)于生活.本節(jié)課力求將數(shù)學(xué)知識與生活實(shí)際緊密結(jié)合.學(xué)生眼里數(shù)學(xué)應(yīng)該是一門看得見、摸得著、用得上的學(xué)科不再是枯燥乏味的數(shù)字游戲.因此本節(jié)課以新冠疫情，疫苗等生活中耳熟能詳?shù)氖虑闉楸尘白寣W(xué)生體會到“用數(shù)學(xué)”的樂趣.

5 探究導(dǎo)思(課后鞏固)

探究導(dǎo)思是把當(dāng)堂作業(yè)分層訓(xùn)練，引導(dǎo)學(xué)生對當(dāng)堂知識點(diǎn)進(jìn)行學(xué)后總結(jié)反思，對少數(shù)同學(xué)進(jìn)行探究拓展訓(xùn)練.

小組合作完成：

(1)抽樣調(diào)查學(xué)校100位學(xué)生的鞋碼大小信息，制作頻率分布表和頻率分布直方圖，并以此為據(jù)估計我校學(xué)生鞋碼大于40碼(中國碼)的學(xué)生人數(shù).

(2)課本71頁練習(xí)題第2題.

本環(huán)節(jié)分析：本案例在分析傳統(tǒng)作業(yè)的基礎(chǔ)上，提出了新課程下必須樹立的作業(yè)設(shè)計理念：設(shè)置分層作業(yè)、多元化作業(yè)、合作完成作業(yè)等，這是新課程教學(xué)的需要.

6 案例反思

6.1 數(shù)據(jù)問題

由于一些客觀原因，本節(jié)課所用部分?jǐn)?shù)據(jù)與真實(shí)數(shù)據(jù)稍有差別，一切相關(guān)數(shù)據(jù)，請以國家發(fā)布的實(shí)時統(tǒng)計為準(zhǔn).

6.2 創(chuàng)新還是立足教材？

本節(jié)課的爭議點(diǎn)就在這里，大膽創(chuàng)新還是立足教材例子走，我們認(rèn)為應(yīng)該尊重教材，但不囿于教材，重視教材的再處理，拓寬學(xué)生知識視野.

6.3 什么是有價值的課？

習(xí)近平總書記在全國教育大會的重要講話中提出要“培養(yǎng)德智體美勞全面發(fā)展的社會主義建設(shè)者和接班人”，“努力構(gòu)建德智體美勞全面培養(yǎng)的教育體系，形成更高水平的人才培養(yǎng)體系”.這一重要指示給教育改革發(fā)展提出了新的努力方向和建設(shè)要求.為了落實(shí)立德樹人根本任務(wù)，我們必須全面貫徹新時期黨的教育方針.作為一線教師，筆者深知，“五育并舉，全面發(fā)展”決不能紙上談兵，需通過活動來實(shí)現(xiàn).本節(jié)課為學(xué)生量身定制，在師生互動、生生互動中促進(jìn)學(xué)生的全面發(fā)展，所以我認(rèn)為這是一堂有價值的課.

最后，這次賽課，精彩不斷，讓人回味無窮，本節(jié)課的不足之處，望各位同仁指正.