曹彬
摘要:一元二次不等式的解法是初高中數(shù)學銜接課程中的重要內(nèi)容之一,其中含參數(shù)討論是學生普遍認為困難的,容易產(chǎn)生邏輯思維混亂和解題心理不佳的情況.本文探索解決一元二次不等式含參數(shù)討論的一般步驟,通過四個問題:是否是二次不等式?對應函數(shù)圖象開口如何?對應方程是否有根?根的大小如何?指引學生完成討論,并形成規(guī)范的解題思路,而且這種思路推廣到解決含參數(shù)分式不等式、絕對值不等式依然適用.
關鍵詞:銜接教學;一元二次不等式;解題思路
中圖分類號:G632文獻標識碼:A 文章編號:1008-0333(2022)09-0011-02
關于x的一元二次不等式ax+bx+c>0(a≠0)的解法是初高中數(shù)學銜接課程中的重要內(nèi)容之一,而含參數(shù)一元二次不等式解集討論是這一節(jié)中同學們普遍感到困難的部分,這類題融合了分類討論和數(shù)形結合思想,考查直觀想象、數(shù)學運算等能力.同學們做這類題時,容易出現(xiàn)方向不明、思路不清、敘述不對、討論不全等問題.柏佳楠老師通過調(diào)查研究,發(fā)現(xiàn)同學們在討論含參數(shù)一元二次不等式的解集時出現(xiàn)解題過程邏輯混亂以及解題心理不佳等情況,也提出了一些切實可行的解決策略,但沒有提出討論的具體步驟.
對于剛剛升入高中的學生,怎么討論含參數(shù)一元二次不等式的解集呢?當然,不等式ax+bx+c>0不一定是一元二次不等式,顯然這一步是討論過程中的第一步.若滿足a≠0,求一元二次不等式的解集的常用步驟是:解對應一元二次方程的根;畫對應一元二次函數(shù)的圖像;寫一元二次不等式的解(其實這也是求其他類型不等式的常用步驟).根據(jù)上述步驟,在討論含參數(shù)一元二次不等式的解集時,心里默默地詢問自己如下四個問題,問題解答過程就是分類討論過程,這四個問題是:①是否是二次不等式?②對應函數(shù)圖象開口如何?③對應方程是否有根?④根的大小如何?推動繼續(xù)分類討論的理由就是答案的“不確定”.接下來展示一下解題過程.
1 解題過程
例1已知a為常數(shù),解關于x的不等式:ax-2(a-1)x-4≤0.
解析①是否是二次不等式?答:不一定,需要討論a是否為0.
當a=0時,原不等式化為2x-4≤0,此時解集為{x|x≤2}.
當a≠0時,②對應函數(shù)圖象開口如何?答:不確定,需要討論a的正負.
原不等式轉(zhuǎn)化為:(ax+2)(x-2)≤0
若a>0時,
③對應方程是否有根?答:有.
對應方程的根為2,-2/a,
④根的大小如何?答:2>-2/a
因為-2/a<0<2,
所以此時不等式的解集為:{x|-2/a≤x≤2}
若a<0時,對應方程的根為2,-2/a,
④根的大小如何?答:此時要討論a與-1的大小.
令2>-2/a,可得a<-1
當a<-1時,不等式的解集為:{x|x≤-2/a或x≥2}
當a=-1時,不等式的解集為:{x|x=2}
當a>-1時,不等式的解集為:{x|x≤2或x≥-2/a}
綜上所述略過.
2 方法推廣
解決一道題的目的是為了解決一類題.在初高中數(shù)學銜接教學階段,還會遇到含參數(shù)分式不等式、絕對值不等式,上述解題思路還能用嗎?其實,稍作變化仍然適用.
例2解關于x的不等式ax+1/(x-1)(x+2)<0.
解析原不等式等價于(ax+1)(x-1)(x+2)<0
①是否是三次不等式?答:不一定,需要討論a是否為0.
當a=0時,不等式轉(zhuǎn)化為:(x-1)(x+2)<0
所以解集為:{x|-2<x<1}
當a≠0時,
②對應函數(shù)圖象如何?答:采用“數(shù)軸穿根法”畫函數(shù)的簡圖,圖象與a的正負有關.
當a>0時
③對應方程是否有根?答:有.
對應方程的根為-1/a,-2,1
④根的大小如何?答:此時要討論-1/a,-2,1的大小.
若0<a<1/2時,-1/a<-2<1,解集為:{x|x<-1/a或-2<x<1},
若a=1/2時,-1/a=-2<1,解集為:{x|x<1且x≠-2},若a>1/2時,-2<-1/a<1,解集為:{x|x<-2或-1/a<x<1},當a<0時的討論過程類似.
例3解關于x的不等式|2x-1|≤ax(a>0).
解析①是否能拆開絕對值符號?答:能,ax的正負不影響解集.
原不等式等價于-ax≤2x-1≤ax.
即等價于不等式組(a+2)x≥1(a-2)x≥-1
②是否是一次不等式組?答:不一定,需要討論a是否為2.
當a=2時,不等式組的解集為{x|x≥1/4}
當a≠2時
③對應函數(shù)圖象如何?答:一次函數(shù).
若a>2時,④每個方程是否有根?答:有,分別是1a+2和-1a-2.
⑤根的大小如何?答:1/ a+2>-1/a-2.
解集為{x|x≥1/a+2}
若0<a<2,解集為{x|1/a+2≤x≤-1/a-2}.
此題的解法很多,最好的方法是數(shù)形結合法.
天下難事必作于易,通過問題形式,將分類討論的過程結構化、步驟化,防止在討論過程中漏掉必要的步驟,或者避免在討論過程中思維凌亂,這也是解決其他分類討論問題常用的方法.
參考文獻:
[1]柏佳楠.高中生一元二次不等式解題錯誤現(xiàn)狀的調(diào)查研究[D].上海:上海師范大學,2021.
[2] 余樹寶.關注“三高”優(yōu)化教學——以“含參數(shù)的一元二次不等式的求解”教學為例[J].中學教研(數(shù)學),2021(03):10-13.
責任編輯:李璟