任銀

二項(xiàng)式定理是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，也是高考的必考內(nèi)容.二項(xiàng)式定理問題常以填空、選擇題的形式出現(xiàn)，難度適中，要求同學(xué)們深刻理解并掌握二項(xiàng)式定理及其性質(zhì).下面，筆者結(jié)合例題，對(duì)解答二項(xiàng)式定理問題的三個(gè)“妙招”一一介紹.

一、巧用通項(xiàng)分析法

二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式 Tr+1 = Cn（r）an -rbr （0≤ r ≤n， r ∈ N）呈現(xiàn)了二項(xiàng)展開式的項(xiàng)數(shù)、系數(shù)、次數(shù)三者之間的變化規(guī)律，是二項(xiàng)式定理的核心.若已知二項(xiàng)式展開式的項(xiàng)數(shù)、系數(shù)、次數(shù)三者之一，就可以根據(jù)二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式求出其余的量.

例1 .已知 f（x）=（3 +3x2）5，求展開式中系數(shù)最大的項(xiàng).

解：假設(shè)第r +1項(xiàng)的系數(shù)最大，

則 Tr ≤ Tr+1，Tr+1 ≥Tr +2，

可得?（ì）C（C）? 解得? ≤ r ≤? ，

又因?yàn)?r ∈ N，所以 r =4，

故展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)是 T4+ 1= C x3（3x2）4=

二項(xiàng)式展開式中項(xiàng)的系數(shù)是離散型變值，因此在系數(shù)均為正的前提下，只需比較相鄰兩項(xiàng)系數(shù)的大小即可.于是根據(jù)二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式建立不等式組，通過解不等式組求得r 的值，便可確定系數(shù)最大的項(xiàng).

二、利用組合知識(shí)

我們知道，二項(xiàng)式（a +b）n 是由n 個(gè)因式 a +b 相乘得到的，因此可將二項(xiàng)式定理問題看作從 n 個(gè)元素 a +b 中選取 m 個(gè)a 和n -m 個(gè)b 的組合問題來求解.確定組合問題中的元素和選取方式便可得到相應(yīng)的組合數(shù)，求得問題的答案.對(duì)于求二項(xiàng)式展開式中的某項(xiàng)、項(xiàng)的系數(shù)以及與二項(xiàng)式系數(shù)和有關(guān)的問題，都可以利用組合知識(shí)來求解.

例2.求在（a -2b -3c）10的展開式中含有 a3b4c3的項(xiàng)的系數(shù).

解析：

利用組合知識(shí)解題時(shí)，需從每個(gè)因式中選取一項(xiàng)作乘法運(yùn)算，且對(duì)每一項(xiàng)的字母及其前面的系數(shù)、符號(hào)需一起選取.

三、賦值

賦值法是指將某些滿足題意的值賦給某個(gè)變量，并將其代入題設(shè)中進(jìn)行求解.由于二項(xiàng)式與其展開式是恒等關(guān)系式，它對(duì)能夠使變量有意義的任意值都成立，故賦值法是研究二項(xiàng)展開式系數(shù)的和的常用方法.

例3.已知（2x -1）5=a0x5+a1x4+ ???+a4x +a5，求a0+a1+???+ a5的值.

解：

我們需先根據(jù)二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，明確相應(yīng)系數(shù)的特征，再進(jìn)行賦值.解答本題的關(guān)鍵是得到a0+a1+???+ a5=a0-a1+a2-a3+a4-a5，從而令 x =-1，求得系數(shù)的和.

通過對(duì)上述三個(gè)“妙招”的闡釋，同學(xué)們對(duì)二項(xiàng)式定理問題及其解法會(huì)有更加深入的了解，相信通過練習(xí)，并不斷總結(jié)經(jīng)驗(yàn)和教訓(xùn)，同學(xué)們能熟練掌握求解二項(xiàng)式定理問題的三種方法，并能靈活應(yīng)對(duì)各類二項(xiàng)式定理問題.

（作者單位：江蘇省鹽城市大岡中學(xué)）