矩陣的通俗解釋

梁鐸強(qiáng) 劉芳遠(yuǎn)

摘要：本文嘗試通俗解釋矩陣，讓矩陣學(xué)習(xí)者能夠抓住學(xué)習(xí)的主線。

關(guān)鍵詞：矩陣;通俗解釋

1 前言

線性代數(shù)課程，無論你從行列式入手還是直接從矩陣入手，從一開始就充斥著莫名其妙。比如說，在全國一般工科院系教學(xué)中應(yīng)用最廣泛的同濟(jì)線性代數(shù)教材（現(xiàn)在到了第四版），一上來就介紹逆序數(shù)這個(gè)古怪概念，然后用逆序數(shù)給出行列式的一個(gè)極不直觀的定義，接著是一些簡直犯傻的行列式性質(zhì)和習(xí)題——把這行乘一個(gè)系數(shù)加到另一行上，再把那一列減過來，折騰得那叫一個(gè)熱鬧，可就是壓根看不出這個(gè)東西的用途。為了改變這種情況，本文研究了如何通俗解釋矩陣。

瑞典數(shù)學(xué)家Lars Garding在其名著Encounter with Mathematics中說：“如果不熟悉線性代數(shù)的概念，要去學(xué)習(xí)自然科學(xué)，現(xiàn)在看來就和文盲差不多。然而“按照現(xiàn)行的國際標(biāo)準(zhǔn)，線性代數(shù)是通過公理化來表述的，它是第二代數(shù)學(xué)模型，這就帶來了教學(xué)上的困難?！?[1]

矩陣是大部分本科生都要接觸的數(shù)學(xué)，也是老三高的難點(diǎn)之一。矩陣對(duì)他們非常重要，為此通俗解釋矩陣對(duì)于矩陣學(xué)習(xí)也是很有必要的，。

2 正文

我們?cè)谡n堂上進(jìn)行了嘗試，發(fā)現(xiàn)效果不錯(cuò)。具體教法如下。

1） 空間是一個(gè)集合。我們最熟悉的是歐式空間，我們常用的是歐式空間的高維推廣得出的空間，即希爾伯特空間?？臻g（space），這個(gè)概念是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的最重要的概念，從拓?fù)淇臻g開始，一步步往上加定義，可以形成很多空間。線形空間其實(shí)還是比較初級(jí)的，如果在里面定義了范數(shù)，就成了賦范線性空間。賦范線性空間滿足完備性，就成了巴那赫空間;賦范線性空間中定義角度，就有了內(nèi)積空間，內(nèi)積空間再滿足完備性，就得到希爾伯特空間?？傊臻g有很多種。某種空間的數(shù)學(xué)定義，大致都是：存在一個(gè)集合，在這個(gè)集合上定義某某概念，然后滿足某些性質(zhì)，就可以被稱為空間。這未免有點(diǎn)奇怪，為什么要用“空間”來稱呼一些這樣的集合呢？大家將會(huì)看到，其實(shí)這是很有道理的。最熟悉的空間，毫無疑問就是我們生活在其中的（按照牛頓的絕對(duì)時(shí)空觀）的三維空間，從數(shù)學(xué)上說，這是一個(gè)三維的歐幾里德空間，我們先不管那么多，先看看我們熟悉的這樣一個(gè)空間有些什么最基本的特點(diǎn)。

2） 1、2、3維的歐式空間分別是直線、面、體。詳細(xì)說來，0維，是一個(gè)點(diǎn);1維，是點(diǎn)的無限重疊，即一條線;2維，是線的無限重疊，即面;3維，是面的無限重疊，是立體;

3） 對(duì)于空間上的每一個(gè)點(diǎn)，都可以看做是一個(gè)向量。比如1這個(gè)點(diǎn)，可以看作是起點(diǎn)為原點(diǎn)，終點(diǎn)為1的一個(gè)（有方向，有長度）向量。在數(shù)學(xué)中，向量（也稱為歐幾里得向量、幾何向量、矢量），指具有大?。╩agnitude）和方向的量。它可以形象化地表示為帶箭頭的線段。箭頭所指：代表向量的方向;線段長度：代表向量的大小。與向量對(duì)應(yīng)的量叫做數(shù)量（物理學(xué)中稱標(biāo)量），數(shù)量（或標(biāo)量）只有大小，沒有方向;

4） 我們假設(shè)線就是y=0的面，這么說的話，原點(diǎn)就是0到0的向量，用[0，0;0，0]表示。1點(diǎn)就是0到1的向量，用[0，0;1，0]表示。-1點(diǎn)就是0到-1的向量，用[0，0;-1，0]表示;

5） 我們發(fā)現(xiàn)，點(diǎn)就是向量，向量用矩陣表示，這種表示方法是唯一的，所以得出第一個(gè)解決，向量可以用矩陣表示。

6） 空間中物質(zhì)的位置變化，可以看做是從一個(gè)點(diǎn)到另一個(gè)點(diǎn)的變換。換句話說，我們把物質(zhì)從1點(diǎn)移到-1點(diǎn)。那么，[0，0;1，0]才能變成[0，0;-1，0]，我們嘗試矩陣的乘法，發(fā)現(xiàn)[-1，0;0，-1]左乘[0，0;1，0]，就得到[0，0;-1，0]。那么這個(gè)操作就相當(dāng)于[-1，0;0，-1]。我們可以看出，操作就是運(yùn)算，運(yùn)算就是算符，算符可以用矩陣表示[2]。

7） 我們?cè)倏疾?、3等這些點(diǎn)，顯然，用矩陣表示就是[0，0;2，0]，[0，0;3，0]等。它們和[0，0;1，0]很像啊，沒錯(cuò)，我們可以把[0，0;1，0]看做是最基本的東西（我們暫且稱為基），那么向量就可以以這個(gè)基為基礎(chǔ)，乘以一個(gè)矩陣便可以得出整個(gè)向量的矩陣形式。比如[0，0;2，0]，我們可以以[0，0;1，0]為基，左乘一個(gè)矩陣[2，0;0，2]。所以我們說，坐標(biāo)基可以用矩陣表示[3]。

8） 綜上，向量、算符、坐標(biāo)基都可以用矩陣表示。天啊，整個(gè)數(shù)學(xué)不就是一個(gè)矩陣的本征方程么？是的，所有數(shù)學(xué)就是一個(gè)本征方程。

9） 我們從直線擴(kuò)展到面，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)，一個(gè)向量A進(jìn)行了一個(gè)操作S，之后再進(jìn)行整個(gè)操作的逆操作S^（-1），那相當(dāng)啥也沒做，用SA S^（-1）=B表示。那么我們說A和B的操作是等效的（我們稱S是相似變換矩陣），但是A和B的值不同，是不是出事了？沒事，A和B的值不同，但A和B的本征值是一樣的，你隨便一個(gè)向量C（當(dāng)然維數(shù)要匹配），你會(huì)發(fā)現(xiàn)，AC=BC。

10） AC=BC？不可能！對(duì)的，你說的沒錯(cuò)。但你只要把AC和BC都用同一基E表示的時(shí)候，它們的左乘矩陣是一樣的。

11） 那么，AC和BC都用同一任意表示的時(shí)候，情況是否一樣呢？答案是顯而易見的。因?yàn)槠渌我饣鵇和基E的關(guān)系顯然是唯一的，當(dāng)然這個(gè)唯一是說它的左乘矩陣的本征值一樣[4]。

12） 因此我們可以得出結(jié)論，同一個(gè)變換，在不同的坐標(biāo)系下表現(xiàn)為不同的矩陣，但是它們的本質(zhì)是一樣的，所以本征值相同[5]。

13） 后面，我們還會(huì)知道，矩陣的本征值之和等于矩陣跡，本征值之積等于矩陣行列式。群用矩陣表示，群的很多特點(diǎn)和矩陣的特征標(biāo)有關(guān)[6]。

按這條思路講解矩陣，學(xué)生反應(yīng)不錯(cuò)。

3 結(jié)論

本文對(duì)矩陣進(jìn)行了通俗解釋。通過簡單的實(shí)例也可以讓復(fù)雜的矩陣?yán)碚撟兊猛ㄋ滓锥?。通過通俗解釋，學(xué)生更容易入門，對(duì)線性代數(shù)的興趣更加持久。

參考文獻(xiàn)

[1]北京大學(xué)數(shù)學(xué)系兒何與代數(shù)教研室代數(shù)小組.高等代數(shù).第二版，北京：高等教育出版社，1988

[2]蔣爾雄，高坤敏，足景琨.線性代數(shù).北京：人民教育出版社，1978呂炯興.矩陣論.北京：航空工業(yè)出版社，1993

[3]孫繼廣.矩陣擾動(dòng)分析.北京：科學(xué)出版社，1987

[4]陳公寧.矩陣?yán)碚撆c應(yīng)用.北京;高等教育出版社，1990

[5]羅家洪.矩陣分析引論.廣州：華南理工大學(xué)出版社，1992

[6]周樹荃，戴華.代數(shù)特征值反問題.鄭州：河南科學(xué)技術(shù)出版社，1991

（2019年度廣西工業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院教科研項(xiàng)目《以技能比賽為導(dǎo)向的建筑室內(nèi)設(shè)計(jì)專業(yè)課程體系建設(shè)研究》

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