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      矩陣的通俗解釋

      2022-04-11 17:37:20梁鐸強(qiáng)劉芳遠(yuǎn)
      科學(xué)家 2022年3期
      關(guān)鍵詞:行列式通俗向量

      梁鐸強(qiáng) 劉芳遠(yuǎn)

      摘要:本文嘗試通俗解釋矩陣,讓矩陣學(xué)習(xí)者能夠抓住學(xué)習(xí)的主線。

      關(guān)鍵詞:矩陣;通俗解釋

      1 前言

      線性代數(shù)課程,無論你從行列式入手還是直接從矩陣入手,從一開始就充斥著莫名其妙。比如說,在全國一般工科院系教學(xué)中應(yīng)用最廣泛的同濟(jì)線性代數(shù)教材(現(xiàn)在到了第四版),一上來就介紹逆序數(shù)這個(gè)古怪概念,然后用逆序數(shù)給出行列式的一個(gè)極不直觀的定義,接著是一些簡直犯傻的行列式性質(zhì)和習(xí)題——把這行乘一個(gè)系數(shù)加到另一行上,再把那一列減過來,折騰得那叫一個(gè)熱鬧,可就是壓根看不出這個(gè)東西的用途。為了改變這種情況,本文研究了如何通俗解釋矩陣。

      瑞典數(shù)學(xué)家Lars Garding在其名著Encounter with Mathematics中說:“如果不熟悉線性代數(shù)的概念,要去學(xué)習(xí)自然科學(xué),現(xiàn)在看來就和文盲差不多。然而“按照現(xiàn)行的國際標(biāo)準(zhǔn),線性代數(shù)是通過公理化來表述的,它是第二代數(shù)學(xué)模型,這就帶來了教學(xué)上的困難?!?[1]

      矩陣是大部分本科生都要接觸的數(shù)學(xué),也是老三高的難點(diǎn)之一。矩陣對(duì)他們非常重要,為此通俗解釋矩陣對(duì)于矩陣學(xué)習(xí)也是很有必要的,。

      2 正文

      我們?cè)谡n堂上進(jìn)行了嘗試,發(fā)現(xiàn)效果不錯(cuò)。具體教法如下。

      1) 空間是一個(gè)集合。我們最熟悉的是歐式空間,我們常用的是歐式空間的高維推廣得出的空間,即希爾伯特空間??臻g(space),這個(gè)概念是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的最重要的概念,從拓?fù)淇臻g開始,一步步往上加定義,可以形成很多空間。線形空間其實(shí)還是比較初級(jí)的,如果在里面定義了范數(shù),就成了賦范線性空間。賦范線性空間滿足完備性,就成了巴那赫空間;賦范線性空間中定義角度,就有了內(nèi)積空間,內(nèi)積空間再滿足完備性,就得到希爾伯特空間??傊臻g有很多種。某種空間的數(shù)學(xué)定義,大致都是:存在一個(gè)集合,在這個(gè)集合上定義某某概念,然后滿足某些性質(zhì),就可以被稱為空間。這未免有點(diǎn)奇怪,為什么要用“空間”來稱呼一些這樣的集合呢?大家將會(huì)看到,其實(shí)這是很有道理的。最熟悉的空間,毫無疑問就是我們生活在其中的(按照牛頓的絕對(duì)時(shí)空觀)的三維空間,從數(shù)學(xué)上說,這是一個(gè)三維的歐幾里德空間,我們先不管那么多,先看看我們熟悉的這樣一個(gè)空間有些什么最基本的特點(diǎn)。

      2) 1、2、3維的歐式空間分別是直線、面、體。詳細(xì)說來,0維,是一個(gè)點(diǎn);1維,是點(diǎn)的無限重疊,即一條線;2維,是線的無限重疊,即面;3維,是面的無限重疊,是立體;

      3) 對(duì)于空間上的每一個(gè)點(diǎn),都可以看做是一個(gè)向量。比如1這個(gè)點(diǎn),可以看作是起點(diǎn)為原點(diǎn),終點(diǎn)為1的一個(gè)(有方向,有長度)向量。在數(shù)學(xué)中,向量(也稱為歐幾里得向量、幾何向量、矢量),指具有大?。╩agnitude)和方向的量。它可以形象化地表示為帶箭頭的線段。箭頭所指:代表向量的方向;線段長度:代表向量的大小。與向量對(duì)應(yīng)的量叫做數(shù)量(物理學(xué)中稱標(biāo)量),數(shù)量(或標(biāo)量)只有大小,沒有方向;

      4) 我們假設(shè)線就是y=0的面,這么說的話,原點(diǎn)就是0到0的向量,用[0,0;0,0]表示。1點(diǎn)就是0到1的向量,用[0,0;1,0]表示。-1點(diǎn)就是0到-1的向量,用[0,0;-1,0]表示;

      5) 我們發(fā)現(xiàn),點(diǎn)就是向量,向量用矩陣表示,這種表示方法是唯一的,所以得出第一個(gè)解決,向量可以用矩陣表示。

      6) 空間中物質(zhì)的位置變化,可以看做是從一個(gè)點(diǎn)到另一個(gè)點(diǎn)的變換。換句話說,我們把物質(zhì)從1點(diǎn)移到-1點(diǎn)。那么,[0,0;1,0]才能變成[0,0;-1,0],我們嘗試矩陣的乘法,發(fā)現(xiàn)[-1,0;0,-1]左乘[0,0;1,0],就得到[0,0;-1,0]。那么這個(gè)操作就相當(dāng)于[-1,0;0,-1]。我們可以看出,操作就是運(yùn)算,運(yùn)算就是算符,算符可以用矩陣表示[2]。

      7) 我們?cè)倏疾?、3等這些點(diǎn),顯然,用矩陣表示就是[0,0;2,0],[0,0;3,0]等。它們和[0,0;1,0]很像啊,沒錯(cuò),我們可以把[0,0;1,0]看做是最基本的東西(我們暫且稱為基),那么向量就可以以這個(gè)基為基礎(chǔ),乘以一個(gè)矩陣便可以得出整個(gè)向量的矩陣形式。比如[0,0;2,0],我們可以以[0,0;1,0]為基,左乘一個(gè)矩陣[2,0;0,2]。所以我們說,坐標(biāo)基可以用矩陣表示[3]。

      8) 綜上,向量、算符、坐標(biāo)基都可以用矩陣表示。天啊,整個(gè)數(shù)學(xué)不就是一個(gè)矩陣的本征方程么?是的,所有數(shù)學(xué)就是一個(gè)本征方程。

      9) 我們從直線擴(kuò)展到面,我們會(huì)發(fā)現(xiàn),一個(gè)向量A進(jìn)行了一個(gè)操作S,之后再進(jìn)行整個(gè)操作的逆操作S^(-1),那相當(dāng)啥也沒做,用SA S^(-1)=B表示。那么我們說A和B的操作是等效的(我們稱S是相似變換矩陣),但是A和B的值不同,是不是出事了?沒事,A和B的值不同,但A和B的本征值是一樣的,你隨便一個(gè)向量C(當(dāng)然維數(shù)要匹配),你會(huì)發(fā)現(xiàn),AC=BC。

      10) AC=BC?不可能!對(duì)的,你說的沒錯(cuò)。但你只要把AC和BC都用同一基E表示的時(shí)候,它們的左乘矩陣是一樣的。

      11) 那么,AC和BC都用同一任意表示的時(shí)候,情況是否一樣呢?答案是顯而易見的。因?yàn)槠渌我饣鵇和基E的關(guān)系顯然是唯一的,當(dāng)然這個(gè)唯一是說它的左乘矩陣的本征值一樣[4]。

      12) 因此我們可以得出結(jié)論,同一個(gè)變換,在不同的坐標(biāo)系下表現(xiàn)為不同的矩陣,但是它們的本質(zhì)是一樣的,所以本征值相同[5]。

      13) 后面,我們還會(huì)知道,矩陣的本征值之和等于矩陣跡,本征值之積等于矩陣行列式。群用矩陣表示,群的很多特點(diǎn)和矩陣的特征標(biāo)有關(guān)[6]。

      按這條思路講解矩陣,學(xué)生反應(yīng)不錯(cuò)。

      3 結(jié)論

      本文對(duì)矩陣進(jìn)行了通俗解釋。通過簡單的實(shí)例也可以讓復(fù)雜的矩陣?yán)碚撟兊猛ㄋ滓锥?。通過通俗解釋,學(xué)生更容易入門,對(duì)線性代數(shù)的興趣更加持久。

      參考文獻(xiàn)

      [1]北京大學(xué)數(shù)學(xué)系兒何與代數(shù)教研室代數(shù)小組.高等代數(shù).第二版,北京:高等教育出版社,1988

      [2]蔣爾雄,高坤敏,足景琨.線性代數(shù).北京:人民教育出版社,1978呂炯興.矩陣論.北京:航空工業(yè)出版社,1993

      [3]孫繼廣.矩陣擾動(dòng)分析.北京:科學(xué)出版社,1987

      [4]陳公寧.矩陣?yán)碚撆c應(yīng)用.北京;高等教育出版社,1990

      [5]羅家洪.矩陣分析引論.廣州:華南理工大學(xué)出版社,1992

      [6]周樹荃,戴華.代數(shù)特征值反問題.鄭州:河南科學(xué)技術(shù)出版社,1991

      (2019年度廣西工業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院教科研項(xiàng)目《以技能比賽為導(dǎo)向的建筑室內(nèi)設(shè)計(jì)專業(yè)課程體系建設(shè)研究》

      項(xiàng)目合同編號(hào):桂工業(yè)院科研2019015KY015)

      (2021年度廣西高校中青年教師科研基礎(chǔ)能力提升項(xiàng)目《虛擬現(xiàn)實(shí)技術(shù)在廣西少數(shù)民族室內(nèi)設(shè)計(jì)中的應(yīng)用研究》

      項(xiàng)目合同編號(hào):2021KY1264)

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