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      一元一次不等式組含參問(wèn)題

      2022-04-16 19:07:09重慶師范大學(xué)易江南
      中學(xué)數(shù)學(xué) 2022年14期
      關(guān)鍵詞:題眼臨界點(diǎn)數(shù)軸

      重慶師范大學(xué) 易江南

      1 不等式組有解、無(wú)解,求參數(shù)的范圍

      由不等式①,解得y≥1+4k.

      由不等式②,解得y≤6+5k.

      因?yàn)樵坏仁浇M有解,所以y≥1+4k與y≤6+5k有公共解集,在數(shù)軸上表示如圖1所示.

      圖1

      由圖1可得1+4k≤6+5k,解得k≥-5.

      因此,k的取值范圍為k≥-5.

      點(diǎn)撥:本題解題的關(guān)鍵是“不等式組有解”.說(shuō)明兩個(gè)不等式的解集有公共部分,也就是1+4k一定在6+5k的左邊,兩個(gè)不等式都有“=”,分析可得1+4k≤6+5k.

      圖2

      因此,a的取值范圍為a≤4.

      2 已知不等式組的解集為xm),求參數(shù)的取值范圍

      由不等式⑤,得x≥2a-4.

      因?yàn)樵坏仁浇M的解集是x>-2,在數(shù)軸上表示如圖3所示.

      圖3

      由圖可得2a-4≤-2,解得a≤1.

      因此,a的取值范圍為a≤1.

      點(diǎn)撥:本題關(guān)鍵在于“不等式組解集是x>-2”.據(jù)“同大取大、同小取小”原則,2a-4一定在-2的左邊,就有2a-4<-2.因?yàn)椴坏仁舰萦小?”,不等式⑥沒(méi)有“=”,由此分析可得2a-4≤-2.

      3 不等式組有整數(shù)解,求參數(shù)的取值范圍

      由不等式⑦,得x≤2.

      而x≤2中x的最大值是2,結(jié)合原不等式組有且只有三個(gè)整數(shù)解,可得結(jié)果2,1,0,其數(shù)軸表達(dá)如下圖4所示.

      圖4

      因此,a的取值范圍為-5

      點(diǎn)撥:本題的關(guān)鍵是“有且僅有”.翻譯過(guò)來(lái)就是剛好3個(gè)整數(shù)解,從“2”開始往左邊數(shù),這三個(gè)整數(shù)解分別是2,1,0.因?yàn)椴坏仁舰嘤小?”,所以0是可以取的,而-1就不能取.

      由不等式⑨,得x≤a.

      由不等式⑩,得x>-5.

      因?yàn)樵坏仁浇M至少有6個(gè)整數(shù)解,在數(shù)軸上表示如圖5所示.

      圖5

      由圖可得a≥1.因此,a的取值范圍為a≥1.

      點(diǎn)撥:本題解題的關(guān)鍵是“至少有6個(gè)整數(shù)解”,翻譯過(guò)來(lái)就是可以有6個(gè)、7個(gè)、8個(gè)……因?yàn)椴坏仁經(jīng)]有“=”,所以-5不算在內(nèi),從-4開始往右數(shù),不等式⑨有“=”,數(shù)到1時(shí),剛好6個(gè)整數(shù)解,1就是“臨界點(diǎn)”.

      因?yàn)樵坏仁浇M的整數(shù)解個(gè)數(shù)不超過(guò)4個(gè),在數(shù)軸上表示如圖6所示.

      圖6

      因此,m的取值范圍為1≤m<7.

      點(diǎn)撥:本題解題的關(guān)鍵是“整數(shù)解個(gè)數(shù)不超過(guò)4個(gè)”,翻譯過(guò)來(lái)就是可以有1個(gè)、2個(gè)、3個(gè)、4個(gè).不等式?jīng)]有“=”,所以-1不算在內(nèi),從0開始數(shù)是第一個(gè),不等式有“=”,數(shù)到3時(shí),剛好是第4個(gè).綜合分析,此題的“臨界點(diǎn)”有兩個(gè),分別是0和4,由此可得

      4 總結(jié)

      通過(guò)分析發(fā)現(xiàn),不等式組的解的個(gè)數(shù)或者范圍不同,其解題方法也不同.問(wèn)題之所以難,是因?yàn)闆](méi)有抓其要害.至關(guān)重要的一點(diǎn)是,抓住“題眼”,并翻譯“題眼”,要能理解“至多”“至少”“當(dāng)且僅有”這樣的話語(yǔ)[1],并借助數(shù)軸方式找出“臨界點(diǎn)”,結(jié)合法則便可以良好地掌握含參數(shù)問(wèn)題.

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