圖說數(shù)學(xué)教育研究方法

【摘要】數(shù)學(xué)教育研究方法是開展數(shù)學(xué)教育研究所采用的途徑和手段，是達到數(shù)學(xué)教育研究目的的重要保障。研究者通過圖說數(shù)學(xué)教育研究的邏輯起點、理論模型、方法分類、“五股化”實證研究、“四析法”思辨研究、“三維坐標系”寫作規(guī)律等問題，幫助中小學(xué)數(shù)學(xué)教師形象、直觀地理解數(shù)學(xué)教育研究方法，提高數(shù)學(xué)教育研究水平。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)教育;研究方法;實證研究;思辨研究

《數(shù)學(xué)寫真集（第1季）——無需語言的證明》一書由許多“無需語言的證明”的圖片組成，書中許多“證明”——圖形令人拍案叫絕，充分顯示了：有什么比用插圖來展現(xiàn)一個個重要的數(shù)學(xué)知識點更好的主意呢？[1]筆者受到啟發(fā)后，想到圖說數(shù)學(xué)教育原理，希望可以借助圖形幫助讀者直觀理解許多復(fù)雜、深奧的數(shù)學(xué)教育原理。本文專門圖說數(shù)學(xué)教育原理中的數(shù)學(xué)教育研究方法。數(shù)學(xué)研究有數(shù)學(xué)方法論，我國著名數(shù)學(xué)家徐利治先生在國內(nèi)較早提倡數(shù)學(xué)方法論，其代表作是《數(shù)學(xué)方法論選講》[2]。相應(yīng)地，數(shù)學(xué)教育研究也有方法論，其已經(jīng)成為高校數(shù)學(xué)教育專業(yè)的一門重要課程，即數(shù)學(xué)教育研究方法（論），甚至有的高校還用“教育研究方法”課程取代傳統(tǒng)的“教育學(xué)原理”課程[3]。所謂數(shù)學(xué)教育研究方法，是指開展數(shù)學(xué)教育研究所采用的途徑和手段，它是達到數(shù)學(xué)教育研究目的的重要保障，通常會在研究過程與成果中體現(xiàn)出來[4]。當(dāng)前，數(shù)學(xué)教育研究方法受到普遍重視，已成為中小學(xué)數(shù)學(xué)教師的學(xué)術(shù)基礎(chǔ)之一[5]。文章從數(shù)學(xué)教育研究的邏輯起點、理論模型、方法分類、“五股化”實證研究、“四析法”思辨研究、“三維坐標系”寫作規(guī)律等方面展開論述。

一、數(shù)學(xué)教育研究的邏輯起點

數(shù)學(xué)教育研究的邏輯起點預(yù)示著數(shù)學(xué)教育研究的目標和方向，制約著數(shù)學(xué)教育學(xué)理論框架的建構(gòu)和學(xué)科體系的定位，也是選擇數(shù)學(xué)教育研究方法的邏輯基礎(chǔ)。

南京師范大學(xué)喻平教授在與其博士生導(dǎo)師單墫教授合作的文章中指出，數(shù)學(xué)教育學(xué)有兩個邏輯起點：一個是教育學(xué)，另一個是數(shù)學(xué)教學(xué)。數(shù)學(xué)教育學(xué)既是對教育學(xué)理論演繹的結(jié)果，也是對數(shù)學(xué)教學(xué)實踐歸納的結(jié)果（如圖1）。將兩者有機結(jié)合，就會形成有理論張力的數(shù)學(xué)教育學(xué)體系[6]。

我國著名數(shù)學(xué)家、計算機科學(xué)家張景中院士則獨辟蹊徑建構(gòu)了數(shù)學(xué)教育研究的邏輯起點：教育數(shù)學(xué)。所謂教育數(shù)學(xué)，就是對數(shù)學(xué)成果進行再創(chuàng)造，使之成為符合教育基本規(guī)律的數(shù)學(xué)經(jīng)典教程。數(shù)學(xué)教育工作者再對經(jīng)典教程進行教學(xué)法加工，使之成為課堂上的數(shù)學(xué)教材（如圖2）。教育數(shù)學(xué)具有數(shù)學(xué)與教育的雙重屬性，它不是原始形態(tài)的數(shù)學(xué)成果，而是服務(wù)教育的數(shù)學(xué)。目前，教育數(shù)學(xué)已發(fā)展成為一個專門的學(xué)科[7]。

以上兩種觀點都與南京大學(xué)鄭毓信教授關(guān)于“數(shù)學(xué)教育的基本矛盾”的論述相吻合：數(shù)學(xué)教育的“數(shù)學(xué)方面”和“教育方面”的辯證統(tǒng)一是數(shù)學(xué)教育的基本矛盾[8]。也就是說，開展數(shù)學(xué)教育研究，要緊扣數(shù)學(xué)與教育兩個維度，不可偏廢。

二、數(shù)學(xué)教育研究的理論模型

數(shù)學(xué)教育研究的結(jié)果往往追求數(shù)學(xué)教育理論的建構(gòu)，具體包括理論的概念界定、模型建立、指標體系等內(nèi)容。其中，模型是理論最直觀的刻畫、最凝練的表達。

華東師范大學(xué)鮑建生教授將模型建立的常用方法分為水平模型、過程模型、分類模型、因素模型等（如圖3）。揚州大學(xué)李新老師以核心素養(yǎng)的結(jié)構(gòu)模型為例，介紹了教育理論模型的四種類型：層級并列型、整體交互型、系統(tǒng)立體型、同心輻射型[9]。這些研究都值得大家借鑒。

筆者對30多個常用數(shù)學(xué)教育理論模型進行分析，將理論模型建立的常用方法細分為樹形圖、韋恩圖、流程圖、雷達圖、幾何體、坐標系、對稱圖等，并給出了相應(yīng)的案例描述[10]。研究者應(yīng)根據(jù)具體的邏輯關(guān)系選擇合適的模型來建構(gòu)理論，以增強理論的傳播力與應(yīng)用性。

三、數(shù)學(xué)教育研究的方法分類

數(shù)學(xué)教育研究方法的發(fā)展水平是數(shù)學(xué)教育學(xué)科發(fā)展水平的重要標志，制約中國數(shù)學(xué)教育科學(xué)發(fā)展的一個重要因素就是其研究方法不“銳利”。

華東師范大學(xué)牛偉強博士等研究者梳理了數(shù)學(xué)教育的研究方法及其分類[11]，筆者將其用圖4表示?？偟膩砜矗瑪?shù)學(xué)教育研究方法分為兩大類：思辨研究與實證研究。思辨研究主要解決“應(yīng)然”問題，注重概念、理論與觀點等內(nèi)容的構(gòu)建，通過邏輯推理來回答概念性、規(guī)范性的問題;而實證研究主要關(guān)注“實然”問題，基于收集與分析數(shù)據(jù)信息得出研究結(jié)果[12]。以上兩類方法又可細分為若干方法：思辨研究包括理論思辨、文獻研究、歷史研究、經(jīng)驗總結(jié)等;實證研究包括統(tǒng)計調(diào)查、內(nèi)容分析、實驗研究、敘事研究、個案研究、行動研究、田野調(diào)查等。其中，統(tǒng)計調(diào)查、內(nèi)容分析、實驗研究也叫量化研究;敘事研究、個案研究、行動研究、田野調(diào)查也叫質(zhì)性研究。

這些方法對中小學(xué)教師而言確實有點多，有的方法還需用到一定的統(tǒng)計學(xué)知識與數(shù)據(jù)分析軟件，不易掌握。鮑建生教授對此給出的建議是：這些方法并不需要高深的理論知識，用幾次就熟悉了[13]，即在用中學(xué)。而且各個研究方法本身沒有優(yōu)劣之分，只有適合與否，正如北京師范大學(xué)曹一鳴教授所言，要從問題出發(fā)，選擇最合適的研究方法進行研究方法的總體設(shè)計，即“問題為先、方法從之”[14]。

長期以來，在傳統(tǒng)的思辨研究范式主導(dǎo)下，理論研究常常具有較大的爭議性、不確定性。近年來，隨著對科學(xué)化、規(guī)范化研究方法的不斷探索，數(shù)學(xué)教育研究逐漸擺脫思辨研究的束縛，開展了實證研究新范式。總的來說，數(shù)學(xué)教育研究方法的發(fā)展趨勢是由定性研究、思辨研究向量的研究、質(zhì)的研究發(fā)展，以及由單一的、孤立的研究方法向多種研究方法相結(jié)合的發(fā)展[15]。

數(shù)學(xué)教育研究方法是與時俱進、逐步拓展的，比如鮑建生教授提倡數(shù)學(xué)教育設(shè)計研究。國際上的設(shè)計研究興起于20世紀90年代，21世紀初國內(nèi)教育技術(shù)研究者開始關(guān)注設(shè)計研究，后來逐步引入教育研究領(lǐng)域。數(shù)學(xué)教育領(lǐng)域的設(shè)計研究包括設(shè)計、實施、反思三個循環(huán)迭代的階段（如圖5）。不難看出，設(shè)計研究注重過程中的方案反思與修正，而常規(guī)的研究方法總是采用固定的程序完成既定的研究。而且常規(guī)的研究方法是要通過系統(tǒng)地改變學(xué)習(xí)狀況來檢驗事先提出的假設(shè)，設(shè)計研究的目標則是考查在什么狀況下導(dǎo)致了不同的效果[16]。

四、“五股化”實證研究

實證研究一般包括以下五個步驟：（1）選取有價值且尚未解決的問題開展研究;（2）開展較為完備的文獻綜述;（3）設(shè)計研究方法并論證可行性;（4）充分收集實證數(shù)據(jù)、材料并進行統(tǒng)計分析;（5）依據(jù)有關(guān)理論表述研究結(jié)果。[17]我國著名數(shù)學(xué)教育家張奠宙先生用“五股化”形容這種模式固化的實證研究，這非常貼切，我們用圖6直觀表示“五股化”實證研究。

張奠宙先生指出，數(shù)學(xué)教育博士論文必須下功夫做“五股化”的實證研究，與國際研究規(guī)范接軌。當(dāng)然數(shù)學(xué)教育研究還面臨著許多規(guī)律尚不明晰卻又不得不進行研究的問題，這時只好借助經(jīng)驗和思辨加以解決。實證研究好比西醫(yī)，思辨研究好比中醫(yī)，兩者都需要，兩者可以互補[17]。也就是說，教育研究方法不能搞非此即彼的二元對立，避免只懂方法不懂方法論。鑒于實證研究的技術(shù)性要求較高，建議有條件的教師可以專門閱讀實證研究的書籍或參加系統(tǒng)培訓(xùn)。

五、“四析法”思辨研究

根據(jù)中小學(xué)數(shù)學(xué)教師做研究的客觀需求與教學(xué)任務(wù)繁重的實際情況，筆者給出一個簡單實用的數(shù)學(xué)教育研究方法——“四析法”思辨研究，具體包括以下四個步驟：（1）縱向視角的歷史尋析;（2）橫向視角的路徑探析;（3）內(nèi)向視角的意蘊解析;（4）整體視角的辯證分析。[18]

縱向視角的歷史尋析，是對問題已有的研究按時間順序進行梳理分析，即考察問題的古往今來;橫向視角的路徑探析，是對問題已有的研究路徑進行橫向比較分析，做好中外互鑒;內(nèi)向視角的意蘊解析，是對問題的本質(zhì)、特征、方法、意義等內(nèi)生因素進行有邏輯的思考解析，提出內(nèi)容深刻、形式美觀的理論或主張，做到內(nèi)外兼修;整體視角的辯證分析，是對問題已有的研究（包括自己的研究）進行整體客觀評價，做好正反兩方面的分析，并提出展望。

“四析法”思辨研究融合了思辨研究與實證研究的優(yōu)點，且便于操作，適合中小學(xué)數(shù)學(xué)教師開展數(shù)學(xué)教育研究?！八奈龇ā彼急嫜芯靠捎萌鐖D7所示的魚骨模型來表示。

六、“三維坐標系”寫作規(guī)律

數(shù)學(xué)教育論文是數(shù)學(xué)教育研究（過程和結(jié)果）的常見表現(xiàn)形式，為此筆者談?wù)剶?shù)學(xué)教育論文的寫作規(guī)律?！芭d趣驅(qū)動、能力支撐、方法引領(lǐng)”構(gòu)成中小學(xué)數(shù)學(xué)教育論文的“三維坐標系”寫作規(guī)律（如圖8）。具體來說，開展中小學(xué)數(shù)學(xué)教育論文的寫作，最核心的動力是興趣驅(qū)動，最基本的能力是普遍聯(lián)系與辯證分析，最根本的方法是分類整合[19]。

開展數(shù)學(xué)教育論文寫作的動力來自許多方面，有可能是指導(dǎo)教學(xué)實踐的需要，也有可能是發(fā)展教育理論的需要，抑或是人事考核的要求，但最核心、最持久的動力一定是研究者自身的興趣，即對數(shù)學(xué)教育研究的摯愛與奉獻精神。

除了興趣驅(qū)動，支撐數(shù)學(xué)教育論文的寫作還需要兩種基本的能力：一是普遍聯(lián)系的能力，二是辯證分析的能力。普遍聯(lián)系是唯物辯證法的基本觀點。任何事物都不是孤立存在的，它總是和外界事物有著千絲萬縷的聯(lián)系。事物的聯(lián)系具有普遍性和多樣性。分析一個問題時，要注意其與其他相關(guān)問題的聯(lián)系。比如，2016年，我國教育領(lǐng)域興起核心素養(yǎng)的研究，筆者隨即將“數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)”與之前的“數(shù)學(xué)素養(yǎng)”“數(shù)學(xué)核心詞”聯(lián)系起來，開展文獻研究，梳理“數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)”發(fā)展脈絡(luò)，寫成文章《我國數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)研究進展——從數(shù)學(xué)素養(yǎng)到數(shù)學(xué)核心詞再到數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)》[20]，目前該文已被其他文章引用130多次（來自中國知網(wǎng)的2022年1月6日的數(shù)據(jù)）。再比如，看似毫不相關(guān)的兩個問題，即如圖9的面積魔術(shù)（曾出現(xiàn)在高中數(shù)學(xué)教材[21]及《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準（2011年版）》[22]當(dāng)中）與對數(shù)比較大小：log53，log85，log138（2020年高考全國Ⅲ卷理科數(shù)學(xué)試題），竟然都是關(guān)乎斐波那契數(shù)列性質(zhì)的問題。

辯證分析強調(diào)用全面、聯(lián)系、發(fā)展的觀點看問題，反對用片面、孤立、靜止地觀點看問題。因此，較強的辯證分析能力，將有助于我們深刻認識數(shù)學(xué)教育問題，高質(zhì)量地開展數(shù)學(xué)教育論文寫作。但具體到數(shù)學(xué)教育論文的寫作環(huán)節(jié)，還需要寫作方法的引領(lǐng)，即分類整合。分類就是先找到不同研究觀點的“同類項”;整合就是將“同類項”進行合并，提煉共性、挖掘規(guī)律。正所謂分類見重點、整合見規(guī)律[19]。

綜上所述，本文介紹的數(shù)學(xué)教育研究方法，其實每位數(shù)學(xué)教育研究者都在有意或無意、或多或少地使用，但研究質(zhì)量卻因研究方法的不同而千差萬別。北宋詩人蘇轍曾說“無以待之，則十百而亂;有以待之，則千萬若一”，講的正是研究方法的重要性。系統(tǒng)了解和理解數(shù)學(xué)教育研究方法的分類、適用對象、基本步驟，不僅能幫助我們解決數(shù)學(xué)教育研究中的“怎么辦”問題，還能提升我們駕馭數(shù)學(xué)教育研究任務(wù)、工具、路徑的能力。期待中小學(xué)數(shù)學(xué)教師能夠靈活選用數(shù)學(xué)教育研究方法，提高自己的數(shù)學(xué)教育研究水平，形成自己的數(shù)學(xué)教育研究方法論。

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