巧用最大公因數(shù)與最小公倍數(shù)解決小學相關問題的探索

張恩厚

關鍵詞：最大公因數(shù);最小公倍數(shù);應用

最大公因數(shù)與最小公倍數(shù)是小學數(shù)學中的重要概念之一，是繼整除概念之后的重要內容，也是后續(xù)學習分數(shù)運算的必備基礎，更有許多實際問題與之相關，但應用其解決問題卻是一個難點，特別在一些應用題中看似與之無關，仿佛要用更高或更深的知識解決的問題，其實可以巧用最大公因數(shù)或最小公倍數(shù)在算術范圍內就可以解決，因為問題本質上就是公因數(shù)或者公倍數(shù)的問題。

一、巧用最大公因數(shù)解決相關問題

設個整數(shù)，若d是這n個數(shù)中每一個數(shù)的因數(shù)，則d就叫做這n個數(shù)的一個公因數(shù)，這些公因數(shù)中的最大的一個叫做最大公因數(shù)，記作 [1]。

1.求公因數(shù)的問題

由于幾個數(shù)的公因數(shù)是其最大公因數(shù)的因數(shù)，因此，求幾個數(shù)的公因數(shù)就可以先求出這幾個數(shù)的最大公因數(shù)，然后再寫出該最大公因數(shù)的所有因數(shù)即可。此時可由質因數(shù)分解法或者短除法亦或輾轉相除法求出最大公因數(shù)。例如求60和24的公因數(shù)，可由得，而，故60與24的公因數(shù)有1，2，3，4，6，12。

例1. 某公司某產品單價超過1元，去年銷售總額為36963元，今年單價沒變，銷售總額為59570，求去年和今年這種產品各銷售多少件。

分析：單價沒變，那么產品單價就應該是兩年銷售額的公因數(shù)，因此只需求出兩年銷售額的最大公因數(shù)就能解決問題。

解 單價是（36963，59570）=37，因37是質數(shù)，故37大于1的因數(shù)只有37，因此單價為37元，故去年銷售出：），今年銷售出：）。

2.容器分裝的問題：在很多容器分裝的問題中，往往可以通過巧用最大公因數(shù)來解決，并且在解決問題的同時也加深了對最大公因數(shù)概念的進一步認識。

例2. 小明只有一個27升和一個15升的桶，但他現(xiàn)在需要從池子里舀出6升水，他要怎么利用手里這兩只桶完成任務呢？

解：顯然（27，15）=3， ，，那么，而，因此，小明只需要用15升的桶裝滿后再倒入27升的桶里，每次27升的桶裝滿后就把水倒掉，這樣當27升的水桶第二次裝滿水時，15升桶里剩下的水就剛好是6升。這個問題的數(shù)學本質是要找到兩個整數(shù)使之分別與27和15相乘后的代數(shù)和等于6，而由裴蜀恒等式[2]可知一定可以找到兩個整數(shù)分別與27和15相乘后等于（27，15），而6=2（27，15），此類問題得解。

3.優(yōu)化問題：在有些既要均等又要最大化的問題里，往往就是一個需要利用最大公因數(shù)解決的問題。

例3. 把一塊長240公分，寬140公分的長方形薄片，截成大小相同的正方形薄片，正方形的邊長最長可以為多少公分？總共可以截成這樣的正方形多少個？

分析：顯然，正方形的邊長必須同時能整除240和140，也就是邊長為240和140的公因數(shù)，又要正方形最大，那么正方形邊長當然是取公因數(shù)中最大者即最大公因數(shù)。

解：由題意得 （240，140）=20（公分），（個），因此，最大正方形鐵片的邊長為20公分，總共可以截成84個這樣大的正方形。

4.猜數(shù)問題：有些猜數(shù)問題看似與最大公因數(shù)無關，其實可以巧用最大公因數(shù)解決。

例4. 猜一個整數(shù)a，用a去除47、61、75這三個數(shù)都余5，這個a是多少？

分析：既然都余5，那么這三個數(shù)都減去5以后就應該能被a整除，亦即a就應該是減去5以后的三個數(shù)的公因數(shù)，而且因為余數(shù)只能小于除數(shù)，所以這個公因數(shù)應該是最大公因數(shù)。

解 根據(jù)題意a是（47-5）、（61-5）、（75-5）的最大公因數(shù)，而（47-5，61-5，75-5）=（42，56，70）=7，故所求數(shù)a=7

二、巧用最小公倍數(shù)解決相關問題

設個整數(shù)，若d是這n個數(shù)的倍數(shù)，則d就叫做這n個數(shù)的一個公倍數(shù)，又這一切公倍數(shù)中的最小正數(shù)叫做最小公倍數(shù)，記作 [1]。

1.相遇問題

我國農歷是以十個天干和十二個地支配對紀年，因為[10，12]=60，故60年為一個甲子，這其實就是每60年天干中的甲就會與地支中的子相遇。這一類相遇問題很多，仔細分析都涉及最小公倍數(shù)問題。

例5. 甲、乙、丙三個小朋友圍著操場跑步，甲6分鐘跑完一圈，乙8分鐘跑完一圈，丙要10分鐘才能跑完一圈，當三人同時從起跑線出發(fā)，三人同時相遇最少需要多少分鐘？

分析：要相遇，時間必然是三人各自跑一圈用時的公倍數(shù)。

解：甲乙丙相遇所需最少時間為：[6，8，10]=120（分鐘）故，最少要120分鐘三人才會再同時相遇。

可巧用最小公倍數(shù)解決的相遇問題還有很多，例如調度問題，不同齒數(shù)的齒輪嚙合轉動的問題等，都可歸屬周期性的相遇問題。

2.求人數(shù)的問題

例6. 某班訂了一批體育器材，每人訂了1個小皮球，每2人訂了一根跳繩，每3人訂了一個呼啦圈，總共正好訂了55件體育器材，請問該班有多少個學生？

分析：既然總的剛好訂了55件，那么人數(shù)就應該既是2的倍數(shù)又是3的倍數(shù)，當然是1的倍數(shù)，因此此問題與公倍數(shù)相關。

解 由于人數(shù)是1、2、3的倍數(shù)，而[1，2，3]=6，每6人組共訂器材為：（件），由，故該班人數(shù)為）。

例7. 某器件加工共有三道工序，第一道工序每人每小時可完成3件，第二道工序每人每小時可完成12件，第三道工序每人每小時可完成5件，請問三道工序應該分別分配幾個工人才能均衡作業(yè)？

分析：要做到均衡作業(yè)，就必須在相同的時間內三道工序完成相同的件數(shù)才行，也就是要先求出12、5、3的最小公倍數(shù)，然后才能確定每道工序該配備多少工人。

解 因[12，5，3]=60，故在相同的時間內完成60件的話，第一道工序需要：），第二道工序需要：），第三道工序需要：），此類問題的本質就是最小公倍數(shù)的問題。

3.猜年齡的問題

猜年齡的問題比較多，很多都可巧用最小公倍數(shù)求解。

例8. 爺爺對小明說：“我現(xiàn)在的年齡是你的7倍，過幾年是你的6倍，再過若干年就分別是你的5倍、4倍、3倍、2倍?！闭垎枲敔敽托∶鳜F(xiàn)在的年齡是多少？

分析：注意此問題中的變量與不變量，不變的是兩人的年齡差，因此兩人的年齡差就分別是6、5、4、3、2、1的倍數(shù)，故只需求出這6個數(shù)的公倍數(shù)，然后根據(jù)實際情況就可確定兩人的年齡。

解：由于兩人年齡差不變，故由題設可先求

[（7-1），（6-1），（5-1），（4-1），（3-1），（2-1）]=[6，5，4，3，2，1]=60

兩人年齡差是60的倍數(shù)，根據(jù)實際情況，可判斷出爺爺現(xiàn)在的年齡是70歲，小明的年齡是10歲。

由于公倍數(shù)是最小公倍數(shù)的倍數(shù)，故在需要求公倍數(shù)時只需先求出最小公倍數(shù)即可。

4.簡單的同余問題

有一類簡單的同余問題，稍作變換后可巧用最小公倍數(shù)解決，例如著名的孫子問題：有一個數(shù)除以3余2，除以5余3，除以7余2，這個數(shù)最小是多少？這個問題其實可以巧用最小公倍數(shù)解決，一個數(shù)除以3和7都余2，那么這個數(shù)一定比3和7的最小公倍數(shù)大2，即，而23這個數(shù)恰好除以5余3.利用公倍數(shù)是最小公倍數(shù)的倍數(shù)，可以解決類似的稍難一點的問題。例如，求一個除以3余2、除以5余3、除以7余4的最小正數(shù)。分析：首先，從除以3余2的數(shù)中找到除以5余3的數(shù)，然后再將上一步找出的數(shù)逐次加上3和5的最小公倍數(shù)15，從中去找到除以7余4的數(shù)即可。

5.涉分數(shù)相關的問題

涉分數(shù)的問題往往比較難也比較復雜。此類問題不僅要發(fā)現(xiàn)其與公倍數(shù)的聯(lián)系，還必須充分理解分數(shù)的含義，才能找到問題的解決方案。

例9. 全校有一千多名運動員參賽，其中參加球類比賽人數(shù)占1/3，參加田賽人數(shù)占2/7，參加泳賽人數(shù)占1/5，剩余的參加其它項目比賽，比賽結果，參加球賽的有1/6的運動員獲獎，參加田賽的有1/8的運動員獲獎，參加泳賽的有1/12的運動員獲獎，請問共有多少名運動員？

解：參加球類比賽獲獎的占全體運動員的，參加田賽獲獎的占全體運動員的，參加泳賽獲獎的占全體運動員的，因此，參賽運動員總數(shù)應該是18、28、60的倍數(shù)，而[18，28，60]=1260，故運動員總數(shù)應是1260的倍數(shù)，但題設只有一千多人，所以全?？偣灿?260名運動員。

此類與分數(shù)相關的問題，能否用最小公倍數(shù)解決，取決于個體的不可分性。

還有更加復雜的涉分數(shù)的問題，需要用最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)來求分數(shù)的最小公倍數(shù)，這在小學較難理解。

例10. 袋鼠和羚羊進行跳躍比賽，袋鼠每次跳米，羚羊每次跳米，它們每秒都只跳一次，賽道從起點開始，每隔米設有一個陷阱，請問它倆誰先掉進陷阱？當它掉進陷阱時另一個跳了多少米？

分析：它們第一次掉進陷阱時都應該是它們的速度與井距的最小公倍數(shù)。

解 袋鼠第一次掉進陷阱時距離起點為

（米），此時袋鼠跳了（次），

同理，羚羊第一次掉進陷阱時距離起點為，（米），此時羚羊跳了（次），所以，第一個掉進陷阱的是袋鼠，此時羚羊跳了（米）。

兩個數(shù)的最大公因數(shù)與最小公倍數(shù)是解決關于公因數(shù)和公倍數(shù)的根本，而且二者的乘積就是這兩個數(shù)的乘積。

綜上所述，很多與整除相關的問題，或與周期性相關的問題，其本質往往都涉及到公因數(shù)和公倍數(shù)，因而善于巧用最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)的理論解決問題，是為算術方法解決問題的良策。

參考文獻

[1] 閔嗣鶴 嚴士健編.初等數(shù)論（第三版）.北京：高等教育出版社，2003

[2] 單墫主編.初等數(shù)論.南京：南京大學出版社，2000