呂時英

摘要：隨著時代的發(fā)展，教學(xué)資源日益豐富，如教材、參考資料、多媒體、工具書等顯性資源深得師生的關(guān)注.但還有一種珍貴的隱性課程資源常被忽略，那就是知識的背景、文化元素、生成元素等，充分利用這些隱性資源可拓展學(xué)生的思維，幫助學(xué)生獲得良好的數(shù)學(xué)思想，為核心素養(yǎng)的形成奠定基礎(chǔ).

關(guān)鍵詞：隱性課程資源；特點；知識背景

新課標對課程資源有著明確的定義，這個定義僅局限于課程的顯性層面，如文本資源、多媒體、社會資源、生成性資源或環(huán)境與工具等，而對于數(shù)學(xué)課程的隱性資源卻沒有明確的定義或描述，如我們常接觸的文化元素、邏輯元素、生成元素等.這些隱性資源在我們?nèi)粘５慕虒W(xué)實施過程中，卻客觀、真實地存在.為此，筆者作了一定的探索，以期與同行交流.

1 隱性課程資源的發(fā)展與特點

美國教育學(xué)家杜威早在《經(jīng)驗與教育》中就提到過“連帶學(xué)習(xí)”，提出學(xué)習(xí)者在學(xué)習(xí)中會不由自主地產(chǎn)生一種情感態(tài)度與價值觀.隨后，杰克遜（P.W.Jackson）在他的《班級生活》中首次提出“隱性課程”一詞.之后，我國在《教育大辭典》中對此給出明確定義：隱性課程資源是指在課程計劃及學(xué)校政策中沒有明文規(guī)定，而又真實存在的非正式或無意識的教學(xué)資源，它與“顯性資源”呈相對的關(guān)系.

隱性課程資源的主要特點：①具有普遍性、持久性與彌漫性；②對教學(xué)會產(chǎn)生積極或消極影響；③對學(xué)生會產(chǎn)生有意識與無意識的辯證統(tǒng)一性影響；④對課程會產(chǎn)生學(xué)術(shù)性與非學(xué)術(shù)性辯證統(tǒng)一性影響；⑤實現(xiàn)課堂可預(yù)期與不可預(yù)期的統(tǒng)一；⑥這種資源廣泛地存在于家庭、學(xué)校與社會中.

從這些特點來看，我們在課堂教學(xué)實施過程中，除了要運用好顯性課程資源之外，還要注意優(yōu)化學(xué)生的學(xué)習(xí)與生活環(huán)境，重視學(xué)生學(xué)習(xí)過程中的心理狀態(tài)，充分利用好這些隱性課程資源，完善學(xué)生的思維品質(zhì)與人格，為發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng)奠定基礎(chǔ).

2 隱性課程資源的開發(fā)與利用

2.1 依托知識背景，形成數(shù)學(xué)眼光

數(shù)學(xué)知識的形成，都是源自現(xiàn)實生活中事物的抽象，每個知識背后都有龐大的生活作為形成背景，這些生活背景則構(gòu)成了良好的隱性課程資源.數(shù)學(xué)源于生活，而又應(yīng)用于生活的特點，決定了教育者應(yīng)充分挖掘和利用好這些資源，讓學(xué)生學(xué)會用發(fā)展的眼光看待自己的生活與整個世界，實現(xiàn)數(shù)學(xué)問題與生活問題的靈活轉(zhuǎn)化.

例1如圖1，一輛汽車前后兩個輪胎的圓心連線，恰好是該車底盤所在的直線，已知該車前后兩輪胎的半徑都是60 cm，圓心距PQ為260 cm，前輪的圓心為點P，它與底盤最前端點M相距80 cm，若該車準備駛過一個高80 cm的臺階（OA）.

（1）如圖2，想確保汽車前輪順利通過臺階，可建斜坡AB，則該坡角α最大可設(shè)置多少度？

（2）在（1）的基礎(chǔ)上，不考慮車尾，該車是否可以順利通過？

這是很多人在生活中都會遇到的問題，學(xué)生對這個場景有著深刻體驗.要讓初中階段的學(xué)生將這個具體的生活問題直接轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題并順利解決，的確存在一定的難度.而生活問題又是隱性課程資源的重要來源之一，因此教師在這方面應(yīng)多加引導(dǎo)，幫助學(xué)生一起將鮮活的生活實例抽象、提煉成課堂中的數(shù)學(xué)知識.如此不僅能有效地提升學(xué)生的轉(zhuǎn)化思想，還能培養(yǎng)學(xué)生用發(fā)展的眼光看待這個美妙的大千世界.

2.2 領(lǐng)悟知識文化，獲得數(shù)學(xué)思想

我們都有這樣的體會：所學(xué)知識若一直沒機會使用，時間久了就會生疏、遺忘，但學(xué)習(xí)過程中形成的數(shù)學(xué)思維、推理方法、研究模式以及看待問題的眼光等，卻不會因為時間的推移而發(fā)生變化，它就像根植于我們大腦中一樣，永不褪色.因此，數(shù)學(xué)教學(xué)不僅僅是知識的傳授，更重要的是能力、思想方法的培養(yǎng)，這才是促進一個人形成終身可持續(xù)性發(fā)展的保障.

初中階段接觸到的數(shù)學(xué)思想比較多，分別有化歸、函數(shù)、方程、整體、分類討論、數(shù)形結(jié)合以及猜想論證等.其中，最基本且中學(xué)生接觸最多的是數(shù)形結(jié)合思想.代數(shù)與幾何是構(gòu)成初中數(shù)學(xué)的兩個模塊，教學(xué)中將抽象的數(shù)與直觀的形有機結(jié)合于一體，可幫助學(xué)生建構(gòu)更為完善的認知體系.數(shù)學(xué)文化體現(xiàn)了知識的形成與發(fā)展過程，它是學(xué)生形成良好數(shù)學(xué)思想的催化劑.

例2如圖3，拋物線y=12x2+bx－2與x軸相交于點A，B，與y軸相交于點C，已知A（－1，0）.

（1）寫出該拋物線的解析式與頂點D的坐標；

（2）猜想△ABC的形狀，并證明；

（3）若點M（m，0）為x軸上的動點，當CM+MD的值最小時，求m的值.

這是一道綜合性較強的題目，學(xué)生乍眼看到此題都覺得難度很大.其實，本題隱含著一個重要的解題資源，即“將軍飲馬”.若朝這個方向去思考，本題倒也沒有想象中的那么難.

分析：（1）先將點A的坐標代入解析式，求出b值，可得拋物線的解析式；再用配方法獲得頂點D的坐標.

（2）利用勾股定理的逆定理可證得△ABC為一個直角三角形.即先由拋物線的解析式獲得點B和點C的坐標，以此推算出AB，BC，AC的長度，可得AB2=AC2+BC2，由此可證.

（3）以x軸為對稱軸，作點C的對稱點C′，連接DC′并與x軸相交于點M，依照“兩點之間，線段最短”，可知CM+DM的值最小.只要求出直線DC′的解析式，即可求得點M的坐標，此時m的值也就自然揭曉了.

一道看似復(fù)雜的綜合題，挖掘出其中隱含的資源（將軍飲馬），問題則迎刃而解.這是典型的數(shù)學(xué)文化對數(shù)學(xué)解題產(chǎn)生的深遠影響.歷史上，經(jīng)典的將軍飲馬問題不僅促進了數(shù)學(xué)史的發(fā)展，還讓學(xué)習(xí)者從中獲得相應(yīng)的數(shù)學(xué)思想，這種數(shù)學(xué)思想為解決各種問題提供了幫助.

2.3 感受知識形成，拓展數(shù)學(xué)思維

知識的形成需經(jīng)歷一個過程，此過程中會涉及到例題拓展、變式訓(xùn)練以及錯題訓(xùn)練等，這些都是課堂重要的生成性資源，也是典型的隱性課程資源.只要教師做個“有心人”，注重知識的挖掘，即可讓這些過程性資源成為良好的教育資源，為數(shù)學(xué)思維的拓展奠定基礎(chǔ).

例3已知點M為正方形ABCD的BC邊上任意點（不含B，C），點P為BC延長線上的點，點N為∠PCD角平分線上的點.如果∠NMA為直角，求證：MA=MN.

教師引導(dǎo)學(xué)生進行證明：如圖4，在AB邊上截取EA=MC，連結(jié)EM.根據(jù)題設(shè)條件可知∠BCD=∠B=90°，AB=CB，則∠CMN=180°-∠AMN－∠BMA=180°-∠B-∠BMA=∠MAB=∠MAE.

到此步，接下來的證明并不困難，教師鼓勵學(xué)生自主完成.在學(xué)生順利解題后，為了拓展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，要求學(xué)生以此題為母胎，自主編制變式問題.學(xué)生提出：

變式1如圖5，將原來的四邊形改為“正△ABC”，點N為∠PCA的角平分線上的一點，當∠NMA=60°時，MA=MN的結(jié)論成立嗎？為什么？

該生話音剛落，就有學(xué)生提出新的問題.此時，課堂探究氣氛尤為濃厚，整個課堂處于研討的高潮階段，新的課程資源也由此生成.

變式2如果將原題中的正方形改為“正n邊形ABCDE……”，當∠NMA為多少度時，MA=MN的結(jié)論依然成立嗎？

變式訓(xùn)練的應(yīng)用隨著新課改的推進，越來越受到廣大師生的關(guān)注，它對課堂生成性資源的積累與創(chuàng)設(shè)具有重要影響，這不僅是一種知識的拓展，還體現(xiàn)了思維的靈活性.學(xué)生先從表層創(chuàng)設(shè)生成，由表及里，再從解決問題的策略上進行化歸.學(xué)生在豐富的變式構(gòu)建中拓寬視野、優(yōu)化思維，為創(chuàng)新能力的形成奠定基礎(chǔ).

總之，隱性課程資源存在于課堂的每個角落，作為教師應(yīng)意識到它的重要性，從它的特點出發(fā)，結(jié)合新課標的要求，營造良好的課堂氛圍，讓學(xué)生在數(shù)學(xué)知識的背景中，形成良好的思維品質(zhì)與世界觀，在充滿文化底蘊的數(shù)學(xué)史中，獲得良好的數(shù)學(xué)思想.