摘要： 本文中結(jié)合“平面向量數(shù)量積的坐標表示”的教學實踐，給出了五個主要教學環(huán)節(jié)的教學設(shè)計及其分析，最后從“三個理解”和數(shù)學核心素養(yǎng)的角度對教學設(shè)計及教學實踐進行總結(jié)和反思.

關(guān)鍵詞：三個理解;數(shù)學核心素養(yǎng);數(shù)量積坐標表示;問題驅(qū)動;變式訓練;案例分析

1 引言

辛丑孟春三月，市教研室專家馮斌一行來我校指導教學工作，學校安排筆者執(zhí)教調(diào)研課“平面向量基本定理及坐標表示”. 本節(jié)課良好的教學效果給專家、教師留下了較為深刻的印象，現(xiàn)將這節(jié)課的課堂實錄與教學感悟整理成文，與同行共饗.

2? 教學過程簡錄

2.1 復習回顧，推陳出新

師：同學們，我們先回顧一下上節(jié)課的內(nèi)容，請大家完成表格（表1）.

師：大家要注意兩點.一是i，j的長度均為1，而且是垂直正交關(guān)系;二是終點減去起點的向量坐標和向量減法的區(qū)別.請問我們一共學習了幾種向量運算？

生1：兩類四種，分別是加法、減法、數(shù)乘三種線性運算和數(shù)量積運算.

師：向量的加法、減法、數(shù)乘都有了坐標表示，很自然地要問，數(shù)量積有嗎？

設(shè)計意圖：孔子曰：“溫故而知新，可以為師矣.”由于數(shù)學學科的知識邏輯性、規(guī)律性較強，教材的編排又是按由淺入深，由易到難的原則編寫的，因此很多新知識都是建立在舊知識的基礎(chǔ)上的.先復習與本節(jié)課有聯(lián)系的坐標及加減、數(shù)乘的坐標表示等舊知，再由舊知引出數(shù)量積的坐標表示，水到渠成不突兀，順理成章很自然，而且有前面知識作為遷移，有利于學生更快地接受數(shù)量積的坐標表示，加強了新舊知識間的聯(lián)系，同時也使得整節(jié)課結(jié)構(gòu)緊密.這里還強調(diào)i，j的模長、垂直關(guān)系，以及兩種減法的區(qū)別等學生易混淆的知識點，為本節(jié)課內(nèi)容的有序展開打下基礎(chǔ)，做好鋪墊.

2.2 示范引領(lǐng)，探究發(fā)現(xiàn)

師：平面向量的數(shù)量積能否用坐標表示？

問題1已知a=x1，y1，b=x2，y2，怎樣用a與b的坐標表示a·b呢？

問題2我們給出的結(jié)果是符號語言，你能用文字語言表述此結(jié)論嗎？

設(shè)計意圖：教材中直接讓學生探求兩個向量的數(shù)量積與這兩個向量的坐標的關(guān)系，學生不容易想到用i，j表示a，b.因此，在問題1下方補充向量a的坐標表示的示意圖（如圖1），一來為學生的困難之處指明方向，二來也體現(xiàn)向量集數(shù)形于一身，既有代數(shù)的抽象性又有幾何的直觀性，用它研究問題時可以實現(xiàn)形象思維與抽象思維的有機結(jié)合的特點.《述而》云：“不憤不啟，不悱不發(fā).”先引導學生主動探究，嘗試推導平面向量數(shù)量積的坐標表示形式，體會知識的形成過程.接著， 針對問題1解決的關(guān)鍵——運用數(shù)量積的運算律計算a·b=x1i+y1j·x2i+y2j（*），以及i·i=1，j·j=1，i·j=0，點撥學生突破難點.在學生的參與下板書推導過程， 師生共同分享成果， 從而形成知識的自主建構(gòu)，達到新知識的自然過渡.問題2旨在培養(yǎng)學生數(shù)學語言轉(zhuǎn)化能力，由符號語言轉(zhuǎn)化為文字語言，強調(diào)“對應”兩個字，幫助學生加深對公式的記憶.

2.3 問題驅(qū)動，交流討論

師：我們已經(jīng)得到平面向量數(shù)量積的坐標表示，請同學們先獨立思考，然后分小組討論，完成以下4個問題后再交流結(jié)果.

問題3若a=x，y，你能根據(jù)所學知識推導出a的長度嗎？

問題4若表示向量a的有向線段的起點和終點的坐標分別為x1，y1，x2，y2，則a=??????? ，a=??????? .

問題5已知a=x1，y1，b=x2，y2，怎樣用向量

a，b的坐標表示兩個向量垂直的條件？

問題6已知a=x1，y1，b=x2，y2，怎樣用向量的坐標表示這兩個平面向量夾角的余弦值？

追問：從邏輯關(guān)系上講，x1x2+y1y2=0是a⊥b的什么條件？

在學生交流討論的過程中，教師巡視指導，觀察發(fā)現(xiàn)他們書寫所暴露出來的問題，如向量箭頭未加、a·b點乘符號遺漏、求模長未開根號等，并及時針對這些細節(jié)強調(diào)說明，分別就四個問題請四位同學回答，教師補充完善.

設(shè)計意圖：學生學習知識、掌握技能以及獲取信息固然重要，但更重要的是要“學會思考”“學會學習”，懂得如何掌握與運用知識、技能和信息，在“學會”中達到“會學”.因此，教師在課堂教學中要為學生搭設(shè)合理的平臺和“腳手架”，指導學生攀爬探索，從而真正成為為學生開啟知識大門的引路人.數(shù)學教學過程是數(shù)學活動的過程，也是數(shù)學思維活動的過程.讓學生“動起來”是產(chǎn)生數(shù)學思維活動的關(guān)鍵，而學生活動的驅(qū)動力就來源于問題.此環(huán)節(jié)中筆者采用問題串的形式展開教學，圍繞著平面向量數(shù)量積的坐標表示設(shè)計了4個具有一定思維價值的問題組成問題串，以問題為載體呈現(xiàn)并作為任務(wù)驅(qū)動，學生在分析問題、探究問題和解決問題的過程中發(fā)現(xiàn)、吸收、應用數(shù)量積的坐標表示新知識，使教學變“告訴”為“探索”，實現(xiàn)數(shù)學知識的“自然生成”.

2.4 深入探索，實踐應用

例1已知向量a=2，-1，b=1，-1.

（1）a·b=??????? ;

（2）向量a與b的夾角的余弦值等于 ;

（3）a+2b·a-3b=????? ;

（4）3a+b=????? ;

（5）若向量a+λb與a垂直，則λ= .

設(shè)計意圖：此例為筆者自擬.北師大鐘善基先生把數(shù)學題目按其作用分為七類，其中兩類分別為“單純?yōu)槭箤W生熟悉新學到的公式、法則、作圖法的使用對象和使用條件以及運用技能的題目”“新舊知識結(jié)合運用的計算題和作圖題”.本題前兩問就屬于前一類，直接運用相關(guān)結(jié)論即可;后三問既要用到向量加減、數(shù)乘的坐標表示等舊知，又要用到向量數(shù)量積的坐標表示，稍微綜合一些，屬于后一類.在實際教學中，有部分學生對第（3），第（4）問采取先展開后用坐標計算從而形成新的解法，比如第（4）問，先對3a+b平方，再開根號得3a+b=65;也有部分學生直接運用數(shù)量積的定義式計算，從而在計算夾角的余弦值時“遭受挫折”，教師及時指明問題癥結(jié)所在.本題設(shè)計問題立足于學生的基礎(chǔ)，遵循循序漸進的原則，由易到難.對于難度較大的問題，先鋪墊一些類似“梯子”“緩坡”的問題，可以降低學生學習的難度，使他們更主動地接受新知識.

例2若點A1，2，B2，3，C-2，5，則△ABC是什么形狀？證明你的猜想.

變式訓練（1）若AB·AC<0，則△ABC是什么形狀？

（2）若AB·AC>0，則△ABC是什么形狀？

問題7已知a，b均為非零向量，辨析判斷：

（1）若a·b=0，則向量a與b的夾角為直角;

（2）若a·b>0，則向量a與b的夾角為銳角;

（3）若a·b<0，則向量a與b的夾角為鈍角.

設(shè)計意圖：例2為筆者根據(jù)教材中的例10改編，屬于利用向量數(shù)量積的坐標運算判斷平面圖形的形狀問題.教師先引導學生作出草圖，進行直觀判定，再去證明.學生證明此三角形為直角三角形主要是利用AB，AC的數(shù)量積為零，或者先計算三條邊對應向量的模長，再利用勾股定理進行證明.變式訓練和問題7主要針對學生可能會犯“由AB·AC>0得到△ABC為銳角三角形”等錯誤而設(shè)計的.明代學者陳獻章說過：“學起于思，思源于疑.”對于學生易錯、易混淆的知識點，教師可以采用變式訓練的方式將這些知識整合到一起進行比較分析，在認知沖突處誘導啟發(fā)學生深層次思考，借錯設(shè)問，以問糾錯，以問堵漏.通過教師設(shè)問繼續(xù)深入挖掘探究，學生在新問題的思考和解決中能夠更加深刻地理解并內(nèi)化概念或方法，從而達到觸類旁通，舉一反三的目的，也有助于培養(yǎng)質(zhì)疑品質(zhì)，進而提高自主學習的能力.

2.5 文理交融，提升小結(jié)

師：請同學們完成下列表格（表2）.

師：我們驚奇地發(fā)現(xiàn)借助向量坐標，既可以解決向量的加減、數(shù)乘、數(shù)量積運算問題，也能夠表示向量共線、垂直及夾角等問題，向量坐標真是“威力無窮”.為此老師模仿唐朝詩人白居易寫了一首《憶坐標》：

坐標好，用處真不少.加減乘積皆好用，共線模角俱應手.能不憶坐標？

設(shè)計意圖：特級教師文衛(wèi)星老師說過，上一節(jié)自己滿意的課，需要把握好“三個度”即“知識適度，思想高度，文化厚度”.教師傳授給學生的不僅是“知”，更重要的是“識”.下課前的小結(jié)用精練、優(yōu)美的語言把本節(jié)課的教學內(nèi)容、方法等提升了思想高度，發(fā)展學生對向量坐標表示的整合、詮釋的能力，也體現(xiàn)了數(shù)學的文化價值，既能緩解緊張、沉悶的課堂氣氛，讓學生在輕松愉悅的環(huán)境下學習，還可以幫助學生理解、記憶所學數(shù)學知識，潛移默化、潤物無聲中提高了學生的思想境界和文化修養(yǎng)，陶冶學生情操，達到以知促情，知情結(jié)合的目的.

3 教學反思感悟

3.1 優(yōu)化教學設(shè)計必須厚植“三個理解”

人教社章建躍先生提出“三個理解”，即理解數(shù)學，理解學生，理解教學.理解數(shù)學就是要把握數(shù)學內(nèi)容的本質(zhì)，特別是對教學內(nèi)容所蘊含的數(shù)學思想和方法要有深入理解.向量是近代數(shù)學中最重要的概念之一，兼具幾何形式和代數(shù)形式的“雙重身份”，并且擁有一套優(yōu)良的運算系統(tǒng)，即坐標表示，成為溝通代數(shù)與幾何的“重要工具”和“橋梁”.平面向量數(shù)量積的坐標表示就是運用坐標這一量化工具表達向量的數(shù)量積運算，為研究平面中的距離、垂直、角度等問題提供了全新的手段.理解學生就是要全面了解學生數(shù)學學習的思維規(guī)律，把握學生的認知特點、知識基礎(chǔ)、學習方式和習慣.在本節(jié)課中，針對新授向量數(shù)量積的坐標表示內(nèi)容與學生已有加減、數(shù)乘的坐標表示等舊知數(shù)學經(jīng)驗的聯(lián)系，設(shè)置復習導入環(huán)節(jié)，又根據(jù)當前知識（平面向量數(shù)量積的坐標表示）與學生已有認知結(jié)構(gòu)的距離，在學生的思維“最近發(fā)展區(qū)”內(nèi)設(shè)置問題1～7，從而激發(fā)學生求知欲、激活學生思維，使學生的心理保持積極的、適度的求知傾向，還聚焦學生向量書寫細節(jié)問題，對易錯、易混和疑惑點專門進行強調(diào)和分析，有的放矢地進行教學.理解教學就是要把握教學的基本規(guī)律，按教學規(guī)律辦事.教學的本質(zhì)在于喚醒，教學的本體在于對話，教學的本然在于追求學生“自明”.數(shù)學教學離不開探究過程，通過問題驅(qū)動讓學生在做中學、學中做，充分發(fā)揮學生的主體作用，在本節(jié)課教學過程中也充分注意學生在獨立思考基礎(chǔ)上的合作交流，充分發(fā)揮學生的主觀能動性，凡是學生自己能做的，大膽放手讓他們獨立完成，教師不可越俎代庖，包辦代替.

3.2 優(yōu)化教學設(shè)計必須篤行核心素養(yǎng)

特級教師渠東劍認為教學設(shè)計要高屋建瓴：以核心素養(yǎng)為導向，以思想方法為重點，以知識落實為載體.從學生學習角度看，平面向量數(shù)量積的坐標表示的建構(gòu)過程，主要體現(xiàn)出以下幾種數(shù)學核心素養(yǎng)：（1）直觀想象——從向量a的坐標表示的直觀示意圖中獲得靈感，將向量的坐標形式轉(zhuǎn)化為向量的代數(shù)形式;（2）數(shù)學運算——從數(shù)量積運算，對（*）式的分析處理，只有正確掌握運算法則，才能求得正確的運算結(jié)果;（3）邏輯推理——從數(shù)量積的坐標表示推理得出模長、距離、垂直、夾角等一系列的結(jié)果.古人云：“授人以魚，不如授人以漁.”從某種意義上來說，培養(yǎng)核心素養(yǎng)比單純傳授知識重要，學生的數(shù)學核心素養(yǎng)決定著他們的發(fā)展水平.在數(shù)學教學中發(fā)展學生的核心素養(yǎng)，關(guān)鍵是讓學生參與到卓有成效的數(shù)學活動中來，在關(guān)鍵的地方堅持讓學生獨立思考，讓學生扎扎實實地經(jīng)歷直觀感知、觀察發(fā)現(xiàn)、歸納演繹、討論分析、抽象概括、反思建構(gòu)等數(shù)學思維的基本過程.

正所謂“三個理解百般好，核心素養(yǎng)不可少.抽絲剝繭拓思維，直擊內(nèi)核顯真章”.

參考文獻：

[1]黃河清.高中數(shù)學“問題導學”教學法 [M].北京：教育科學出版社，2013.

[2]於家海.創(chuàng)設(shè)情境＼5啟迪思維＼5積累經(jīng)驗＼5踐行素養(yǎng)——以“正方形截面的探究”教學為例[J].中學數(shù)學，2020（23）：11-13.