孫雪梅　李玉葉　布仁滿都拉

摘 要：在這個科技迅猛發(fā)展的時代，給學(xué)生樹立正確的價值觀、人生觀，使他們?nèi)姘l(fā)展成為社會有用的人才是非常重要的。而德育是對學(xué)生進(jìn)行政治、道德、思想和身心健康方面的教育，在給學(xué)生樹立正確價值觀和人生觀中起到?jīng)Q定性的作用。數(shù)學(xué)教學(xué)是教學(xué)中非常重要的一部分，是塑造學(xué)生良好個性和品德的重要載體，將德育教育滲透到數(shù)學(xué)教學(xué)中，讓“德育價值”走進(jìn)數(shù)學(xué)課堂。本文對初中階段的數(shù)學(xué)課程中勾股定理證明這節(jié)內(nèi)容進(jìn)行了實踐探究，在數(shù)學(xué)課堂中滲透德育教育，將德育元素與數(shù)學(xué)學(xué)科進(jìn)行更有效的結(jié)合，從而在數(shù)學(xué)課寓教于樂，使學(xué)生們受到了教育。

關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué);德育教育;數(shù)學(xué)教學(xué)

中圖分類號：G633.6? 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A? 文章編號：1673-260X（2022）04-0110-03

1 引言

新課程改革下的素質(zhì)教育，注重學(xué)生的德育品質(zhì)教育。中學(xué)德育大綱于1988年8月是由國家教委發(fā)布，是國家對中學(xué)生的思想道德品質(zhì)的基本要求的體現(xiàn)。中學(xué)的德育任務(wù)是將當(dāng)代中學(xué)生培養(yǎng)成為新時代有道德、有理想的社會主義接班人。各學(xué)科在教學(xué)時對學(xué)生展開道德教育是德育教育在中學(xué)體現(xiàn)得最基本的途徑，對培養(yǎng)學(xué)生的思想政治道德素養(yǎng)十分重要。

對于數(shù)學(xué)學(xué)科而言，學(xué)生從接受教育開始便與數(shù)學(xué)打交道，在學(xué)校教學(xué)中占據(jù)了大部分的時間和精力，不論是對學(xué)生的學(xué)術(shù)造詣或是未來職業(yè)發(fā)展，還是未來的社會發(fā)展都是非常重要的。本文旨在通過初二年級勾股定理這一知識點的實踐探究，挖掘數(shù)學(xué)教學(xué)中的德育元素，將德育教育與數(shù)學(xué)教學(xué)貫穿一致，并借助“直角三角形”的圖形美，提升借助圖形以及空間想象對問題進(jìn)行研究的思維，增強進(jìn)行數(shù)形融合的本領(lǐng)，研究事物的根本，增強創(chuàng)新精神[1]。

2 初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中德育教育的具體實施

2.1 由故事導(dǎo)入展開課堂教學(xué)

勾股定理最早是由古希臘數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯發(fā)現(xiàn)并證明的。在該課程的教學(xué)前，教師可給學(xué)生講解一些有關(guān)勾股定理起源以及有關(guān)數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯的有趣故事。比如，畢達(dá)哥拉斯從小就跟著父親到處經(jīng)商，正因如此，他從小就熱愛學(xué)習(xí)，喜歡跟著當(dāng)?shù)氐膶W(xué)者一起學(xué)習(xí)，這才最終造就了畢達(dá)哥拉斯勾股定理。周朝數(shù)學(xué)家商高針對直角三角形的三邊就提出了“勾三、股四、弦五”，其意為兩直角邊分別表示為3（勾）和4（股），則有第三條邊為5（弦），這組數(shù)據(jù)3、4、5便是一組勾股數(shù)。那么，什么是勾股定理呢？下面一起探究。如此，教師自然而然地通過故事引入勾股定理學(xué)習(xí)，這樣的教學(xué)引入，易于學(xué)生理解，將注意力集中到課堂中，還能激發(fā)學(xué)生對數(shù)學(xué)知識由來的探究欲望，有利于提高課堂教學(xué)效果。在此過程中，拒絕教師唱獨角戲，讓學(xué)生在興趣中接受知識，主動參與探究。

2.2 勾股定理的例題求解展示

勾股定理的學(xué)習(xí)有利于解直角三角形的相關(guān)問題。參照波利亞怎樣解題的四個步驟對例題求解進(jìn)行展示。例：某小區(qū)樓房三樓發(fā)生了火災(zāi)，消防員及時趕來救火。了解到每層樓高3m，消防員準(zhǔn)備了6.5m長的梯子，如果墻和梯子底部基的距離是2.5m，那么消防員是否能夠順利滅火？

第一步，讓學(xué)生理解問題到底是什么，有哪些已知和未知的條件。這是一道貼近生活的題，更易于學(xué)生理解。這一步驟看似簡單，但一旦在這一步出錯，便會導(dǎo)致后續(xù)解題偏離方向，直接影響求解的正確與否。此外，讓學(xué)生養(yǎng)成理解問題的習(xí)慣，在學(xué)習(xí)上培養(yǎng)學(xué)生善于分析問題和準(zhǔn)確理解問題的能力，在工作中快速準(zhǔn)確理解領(lǐng)導(dǎo)的意思，從而高效完成工作任務(wù)[2]。教師先讓學(xué)生思考，再引導(dǎo)學(xué)生回答未知條件是消防員能否順利滅火，而已知條件是題中具體的數(shù)據(jù)。

第二步擬定計劃，分析已知與未知條件的聯(lián)系。培養(yǎng)學(xué)生用辯證唯物的思想來看待數(shù)學(xué)問題[3]，一切事物是一個統(tǒng)一體，它們之間都存在一定的聯(lián)系，數(shù)學(xué)也是這樣。這里已知與未知條件之間的聯(lián)系在于云梯與墻角和地面三者構(gòu)成了一個直角三角形，求解問題的關(guān)鍵就在于轉(zhuǎn)化為運用勾股定理求解直角三角形，使學(xué)生的思維逐步升華?！稗D(zhuǎn)化”是求解數(shù)學(xué)問題重要的思想方法，在理解問題的基礎(chǔ)上，展開聯(lián)想的“翅膀”，將問題化難為易，化深為淺，從而培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維。

第三步實現(xiàn)計劃，利用分析得到的聯(lián)系進(jìn)行解題。由第二步，問題已經(jīng)成功轉(zhuǎn)化為利用勾股定理求解直角三角形，只要求得梯子頂點與地面的距離，再與實際樓高進(jìn)行比較，根據(jù)勾股定理計算有6.52-2.52=62，即梯子頂點與地面的距離為6m，由已知條件知三樓的實際高度為6m，則消防員能夠進(jìn)入三樓滅火。實際上，有了前兩步的基礎(chǔ)，再實現(xiàn)計劃就水到渠成了，但具體的過程是由學(xué)生全程參與其中，教師在整個過程中只起輔導(dǎo)和引導(dǎo)作用，學(xué)生從最簡單的階段逐步過渡，循序漸進(jìn)，符合學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展，利于知識的掌握。

最后一步就是回顧和檢驗。對于數(shù)學(xué)而言，最重要的就是結(jié)果的準(zhǔn)確性，好比1+1=2就不會有別的答案，在數(shù)學(xué)中答案是唯一的。在運算的結(jié)果中檢驗解題的過程是求真的嚴(yán)謹(jǐn)性和科學(xué)性，教授學(xué)生要求真務(wù)實，得到的任何答案、結(jié)果都要對其懷疑和檢驗，這有利于培養(yǎng)學(xué)生對待問題的嚴(yán)謹(jǐn)態(tài)度，也是素質(zhì)教育下德育教育所要求的。在求得答案后，教師應(yīng)繼續(xù)跟進(jìn)，向?qū)W生提問：“得到答案后直角三角形的三邊已知，若是已知地面與梯子頂點的距離和墻基與梯子底部的距離，消防員需準(zhǔn)備多長的梯子？”將問題進(jìn)行變式，讓學(xué)生從多個角度思考問題，從實際生活的角度看待結(jié)果，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)會應(yīng)對改變條件的開放性問題，從而調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)潛力和邏輯推理的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

2.3 達(dá)·芬奇對勾股定理的拓展

按照教材上勾股定理的表述，直角三角形的兩直角邊的平方等于斜邊的平方，即直角三角形三邊分別為a、b、c，滿足式a2+b2=c2。該定理的證明運用了趙爽的分割法，其分割過程如圖1所示。

該分割過程是由邊長為a和b的正方形組成，其面積為a2+b2，這里學(xué)生是能理解的，另一面，它可以分割成四個全等的直角三角形和一個小正方形，由分割變換得到圖1（2），就會得到一個以邊長為c的正方形圖1（3）。在這一過程，教師全程引導(dǎo)學(xué)生逐步過渡，幫助學(xué)生理解和分析。根據(jù)分割思想，由圖1（1）得到圖1（3），它們的面積是完全相等的。根據(jù)a2+b2=c2，再回頭觀察圖1，細(xì)心的同學(xué)可以發(fā)現(xiàn)，式中的a，b，c正是圖1（1）中其中一個直角三角形的三邊。用另外一種角度來看待a2+b2=c2，即以直角三角形三邊為邊長做正方形，斜邊邊長的正方形的面積等于以兩條直角邊為邊長的正方形面積之和，如圖2所示。

該分割方法蘊含著“分割變換思想”和“分割前后總量不變的思想”[4]，教師在知識點的講解中，應(yīng)結(jié)合數(shù)學(xué)的抽象性、邏輯性以及空間想象等，在學(xué)生理解的前提下，教師帶領(lǐng)學(xué)生進(jìn)行探究活動，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維和數(shù)學(xué)思想。波利亞說：“掌握數(shù)學(xué)意味著善于解題，而且善于解一些要求獨立思考、獨到見解和有探究性的題”，有利于養(yǎng)成有益的思維習(xí)慣和解題能力。

在此基礎(chǔ)上，探究勾股定理與相似圖形面積之間的關(guān)系。在達(dá)·芬奇的手稿中，對于勾股定理的研究中，除了傳統(tǒng)的一般證法，還有很多新穎的研究方式，為今天的教學(xué)提供了寶貴的啟示。

（1）在不破壞直線形的情況下，思考直角三角形三個邊上的正方形內(nèi)切圓面積是否有與勾股定理相當(dāng)?shù)慕Y(jié)果，如圖3所示。

（2）思考直角三角形三邊上作三個半圓，是否有與勾股定理相當(dāng)?shù)慕Y(jié)果，如圖4所示。

（3）思考以直角三角形三邊作三個正方體，是否有與勾股定理相當(dāng)?shù)慕Y(jié)果，如圖5所示。

達(dá)·芬奇的手稿中對勾股定理證明的其中四個拓展性思考[5]，對學(xué)生來說或許有些難度，但越是具有挑戰(zhàn)性的問題才越值得探究和思考，更能激發(fā)學(xué)生的探究欲望，從而培養(yǎng)學(xué)生勤于思考、不言放棄的優(yōu)良品質(zhì)。在探究圖3、圖4、圖5這三種情形時，均以直角三角形三邊為3、4、5為例，根據(jù)圓的面積公式得到直角三角形三邊為邊長的正方形的內(nèi)切圓的面積分別為，故圖3的情形滿足勾股定理;同樣，以直角三角形三邊為半圓的情況，有，故圖4情況也滿足勾股定理;在探究圖5的情形時，考慮到勾股定理的公式形式，因從其面積入手，正方體只是正方形較為復(fù)雜的角度，這是一維空間到三維空間的過渡，正方體的每一面都是正方形，將其化繁為簡，相當(dāng)于回到勾股定理最簡單的證明方式，即直角三角形三邊正方形的面積關(guān)系，滿足52=42+32，故以直角三角形三邊做正方體也是滿足勾股定理的。根據(jù)探究可以發(fā)現(xiàn)，勾股定理與圖形的面積之間存在一定的關(guān)系，即“在一個直角三角形中，斜邊上所畫的任何圖形的面積，是等于在兩直角邊上所畫的相似圖形面積之和的”。因此，教師在引導(dǎo)學(xué)生探究某一知識點時，不應(yīng)總是局限于教材上的內(nèi)容，而是挖掘知識點的多個角度，從多個方面去探究，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維，教育學(xué)生樹立創(chuàng)新意識，打破單向的思維定式，學(xué)會在一個問題上有多方面的思考和探究，更深入地理解某個知識點。此外，達(dá)·芬奇作為的著名的數(shù)學(xué)家，將他在數(shù)學(xué)研究上的成就帶入課堂，能夠培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思想，有助于激發(fā)學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的動機，增強學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

3 教學(xué)中德育教育的體現(xiàn)

3.1 道德品質(zhì)角度

數(shù)學(xué)的品質(zhì)是嚴(yán)謹(jǐn)認(rèn)真和鍥而不舍的精神。整個勾股定理的探究證明過程，都是由學(xué)生之間的相互合作，教師引導(dǎo)學(xué)生共同探究完成的。學(xué)生在整個課程教學(xué)過程中，感受到了數(shù)學(xué)文化的人文思想，學(xué)會運用數(shù)學(xué)知識解決實際問題。插入達(dá)·芬奇對勾股定理證明的拓展性思考，讓學(xué)生領(lǐng)會分析問題的多種角度和多種方法，在他們“最近發(fā)展區(qū)”的范圍內(nèi)接受較高層次的拓展研究，提高了學(xué)生探究問題的嚴(yán)謹(jǐn)性和解決問題的能力以及遇到問題不怕困難的堅強意志。

3.2 人文素養(yǎng)角度

挖掘教材中的人文素養(yǎng)。數(shù)學(xué)本身是一門靈活多變的學(xué)科，需要學(xué)生具有強烈的探究心理。在課堂教學(xué)中，教師應(yīng)力求打破傳統(tǒng)教學(xué)常規(guī)，善于引導(dǎo)學(xué)生一題多解、一題多思的創(chuàng)新思維。比如，在學(xué)習(xí)勾股定理的證明時，除了傳統(tǒng)的教法，還有其他更具創(chuàng)新的探究方法，激發(fā)學(xué)生的探究能力，從而培養(yǎng)學(xué)生勤于思考、百折不撓的品質(zhì)。同時，在探究過程中，教師引導(dǎo)學(xué)生探討可以從哪些角度去推導(dǎo)勾股定理的成立，以此讓學(xué)生學(xué)習(xí)到團(tuán)結(jié)協(xié)作、堅持不懈的品質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生的人文素養(yǎng)[6]。

3.3 科學(xué)精神角度

學(xué)生從勾股定理的探究活動中就能體會數(shù)學(xué)的探究思想。學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)不是簡單的符號數(shù)字，而是關(guān)注“數(shù)學(xué)本質(zhì)”。比如，學(xué)習(xí)完勾股定理的證明和運用，就能解決生活中的實際問題，這就是“學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，運用數(shù)學(xué)”的本質(zhì)。另外，在教師的引導(dǎo)下，展開勾股定理證明的拓展研究，從更新穎，創(chuàng)新的角度去嘗試證明勾股定理，對于學(xué)生而言，是對新知識的探索和創(chuàng)新，是理性精神和求實精神的體現(xiàn)。

4 總結(jié)與反思

在新課程改革理念下，中學(xué)數(shù)學(xué)老師應(yīng)利用多種途徑和方法進(jìn)行德育方面的教學(xué)，有效地挖掘教材里的德育元素，向?qū)W生傳遞德育的思想、行為、意志和情感，使得數(shù)學(xué)學(xué)科中的德育教育功能得到有效地發(fā)揮。

在數(shù)學(xué)教學(xué)中滲入德育教育的根本目標(biāo)在于使教學(xué)能為新世紀(jì)培育合格的人才服務(wù)，要在課堂實踐中不斷探索和研究，讓德育與數(shù)學(xué)融為一體，同時結(jié)合學(xué)科特點和學(xué)生認(rèn)知水平以及接受知識的能力，進(jìn)行德育教育的有機滲透，使德育教育在學(xué)生的認(rèn)知中達(dá)到潛移默化的作用。

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參考文獻(xiàn)：

〔1〕洪小娟.在數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透德育教育的策略[J].理科愛好者（教育教學(xué)），2020，20（05）：75-76.

〔2〕彭震春，唐敏明.在數(shù)學(xué)解題教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生辯證思維能力[J].株洲師范高等?？茖W(xué)校學(xué)報，2002， 7（02）：53-55.

〔3〕張奠宙，馬岷興，等.數(shù)學(xué)學(xué)科德育——新視角新案例[M].北京：高等教育出版社，2007.1-1.

〔4〕陳祥.基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)視角下的初中課堂教學(xué)思考與實踐——以“勾股定理”教學(xué)為例[J].吉林省教育學(xué)院學(xué)報，2020，36（07）：33-36.

〔5〕代欽.神壇上的達(dá)·芬奇（續(xù)）——以達(dá)·芬奇的數(shù)學(xué)手稿為中心[J].數(shù)學(xué)通報，2021，60（02）：1-10+24.

〔6〕劉彬彬.初中物理教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生人文素養(yǎng)的研究[D].長沙：湖南理工學(xué)院，2019.

收稿日期：2022-01-07

通訊作者：李玉葉（1980-），女，內(nèi)蒙古赤峰人，教授，碩士生導(dǎo)師，研究方向：神經(jīng)動力學(xué)，學(xué)科教學(xué)論。

基金項目：赤峰學(xué)院教育碩士專業(yè)選修課課程建設(shè)研究——以《數(shù)學(xué)教育技術(shù)應(yīng)用》課程為例（cfxyjyss12025）