高博 李嶠

【摘要】本文從兩個方面入手，一是運用幾何直觀，幫助學(xué)生理解“2、5、3的倍數(shù)特征”背后的奧秘;二是讓學(xué)生嘗試運用符號推理，感受符號的概括性，培養(yǎng)符號意識。

【關(guān)鍵詞】小學(xué)數(shù)學(xué);倍數(shù)特征;符號推理;數(shù)學(xué)思維

一、教學(xué)實踐

（一）激趣引入

師：判斷這些數(shù)是不是2的倍數(shù)，是不是5的倍數(shù)，是不是3的倍數(shù)。2、5的倍數(shù)有什么特征？3的倍數(shù)又有什么特征？（PPT出示：38、63、25、90）

生：個位上是0、2、4、6、8的數(shù)是2的倍數(shù)，個位上是0、5的數(shù)是5的倍數(shù)。各位上的數(shù)的和是3的倍數(shù)，這個數(shù)就是3的倍數(shù)。

（二）引出疑惑

師：為什么判斷一個數(shù)是不是2、5的倍數(shù)，只用看個位數(shù)，而判斷一個數(shù)是不是3的倍數(shù)，卻要看各位上數(shù)的和？我們這節(jié)課就來研究一下這些問題。

（三）探究解密

1.探究為什么判斷一個數(shù)是不是2或5的倍數(shù)，只要看個位數(shù)

師：為了研究的方便，我們先從研究兩位數(shù)入手。老師給每個小組都發(fā)了一些小正方體表示數(shù)的學(xué)具紙，大家可以用它們來表示需要研究的數(shù)。

（PPT打出探究任務(wù)：用學(xué)具紙組成一個兩位數(shù)，觀察、思考、討論為什么判斷一個數(shù)是不是5的倍數(shù)，只用看個位數(shù)）

生：大家請看，我們組成的兩位數(shù)是32。我們發(fā)現(xiàn)，10是5的倍數(shù)，32由3個十和2個一組成。不管幾個十，都一定是5的倍數(shù)。所以這個數(shù)是不是5的倍數(shù)，其實就只用看個位上的數(shù)。32個位上是2，所以它不是5的倍數(shù)，而且我們還發(fā)現(xiàn)它除以5一定余2。

師：同學(xué)們，我們剛才嘗試后發(fā)現(xiàn)了是不是5的倍數(shù)只用看個位上的數(shù)。但是我們并沒有驗證所有的兩位數(shù)，有什么更好的方法能夠保證全部的兩位數(shù)都滿足呢？

生：用字母表達。

師：假如一個兩位數(shù)，十位上是a，個位上是b。這個兩位數(shù)怎么表示？

生1：ab。

生2：不對，ab表示的是a×b，我覺得應(yīng)該是10a+b。

師：這個a、b可以代表什么數(shù)？

生1：任何數(shù)。

生2：不對。a、b只能是0～9的數(shù)。

生3：a是最高位，a不能表示0。

師：很好，通過大家的討論交流，我們明確了10a+b可以表示所有的兩位數(shù)。那誰利用10a+b的字母表達來說明一下為什么是不是5的倍數(shù)只用看個位上的數(shù)。

生：因為10是5的倍數(shù)，所以10a也一定是5的倍數(shù)。所以這個兩位數(shù)是不是5的倍數(shù)，只用看b，也就是個位上的數(shù)。

師：說得真好。那為什么判斷一個數(shù)是不是2的倍數(shù)，也只用看個位數(shù)呢？能不能也用這個方法研究一下，這次我們用3位數(shù)來研究。（學(xué)生小組討論）

生：任何一個三位數(shù)都可以表示成100a+10b+c，因為百位和十位上不管是幾，都一定是2的倍數(shù)。所以一個三位數(shù)是不是2的倍數(shù)，也只用看個位上的數(shù)。

2.探究為什么判斷一個數(shù)是不是3的倍數(shù)，要看各位上數(shù)的和

師：非常好，大家找到了2、5倍數(shù)特征背后的奧秘。接下來，最有挑戰(zhàn)性也最有趣的地方來了，為什么判斷一個數(shù)是不是3的倍數(shù)，要看各位上數(shù)的和？同樣的，小組利用學(xué)具紙去研究，為了研究的方便，我們先選擇兩位數(shù)來研究。

生：我們組成的兩位數(shù)是24，我們發(fā)現(xiàn)，24中的2代表2個十，它除以3商6余2，余的2加上個位上的4就等于6，除以2剛好整除，所以24是3的倍數(shù)。然后我們就想，十位上是幾，除以3就余幾，所以判斷一個數(shù)是不是3的倍數(shù)，就要把各位上的數(shù)加起來。

師：能不能結(jié)合學(xué)具紙再給大家解釋一下。

生：（在學(xué)具紙上圈正方體）每個十都可以拆成9+1，因為9是3的倍數(shù)，所以不管幾個9都已經(jīng)是3的倍數(shù)了，所以只用看剩下的幾與個位上的數(shù)的和是不是3的倍數(shù)。

師：大家同意嗎？能不能用算式表示我們拆分的過程呢？我們試試看。（教師和學(xué)生一起推演，板書在黑板上）

師：看，無論幾個9都是3的倍數(shù)，所以我們只需要看剩下的兩個數(shù)的和，而剩下的兩個數(shù)正好就是十位和個位上的數(shù)的和。我們已經(jīng)找到為什么這樣判斷3的倍數(shù)特征的奧秘了。那么，大家能夠用字母來表達嗎？試試兩位數(shù)和三位數(shù)吧。

生：因為9是3的倍數(shù)，所以a×9一定是3的倍數(shù)。所以這個三位數(shù)是不是3的倍數(shù)，就只需要看a+b，也就是把各位上的數(shù)加起來。因為99和9都是3的倍數(shù)，所以a×99 + b×9一定是3的倍數(shù)。所以這個三位數(shù)是不是3的倍數(shù)，就只需要看a+b+c，也就是把各位上的數(shù)加起來。

師：看來，用字母表達，能夠證明更一般的結(jié)論，這就是數(shù)學(xué)符號的威力。其實，不止兩位數(shù)、三位數(shù)，任意幾位數(shù)都可以用這個方法證明。

二、課后反思

當(dāng)學(xué)生用正方體圖學(xué)具紙把數(shù)表示出來，很容易就能夠發(fā)現(xiàn)整十、整百數(shù)必然是2和5的倍數(shù)，而每個十都比3的3倍多1，每個百都比3的33倍多1……有了這樣的直觀感受，規(guī)律背后的道理已經(jīng)呼之欲出。在此基礎(chǔ)上再引導(dǎo)學(xué)生思考、辨析、推演，學(xué)生就能夠逐步深刻理解為什么會有這樣的規(guī)律。

學(xué)生在五年級上冊已經(jīng)學(xué)習(xí)了“用字母表示數(shù)”，具備了用符號表達規(guī)律的基礎(chǔ)。但用字母進行運算和推理，對于小學(xué)生來說，還是具有一定的難度，因此我們引導(dǎo)學(xué)生將其分為兩個步驟完成：一是符號表達，一是演繹推理。首先讓學(xué)生學(xué)會并理解用a×10+b這樣的形式可以表示任意兩位數(shù)，進而再在這個表達的基礎(chǔ)上，利用運算定律對式子進行恒等變形，由因數(shù)倍數(shù)的概念推理出結(jié)論。在這個過程中，學(xué)生經(jīng)歷了符號表達與推理的全過程，初步理解了用符號推理得出的結(jié)論具有普遍性。

（責(zé)任編輯：洪冬梅）