王磊

在做練習(xí)時，我們常常會對某道題感覺很熟悉，但又不知在哪里見過，抑或者熟悉知識框架，但是對具體數(shù)字陌生。其實，這是非常正常的現(xiàn)象。我們所遇到的題目，有很多是來自教材上的例題，如果將問題情境改變，或者融合一些其他的知識點，就能變成一道新題。教材上的例題往往具有典型性、代表性，凝聚著重要的數(shù)學(xué)思想，有著較強的示范性，是很多新題的“源代碼”。

一、例題再現(xiàn)

（蘇科版數(shù)學(xué)教材八年級下冊第131頁例3）已知反比例函數(shù)y=[kx]的圖像與一次函數(shù)y=x+1的圖像的一個交點的橫坐標(biāo)是-3。

（1）求k的值，并畫出這個反比例函數(shù)的圖像;

（2）根據(jù)反比例函數(shù)的圖像，指出當(dāng)x<-1時，y的取值范圍。

解：（1）把x=-3代入y=x+1，得y=-2。

根據(jù)題意，可得反比例函數(shù)y=[kx]的圖像與一次函數(shù)y=x+1的圖像的一個交點的坐標(biāo)是（-3，-2）。

把x=-3、y=-2代入y=[kx]，

得-2=[k-3]，即k=6。

函數(shù)y=[6x]的圖像如圖1。

（2）由函數(shù)圖像知，當(dāng)x<-1時，

-6

二、“源代碼”重組

一次函數(shù)與反比例函數(shù)的組合問題，是常見的考試題型。我們要抓住此類題交點的特殊性，利用函數(shù)圖像的性質(zhì)來解決。

【基礎(chǔ)重組】（2021·山東棗莊）如圖2，正比例函數(shù)y1=k1x（k1≠0）與反比例函數(shù)y2=[k2x]（k2≠0）的圖像相交于A、B兩點，其中點A的橫坐標(biāo)為1。當(dāng)k1x<[k2x]時，x的取值范圍是 。

【解析】因為正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的圖像均關(guān)于原點對稱，點A的橫坐標(biāo)為1，所以點B的橫坐標(biāo)為-1。觀察函數(shù)的圖像，我們發(fā)現(xiàn)，當(dāng)x<-1或0

【點評】本題考查了正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的基本性質(zhì)，利用軸對稱性推導(dǎo)出另一個交點B的橫坐標(biāo)，再利用函數(shù)圖像的分布特點，分析得到滿足條件的x的取值范圍。

三、“源代碼”升級

與函數(shù)有關(guān)的綜合題，常常伴隨著復(fù)雜的問題情境，這類題既考查同學(xué)們的審題能力，也考驗同學(xué)們的邏輯思維和綜合學(xué)力。

【升級重組】（2021·浙江金華）背景：點A在反比例函數(shù)y=[kx]（k>0）的圖像上，AB⊥x軸于點B，AC⊥y軸于點C，分別在射線AC、BO上取點D、E，使得四邊形ABED為正方形。如圖3，點A在第一象限內(nèi)，當(dāng)AC=4時，小李測得CD=3。

探究：通過改變點A的位置，小李發(fā)現(xiàn)點D、A的橫坐標(biāo)之間存在函數(shù)關(guān)系。請幫助小李解決下列問題。

（1）求k的值。

（2）設(shè)點A、D的橫坐標(biāo)分別為x、z，將z關(guān)于x的函數(shù)稱為“Z函數(shù)”。如圖4，小李畫出了x>0時“Z函數(shù)”的圖像。

①求這個“Z函數(shù)”的表達式;

②補畫x<0時“Z函數(shù)”的圖像，并寫出這個函數(shù)的性質(zhì)（兩條即可）;

③過點（3，2）作一直線，與這個“Z函數(shù)”圖像僅有一個交點，求該交點的橫坐標(biāo)。

【解析】（1）∵AC=4，CD=3，

∴AD=AC-CD=1。

∵四邊形ABED是正方形，

∴AB=1。

∵AC⊥y軸，AB⊥x軸，

∴∠ACO=∠COB=∠OBA=90°，

∴四邊形ABOC是矩形，

∴OB=AC=4，

∴A（4，1），

∴k=4。

（2）①由題意得A（x，x-z），

∴x（x-z）=4，

∴z=x[-4x]。

②圖像如圖5所示。

性質(zhì)1：x>0時，y隨x的增大而增大;

性質(zhì)2：圖像是中心對稱圖形。

③設(shè)直線的表達式為z=kx+b。

把（3，2）代入，得2=3k+b，

∴b=2-3k，

∴直線的表達式為z=kx+2-3k。

由[z=kx+2-3k，z=x-4x，]

消去z，得（k-1）x2+（2-3k）x+4=0。

當(dāng)k≠1，Δ=0時，

（2-3k）2-4（k-1）×4=0，

解得k=[109]或2。

當(dāng)k=[109]時，

方程為[19]x2-[43]x+4=0，

解得x1=x2=6;

當(dāng)k=2時，

方程為x2-4x+4=0，

解得x1=x2=2。

當(dāng)k=1時，

方程的解為x=4，符合題意。

另外，直線x=3，也符合題意，此時交點的橫坐標(biāo)為3。

綜上所述，滿足條件的交點的橫坐標(biāo)為2、3、4、6。

【點評】本題是反比例函數(shù)綜合應(yīng)用題，涉及的知識點較多，比如一次函數(shù)、二次函數(shù)、一元二次方程等。解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用參數(shù)解決問題，學(xué)會把問題轉(zhuǎn)化為方程組，再利用一元二次方程的根的判別式解決問題。