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      數(shù)形結(jié)合 突破難點(diǎn)

      2022-05-27 04:40:02吳曉雄
      關(guān)鍵詞:教學(xué)難點(diǎn)教學(xué)探索數(shù)形結(jié)合

      吳曉雄

      【摘 要】本文以蘇教版數(shù)學(xué)四年級(jí)下冊(cè)“乘法分配律”的教學(xué)實(shí)踐為例,圍繞“數(shù)形結(jié)合”的思想,從起因、錯(cuò)題分析、教學(xué)改進(jìn)前的思考、教學(xué)改進(jìn)嘗試、改進(jìn)實(shí)踐后的成效這幾個(gè)方面層層深入地探究教學(xué)新方法,從而突破教學(xué)難點(diǎn),提高教學(xué)效率。

      【關(guān)鍵詞】教學(xué)難點(diǎn) 數(shù)形結(jié)合 教學(xué)探索

      一、緣起

      某省小學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)水平測(cè)試中有這樣一道題(見圖1)。

      測(cè)試下來,正確率比較低。那么,筆者所在的區(qū)域?qū)W校學(xué)生的情況如何呢?筆者在一所鄉(xiāng)鎮(zhèn)學(xué)校隨機(jī)抽取了五年級(jí)的一個(gè)班級(jí)的學(xué)生用這道題進(jìn)行了測(cè)試,結(jié)果統(tǒng)計(jì)如下(見圖2)。

      測(cè)試班應(yīng)測(cè)41人,實(shí)測(cè)41人,選項(xiàng)選A的有9人,選B的有3人,選C的有10人,選D的有19人。

      二、錯(cuò)題分析

      此題的正確選項(xiàng)應(yīng)選D,從測(cè)試結(jié)果情況來看,筆者覺得有點(diǎn)出乎意料,因?yàn)樘K教版數(shù)學(xué)教材把“乘法分配律”這個(gè)內(nèi)容安排在四年級(jí)下冊(cè)進(jìn)行教學(xué),而這個(gè)測(cè)試是安排在四年級(jí)下冊(cè)期末復(fù)習(xí)時(shí)進(jìn)行的,按理說,學(xué)生剛學(xué)過,而且也復(fù)習(xí)整理過,不應(yīng)該只有46.3%的正確率,但事實(shí)擺在眼前,那么,是什么原因造成如此低下的正確率?筆者個(gè)別訪談了幾位五年級(jí)的任課教師,他們普遍認(rèn)為,“乘法分配律”比較難教。那么,乘法分配律到底“難”在哪兒?

      (一)形式復(fù)雜

      概括敘述乘法結(jié)合律比較容易,但敘述乘法分配律就比較難。我們不妨把乘法結(jié)合律與乘法分配律的文字表述與字母公式進(jìn)行比較(見表1)。

      我們可以看出,乘法結(jié)合律是只有乘法的一種運(yùn)算定律,書寫形式相對(duì)比較簡(jiǎn)單,概念的敘述比較清晰,而乘法分配律是含有乘法和加法兩種混合運(yùn)算的運(yùn)算律,等式中既有加法計(jì)算,又有乘法計(jì)算,而且等式左右兩邊的數(shù)字不完全相同(等式左邊有三個(gè)數(shù)字,等式右邊有四個(gè)數(shù)字),表達(dá)的形式也不對(duì)稱(等式左邊有小括號(hào),等式右邊沒有小括號(hào);等式左邊只有一個(gè)乘號(hào),等式右邊有兩個(gè)乘號(hào)),教材安排的教學(xué)過程是“解決一個(gè)實(shí)際問題—看到一個(gè)數(shù)學(xué)現(xiàn)象—舉出更多例子—在眾多案例中抽象概括”,要求學(xué)生根據(jù)給出的三個(gè)等式抽象概括出乘法分配律的規(guī)律確實(shí)有點(diǎn)勉為其難。

      (二)應(yīng)用靈活

      乘法分配律是所有運(yùn)算律中應(yīng)用相對(duì)比較廣泛的運(yùn)算律,而且形式多樣,應(yīng)用非常靈活,特別是它的隱蔽性特別強(qiáng),變式又特別多,導(dǎo)致學(xué)生在運(yùn)用乘法分配律的規(guī)律進(jìn)行計(jì)算時(shí)往往漏洞百出。下面是學(xué)生在實(shí)際應(yīng)用時(shí)出現(xiàn)的幾種常見的錯(cuò)誤。

      (1)405×16=405×10+6

      錯(cuò)因分析:乘法分配律理解不透,沒有掌握“分別相乘”的本質(zhì)。

      (2)405×(2×8)=405×2+405×8

      錯(cuò)因分析:乘法分配律理解模糊,與乘法結(jié)合律混淆。

      (3)405×16=400×10+5×6

      錯(cuò)因分析:乘法分配律理解不深刻,憑感覺拆分計(jì)算。

      ……

      從以上實(shí)例,我們可以看出,學(xué)生學(xué)習(xí)乘法分配律在客觀上存在著很大的認(rèn)知困難,乘法分配律一直以來也被公認(rèn)為是一個(gè)學(xué)習(xí)難點(diǎn)。另外,筆者在與一些任課教師的交流中發(fā)現(xiàn),大家也都認(rèn)為,乘法分配律是學(xué)生在學(xué)習(xí)了乘法交換律、結(jié)合律之后再一次深入地認(rèn)識(shí)運(yùn)算律。與乘法交換律、結(jié)合律相比,乘法分配律的形式復(fù)雜、算理抽象、變式多樣,由于學(xué)生沒有生活經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)及相關(guān)認(rèn)識(shí),他們沒能真正理解其內(nèi)涵,只是純粹地模仿。課后,學(xué)生對(duì)這個(gè)知識(shí)點(diǎn)的遺忘速度非???,且不會(huì)靈活運(yùn)用。數(shù)學(xué)基礎(chǔ)薄弱的學(xué)生,哪怕硬記了分配律的各種類型,依舊會(huì)邊記邊忘,更談不上從真正意義上去理解。但是,教師苦于想不出好的教學(xué)方法去幫助學(xué)生理解乘法分配律的內(nèi)涵。

      三、教學(xué)改進(jìn)前的思考

      通過對(duì)教材、學(xué)生學(xué)情前測(cè)和教師訪談的分析,筆者認(rèn)為,學(xué)生只是機(jī)械地記住了乘法分配律的形式,而沒有很好地理解乘法分配律的意義的根本原因是學(xué)生在理解意義時(shí)缺少一個(gè)載體,這讓筆者想到“數(shù)形結(jié)合”的思想。數(shù)學(xué)家華羅庚先生曾說過:“數(shù)形結(jié)合百般好,隔離分家萬事休?!比绻處熢诮虒W(xué)時(shí)能輔之以直觀的圖形模型來幫助理解,從模型的角度組織教學(xué),可以更加凸顯“抽象—推理—建?!钡臄?shù)學(xué)思想,效果肯定會(huì)更好。

      基于以上考慮,筆者在教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí),以“有一條邊相等的兩個(gè)長(zhǎng)方形面積之和”的素材為教學(xué)載體,試圖讓學(xué)生經(jīng)歷具體問題、類比推理、建立模型、解釋模型的過程,充分感受數(shù)學(xué)模型的思想;在后續(xù)的拓展中再不斷賦予模型“生長(zhǎng)”的力量,讓乘法分配律的模型既源于圖形,又高于圖形,使學(xué)生對(duì)乘法分配律意義的理解更深刻、更豐滿。

      四、教學(xué)改進(jìn)嘗試

      (一)談話引入

      (課件出示長(zhǎng)方形圖)

      師:同學(xué)們,這是什么圖形?你會(huì)求長(zhǎng)方形的面積嗎?(長(zhǎng)×寬)還可以怎樣求?(寬×長(zhǎng))。

      (二)感受模型

      師出示王大爺?shù)牟说貓D(見圖3)。

      (1)王大爺種了哪兩塊菜地?它們的長(zhǎng)和寬各是多少?

      (2)你能提出有關(guān)面積計(jì)算的問題嗎?我們先來研究?jī)蓧K菜地的總面積。

      (3)請(qǐng)你列綜合算式計(jì)算兩塊地的總面積。學(xué)生練習(xí),教師巡視。

      (4)交流算法[學(xué)生可能提出6×9+2×9和(6+2)×9],師板書算式,說說你這種算法是先求什么,再求什么。多媒體動(dòng)畫演示合起來算的思路。

      (5)比較得數(shù),建立等式:(6+2)×9=6×9+2×9。

      (6)小結(jié):通過計(jì)算王大爺?shù)牟说孛娣e,我們得到了一個(gè)等式,等式的左邊是 ,等式的右邊是 。

      (7)觀察這個(gè)等式,你有什么發(fā)現(xiàn)?

      【分析】由于兩個(gè)長(zhǎng)方形有一條邊的長(zhǎng)度是相等的,兩個(gè)長(zhǎng)方形能直接拼成一個(gè)大長(zhǎng)方形,學(xué)生計(jì)算面積之和時(shí)分開計(jì)算與合起來計(jì)算的思路很容易形成,在建立等式的同時(shí)將分與合的兩種思路建立起了必然的聯(lián)系。由此,抽象的算式有了直觀的形象支撐,變得生動(dòng)起來,算式的結(jié)構(gòu)特征也就一目了然,理解也就輕松容易多了。

      (三)建立模型

      1.自建模型

      師:老師這里有這樣兩個(gè)長(zhǎng)方形,它們的總面積是這樣計(jì)算的。

      課件出示:兩個(gè)長(zhǎng)方形的總面積為(6+4)×3。

      師:你能根據(jù)這個(gè)算式畫出這兩個(gè)長(zhǎng)方形嗎?

      學(xué)生通過媒體展示交流,主要展示了兩種畫法:一種是兩個(gè)長(zhǎng)方形分開畫,另一種是兩個(gè)長(zhǎng)方形合起來畫。

      師:這兩種畫法有什么不同?

      師:你還能想到哪一個(gè)和它相等的算式?你是怎么知道這個(gè)算式是和它相等的?

      師板書:(6+4)×3=6×3+4×3。

      師(小結(jié)):根據(jù)算式畫長(zhǎng)方形,我們又得到了一個(gè)等式,等式的左邊是 ,等式的右邊是 。

      師:觀察一下這個(gè)等式,你還有哪些發(fā)現(xiàn)?

      【分析】從算式回歸圖形讓學(xué)生將具有“分”與“合”特征的算式“想象”成兩個(gè)具有相同長(zhǎng)度的邊的長(zhǎng)方形,緊接著引導(dǎo)學(xué)生嘗試建立“圖形模型”。

      2.驗(yàn)證說明

      師:上面的兩組算式左右都相等嗎?左右兩邊的數(shù)有什么聯(lián)系?猜一猜,有這樣特點(diǎn)的等式還有哪些?你也能舉出這樣的例子嗎?請(qǐng)把你的例子寫下來。

      【教師通過提出猜想,把集合圈放大,將“模型”推廣,以此來檢測(cè)它的普適性?!?/p>

      學(xué)生在練習(xí)紙上舉例、驗(yàn)證。

      師:交流并板書一個(gè)學(xué)生的例子。

      師(小結(jié)):有這樣特點(diǎn)的算式還有很多。

      【分析】體驗(yàn)是最好的論證方法。學(xué)生通過“模型”的自主應(yīng)用,發(fā)現(xiàn)了它的適用性,這使學(xué)生對(duì)腦海中乘法分配律“模型”的建立增強(qiáng)了“理解度”。

      3.抽象概括

      師:觀察這三個(gè)等式,它們有哪些相同的地方?把你的想法跟你的同桌交流一下。

      師(小結(jié)):兩個(gè)數(shù)的和與一個(gè)數(shù)相乘,等于把這兩個(gè)數(shù)分別與這個(gè)數(shù)相乘,再把所得的積相加。

      【分析】由形到數(shù)再到文字表述,步步深入,從語言的描述中可以看出學(xué)生是否真正理解了“模型”。

      師:剛才大家用文字?jǐn)⑹鲞@個(gè)運(yùn)算規(guī)律是不是有點(diǎn)麻煩,能不能跟乘法交換律一樣借助字母用一個(gè)式子就能表示出來?師板書:a ?b ?c

      (a+b)×c=a×c+b×c

      師(追問):這個(gè)字母公式左邊表示什么?右邊呢?

      師:跟剛才的文字比,感覺怎么樣?

      師(小結(jié)):字母符號(hào)是數(shù)學(xué)的特殊語言,用它來表示發(fā)現(xiàn)的運(yùn)算規(guī)律就顯得簡(jiǎn)潔明了。

      師(揭示課題):同學(xué)們發(fā)現(xiàn)的這個(gè)運(yùn)算規(guī)律,在數(shù)學(xué)上叫作乘法分配律。

      師板書課題:乘法分配律。

      師(追問):你怎么理解“分配”兩個(gè)字的含義?

      師板書箭頭←,←。

      【用兩個(gè)箭頭來表示分別,體現(xiàn)乘法分配律最本質(zhì)的變化特征“分別去乘”,這時(shí),學(xué)生大腦中已有了乘法分配律的雛形。】

      4.解釋模型

      師:我們借助計(jì)算長(zhǎng)方形的面積和發(fā)現(xiàn)了乘法分配律,那么,這個(gè)字母運(yùn)算規(guī)律(a+b)×c=a×c+b×c能不能看成是兩個(gè)長(zhǎng)方形的面積之和呢?

      課件出示圖形(見圖4)。

      師:如果它是甲、乙兩個(gè)長(zhǎng)方形的面積之和,那a、b、c分別是圖中哪幾條些邊的長(zhǎng)度?(媒體演示)

      師:a與b的位置可以交換嗎?為什么?

      【根據(jù)字母等式來聯(lián)想圖形、在圖形中解釋模型,如此循環(huán),可以把學(xué)生的認(rèn)識(shí)推向深入?!?/p>

      (四)應(yīng)用模型

      1.填一填

      請(qǐng)你在□里填上合適的數(shù),在○里填上合適的運(yùn)算符號(hào)。

      (42+35)×2=42×□+35×□(為什么右邊的算式出現(xiàn)了兩個(gè)2)

      27×12+43×12=(27+□)×□

      15×26+15×14=□○(□+□)(這個(gè)乘法分配律跟我們剛才學(xué)的有什么不一樣)

      72×(30+6) =□○□○□○□(說說你是運(yùn)用什么運(yùn)算規(guī)律來想的)

      2.想一想:算式聯(lián)想

      (1)64×8+8×36

      (2)86×(30+1)(錯(cuò)誤假象,“×1”可省略不寫嗎)

      (3)(50+b)×c

      (4)50×40+30×40+20×40(你是怎樣想的?在這里你又有什么發(fā)現(xiàn)?乘法分配律對(duì)于小括號(hào)里是三個(gè)數(shù)的和同樣適用)

      【離開了直觀圖形,進(jìn)行算式的聯(lián)想,是對(duì)乘法分配律理解的檢測(cè),也是一種更高水平的數(shù)學(xué)思考?!?/p>

      3.試一試:豐富拓展

      師:我們借助了兩個(gè)長(zhǎng)方形面積和的計(jì)算發(fā)現(xiàn)了乘法分配律,那么,像(65+45)×5=65×5+45×5這樣的等式是不是就一定表示兩個(gè)長(zhǎng)方形的面積之和呢?還能表示其他的事情嗎?請(qǐng)把等式中的數(shù)填到下面的括號(hào)里:

      一件上衣( ? )元,一條褲子( ? )元,買( ? )件上衣和( ? )條褲子一共要付多少元?

      學(xué)生完成后,交流填寫的數(shù)據(jù),再試著用生活中的其他事情來解釋。

      師(小結(jié)):乘法分配律的算式不是只能用長(zhǎng)方形的面積和來解釋,還能用生活中的其他事情來解釋。

      【分析】數(shù)學(xué)中的“模型”,是普遍適用性和豐富多樣性的統(tǒng)一。此處安排的“解釋”環(huán)節(jié),把學(xué)生的思維引向更廣闊的天地,讓學(xué)生充分感受到數(shù)學(xué)的豐富和簡(jiǎn)約。

      (五)回望解讀

      師:其實(shí),我們今天并不是第一次接觸乘法分配律,在以前的學(xué)習(xí)中我們已經(jīng)接觸過。

      師出示長(zhǎng)方形周長(zhǎng)的計(jì)算(見圖5)。

      師:在這里,你找到了我們今天學(xué)的乘法分配律的影子了嗎?

      師出示等式:28×2+15×2=(28+15)×2。

      師:在下面的乘法豎式計(jì)算中,你也能找到乘法分配律的影子嗎?

      【分析】長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)計(jì)算和計(jì)算兩位數(shù)乘兩位數(shù)等內(nèi)容是學(xué)生已經(jīng)熟練掌握的知識(shí)。通過這樣的回顧和比較,學(xué)生恍然大悟,對(duì)乘法分配律又有了幾分親切感。

      (六)發(fā)散聯(lián)想

      師出示課始王大爺?shù)牟说貓D。

      師:怎樣計(jì)算青菜地比蘿卜地多多少平方米?你又發(fā)現(xiàn)了什么?(兩個(gè)數(shù)的差與一個(gè)數(shù)相乘的運(yùn)算規(guī)律)如果用字母表示,可以怎么寫?

      【分析】通過聯(lián)想,乘法分配律在學(xué)生眼中變得立體和豐滿了起來。

      五、改進(jìn)實(shí)踐后成效

      新授課結(jié)束,為了檢驗(yàn)課堂改進(jìn)后的教學(xué)效果,筆者對(duì)學(xué)生進(jìn)行了后測(cè),后測(cè)內(nèi)容為教材內(nèi)容(見圖6)。

      后測(cè)結(jié)果匯總(參與后測(cè)總?cè)藬?shù)為42人)見表2。

      后測(cè)結(jié)果分析:絕大部分學(xué)生都能正確解答這8道題,說明乘法分配律模型的建構(gòu)相當(dāng)成功,學(xué)生能較靈活運(yùn)用,不再出現(xiàn)結(jié)構(gòu)上“丟三落四”和“畫蛇添足”的現(xiàn)象。認(rèn)真分析教材,合情合理地根據(jù)學(xué)生學(xué)習(xí)的起點(diǎn)建構(gòu)乘法分配律的知識(shí),通過“數(shù)”與“形”的有機(jī)結(jié)合,由表及里,層層遞進(jìn),這樣的教學(xué)過程有利于學(xué)生對(duì)乘法分配律知識(shí)的有效建構(gòu),尤其是使學(xué)生對(duì)乘法分配律模型的理解更為深入,從而突破這個(gè)教學(xué)難點(diǎn),可以大大減少練習(xí)中出現(xiàn)的一些典型錯(cuò)誤。但是,由于乘法分配律的變式對(duì)學(xué)生來說,在理解上還是有一定難度的,這個(gè)問題是不可能在新授課結(jié)束后馬上能解決的。后續(xù)教師還是要讓學(xué)生通過一定量的對(duì)比練習(xí)、綜合練習(xí)、拓展練習(xí),才能使學(xué)生達(dá)到知識(shí)與技能的鞏固。

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