[摘? 要] 從建構主義學習理論的視角來看，錯誤是學生數學學習的最為重要的課程資源。在數學教學中，教師要以“錯誤”為切入點、探究點、生長點和促進點，激發(fā)學生興趣、激活學生思維、激勵學生探究、引導學生反思。如果教師能善待學生的錯誤、妙用學生的錯誤，引導學生直面錯誤、反思錯誤，就能讓學生的錯誤有價值。有效運用錯誤，能讓錯誤成為學生通往自我數學知識建構之途的階梯。

[關鍵詞] 錯誤資源;有效應用;數學教學

學生在數學學習中會產生各種類型的錯誤，諸如經驗性錯誤、認知性錯誤以及行為性錯誤等。這些錯誤，從建構主義學習理論的視角來看，都是學生數學學習的重要資源。在數學教學中，教師要引導學生面對錯誤、分析錯誤、應用錯誤，以錯誤作為學生數學學習的切入點、探究點、生長點和促進點。借助學生的錯誤，轉變學生的數學學習行為，激活學生的創(chuàng)新思維。在小學數學教學中，教師更要讓錯誤成為學生通往自我數學知識建構之途的階梯。

一、以“錯誤”為切入點，激發(fā)學生興趣

“錯誤”是“正確”的先導，以錯誤作為師生教與學的切入點，能有效地激發(fā)學生的學習興趣。在數學教學中，教師要有意識地暴露學生的錯誤，呈現學生的錯誤，把脈學生的錯誤思想的運行痕跡，摸清學生錯誤的源頭，進而對學生的錯誤做出理性判斷，對癥下藥，找到避免學生再犯錯的好辦法。有時候，教師還可以“將錯就錯”，引導學生識錯、悟錯，通過小組討論等自主發(fā)現問題、分析問題和解決問題。

比如教學“平行四邊形的面積”，很多學生根據頭腦中長方形面積公式的負遷移經驗，錯誤地認為平行四邊形的面積等于底乘斜邊。對于學生這樣的認知錯誤，筆者沒有批評、斥責學生，而是以學生的錯誤為教學起點，引導學生推拉平行四邊形。在推拉的過程中，教師引導學生觀察平行四邊形和長方形的異同。學生驚奇地發(fā)現，將長方形推拉成平行四邊形，其周長沒有發(fā)生變化，但面積越來越小，最后越來越接近0。這樣的直觀化、動態(tài)化的實際操作，讓學生能自主性地反思錯誤，形成新的猜想：是否可以將平行四邊形剪拼成長方形，因為在剪拼的過程中周長變化了，而面積沒有發(fā)生變化。據此，學生根據等積變形的原理，認為平行四邊形的面積等于底乘高。在數學教學中，正如心理學家恩布里奇所說：“差錯人皆有之，只有將大量錯誤經驗作為臺階，才能攀登上正確結果的寶座?！?/p>

在數學教學中，教師要善于發(fā)現學生的錯誤，科學、合理、合情地運用學生的錯誤，做到“吹盡黃沙始到金”。要通過設計、研發(fā)相關的活動，引導學生分析錯誤的成因、內容、形式、層次等，從而讓學生能反思所犯的錯誤、批判所犯的錯誤，進而修正所犯的錯誤。

二、以“錯誤”為探究點，激活學生思維

著名的物理學家愛因斯坦認為，“提出一個問題往往比解決一個問題更為重要”。在數學教學中，如果學生的數學學習發(fā)生了錯誤，教師就要及時賦予學生獨立思考、探究的時空，讓學生以錯誤作為探究點、思維點等，并據此展開深度學習。錯誤，從根本上來說就是學生的認知偏差。作為教師，要主動地幫助學生、協助學生認識自我的認知偏差、經驗迷思、相異構想等;要引導學生將錯誤作為一種寶貴的、優(yōu)質的資源;要引導學生在錯誤中自主性、自能性地建構。

比如教學“圓錐的體積”，筆者給學生提供了等底等高、等底不等高、不等底不等高等多種類型的空心圓柱和圓錐，引導學生進行自主性的實驗。在實驗過程中，學生選擇學校跳遠沙坑中的沙子進行數學實驗，但實驗結果卻明顯不一致。有學生將圓錐裝“滿“沙子倒入圓柱，兩杯多一點就倒?jié)M了;有學生將圓錐裝“滿”沙子，倒了三杯還多一些才裝滿了圓柱。為此，筆者引導學生反思實驗過程。通過反思，學生找到了自己實驗過程中存在的種種問題，如選用的素材問題，沙子之間空隙比較大，因而造成了實驗的誤差;如每一次裝沙子裝得滿淺不一，因而造成了實驗結果的差異;如選擇的圓柱和圓錐不是等底等高的，等等。以學生錯誤作為探究點，引導學生反思錯誤、改正錯誤，就能為學生的數學知識建構鋪就成功之路。在這之后，學生改“沙子”為“水”，讓圓錐和圓柱能真正倒?jié)M，從而讓數學實驗走向了精準，自主建構了數學知識。

以“錯誤”作為學生數學學習的探究點，讓學生的數學實踐更富有針對性、實效性。而對錯誤的反思則讓學生認識到錯誤可以利用，可以生發(fā)出更為科學、精準、有效的探究思路、方向和路徑等。在發(fā)現錯誤之后，教師要引導學生快速地分析錯誤的價值，將錯誤轉化為培養(yǎng)數學思維的有利資源。

三、以“錯誤”為生長點，激勵學生探究

學生的數學學習力的提升、數學核心素養(yǎng)的發(fā)展是數學教學的根本性追求。在小學數學教學中，教師可以“錯誤”為學生數學學習的新的生長點，鼓勵、激勵學生不斷探究。教師要發(fā)掘學生在犯錯過程中的閃光點，發(fā)掘學生錯誤中的一些積極性的成分，發(fā)掘學生錯誤中的創(chuàng)新因素等，從而給予學生適度、適當、適時的點撥、鼓勵，讓學生從多個角度、多個方向去審視自我。對于錯誤的因勢利導，能讓學生的數學學習充滿活力。

比如教學“正比例的意義”這一部分內容時，筆者出示了這樣的一道題：圓的半徑和圓的面積成正比例嗎？許多學生由于對正比例的意義僅僅停留在感性認識上，認為一種量擴大，另一種也隨著擴大，那這樣的兩種量就成正比例。從學生的這一錯誤認知出發(fā)，筆者用表格將抽象的數量關系表征出來，由此導引學生發(fā)現這兩種量盡管是相關聯的量，同時一種量擴大（縮?。?，另一種量也隨著擴大（縮?。?，但由于兩種量相對應的兩個數的比值不一定，所以這兩種量不成正比例。在此基礎上，筆者又出示了這樣的一道題：當直徑一定時，圓的周長和圓周率成正比例嗎？由于剛才的錯誤，學生在判斷兩個量是否成正比例、成什么比例時，注意到了要對兩種量之間的等量關系進行變形，所以學生再次掉入陷阱而產生了錯誤。為此，筆者再次引導學生列表假設數據并整理，從而不斷地以學生的錯誤為學生的認知、探究的生長點。通過糾錯，讓學生掌握了判斷兩個數量是否成比例、成什么比例的最為原始的方法。在糾錯的過程中，筆者淡化了對兩種量數量關系的機械分析，從而讓學生建立了對成正比例的量的深刻認識。

德國文學家歌德曾經說，“錯誤與真理的關系，就像睡夢同清醒的關系一樣。一個人從錯誤中醒來，就會以新的力量走向真理”。美國著名教育心理學家桑代克認為，學習的過程就是一個漸進的嘗試錯誤的過程。面對學生的錯誤，教師應當引導學生進行比較、識別，從而讓學生自我審視、糾錯。以錯誤作為生長點，能助推學生數學學習的深度探究。

四、以“錯誤”為促進點，引導學生反思

學生在學習中產生錯誤是自然的，也是能夠理解的。面對錯誤，教師應當以“錯誤”為促進點，引導學生反思。如果我們能引導學生反思錯誤，認識到錯誤的根源，就能讓學生找到化解錯誤的方法、路徑、策略等。引導學生通過反思錯誤提升自我的數學認知判斷力、實踐力是數學教學的更高追求。

例如在教學“認識公頃”這一部分內容時，筆者發(fā)現許多學生對“公頃與平方米”“公頃與平方千米”之間的進率的認識比較模糊，通常都是機械識記。為了深化學生的認知，筆者引導學生反思這種情況。有學生說，他不理解為什么其他相鄰兩個面積單位之間的進率都是100，而平方米和公頃之間的進率卻是10000;有學生說，公頃是一個大單位，平方千米也是一個大單位，兩個單位的大小容易混淆，等等。為此，筆者引導學生進行反思，梳理長度單位、面積單位以及它們之間的對應關系。通過反思，學生提出了積極的猜想，諸如在公頃和平方米之間還有一個單位;公頃是百米的平方，那么一定還有一個十米的平方，等等。在直面問題、反思錯誤后，學生通過補充形成了完整的知識鏈條，即將公畝（十米的平方）這一概念插入公頃和平方米之間，從而完善了學生的認知，填補了學生的認知裂縫。

在數學教學中，錯誤是一種寶貴的資源。錯誤中蘊含著智慧的寶石，錯誤拂過的課堂更顯靈動、鮮活、生動、真實。作為教師，在數學教學中應當善待學生的錯誤、妙用學生的錯誤，引導學生直面問題、反思錯誤，進而讓學生的錯誤有價值。錯誤，能讓學生的思維碰撞出智慧的火花，也能讓學生的數學學習綻放光彩。

作者簡介：印靈靈（1982—），本科學歷，一級教師，從事小學數學教學工作。