楊書剛

[摘 ?要] “問題”“自主”“高效”等詞語，是新課改實施后的流行詞，以問題驅(qū)動探究，促進學(xué)生自主建構(gòu)的教學(xué)模式，是如今數(shù)學(xué)教學(xué)改革的主要取向. 文章以“導(dǎo)數(shù)在函數(shù)研究中的應(yīng)用（單調(diào)性）”教學(xué)為例，具體從“情境創(chuàng)設(shè)，提出問題”“問題驅(qū)動，合作探究”“驗證猜想，建構(gòu)新知”“拓展延伸，深化理解”“實際應(yīng)用，鞏固提升”“及時反思，總結(jié)提煉”等方面，談?wù)劷虒W(xué)實施過程與思考.

[關(guān)鍵詞] 問題驅(qū)動;自主建構(gòu);課堂探究

數(shù)學(xué)教學(xué)的核心任務(wù)是引導(dǎo)學(xué)生在體驗中，感知知識的發(fā)生和發(fā)展過程，讓學(xué)生自主建構(gòu)完整的認知體系，以促進各項數(shù)學(xué)能力的發(fā)展[1]. 實踐證明，“問題引領(lǐng)，自主建構(gòu)”的教學(xué)模式，能有效驅(qū)動學(xué)生的探究意識，讓學(xué)生在深度思維中突破自主建構(gòu)的瓶頸階段，成為數(shù)學(xué)信息的加工主體和知識的建構(gòu)者.

然而調(diào)查發(fā)現(xiàn)，當前的教學(xué)實踐中，教師設(shè)計的問題有的過于簡單、膚淺，缺乏探究價值，課堂表面上欣欣向榮，而學(xué)生的思維卻得不到有效訓(xùn)練;有的過于深奧，超越了大部分學(xué)生的認知水平，學(xué)生無從下手，只能以“注入”的方式實施知識教學(xué)，導(dǎo)致主動建構(gòu)過程缺失. 這兩種情況都無法讓學(xué)生建構(gòu)完整、穩(wěn)固的認知體系.

究竟該如何設(shè)計具有實際教學(xué)意義的問題，引發(fā)學(xué)生的自主探究，實現(xiàn)知識的自主建構(gòu)呢？本文以“導(dǎo)數(shù)在函數(shù)研究中的應(yīng)用（單調(diào)性）”教學(xué)為例，談幾點思考.

[?]教學(xué)設(shè)計

1. 情境創(chuàng)設(shè)，提出問題

新課標高度重視教學(xué)中問題情境的創(chuàng)設(shè)，但教材中所呈現(xiàn)的情境常具有較大的跳躍性，對學(xué)生而言稍顯粗糙. 為了驅(qū)動學(xué)生對新知的探究興趣，教師應(yīng)在教材編者的思路與知識邏輯的基礎(chǔ)上，結(jié)合學(xué)生的實際認知需求，進行問題情境的整理與重構(gòu)，以激發(fā)學(xué)生的認知沖突，啟發(fā)思維，為探究奠定基礎(chǔ).

問題1 某地區(qū)的氣溫變化數(shù)據(jù)顯示凌晨2時到5時的溫度f（x）和時間x接近函數(shù)f（x）=，請分析一下這段時間的氣溫f（x）隨著時間x的變化，出現(xiàn)了怎樣的趨勢.

生1：或許可以將該問題轉(zhuǎn)化為研究f（x）=（x∈[2，5]）單調(diào)性的問題？

師：大家還記得如何判斷一個函數(shù)的單調(diào)性嗎？

生2：可以用定義法或描點法來判斷.

師：這個問題是否能用這兩種方法解決呢？

生3：貌似不行，用描點法畫圖時，存在的誤差比較大，而用定義法運算，對f（x）-f（x）的符號又難以確定.

問題2 也就是說我們現(xiàn)在遇到了一個無法用單調(diào)性定義的“老方法”解決的新問題，此時該怎么辦呢？

生4：或許可以尋找一種新的突破方法.

設(shè)計意圖 與學(xué)生生活相關(guān)的問題情境，讓學(xué)生感知“數(shù)學(xué)源自生活，數(shù)學(xué)知識又為生活服務(wù)”的理念. 隨著問題的探索，學(xué)生發(fā)現(xiàn)用原有的認知無法解決新的問題. 隨著認知沖突的產(chǎn)生，順利地激發(fā)了學(xué)生深入探究的興趣.

2. 問題驅(qū)動，合作探究

知識意義的建構(gòu)與問題的形成與探究是同步推進、相伴相隨的關(guān)系. 隨著核心問題的提出，接下來就是對問題的探究. 俗話說：“單絲不成線，孤木不成林.”一個人的智慧是有限的，而團體的智慧卻是無窮的. 因此，面對一個學(xué)生認知之外的問題，最好的方式就是合作探究，發(fā)揮團體的力量，展開對知識的探索.

問題3 接下來我們再次回到函數(shù)單調(diào)性的定義，以小組合作交流的方式，看看是否有新的收獲.

（小組合作交流）

組1：觀察增函數(shù)的定義，其中有“若x，x為區(qū)間A上的任意兩個值，當x

師：這是一個不錯的發(fā)現(xiàn). 它們同號，能表達什么？你們有什么想法？

組2：從這個規(guī)律來看，這兩個式子的積或商必定為正，也就是>0，由此可確定在區(qū)間A上，連接任意兩點的割線的斜率為正，由此可確定其為增函數(shù).

組3：組2是從圖形上得到為割線斜率的結(jié)論，我們組是從“數(shù)”的角度進行分析的，得到了平均變化率，也就是在區(qū)間A上，任意兩點的平均變化率為正，可得增函數(shù)這個結(jié)論.

師：還有其他方法能尋找到割線斜率為正的結(jié)論嗎？

組4：是否可以用瞬時變化率？（不確定）

組5：曲線的平均變化趨勢可以用割線的斜率來反映，若其中的一點與另一點無限逼近時，割線則為該點處的切線，而切線的斜率能反映出曲線的瞬時變化情況，貌似可從這個角度來分析.

師：從“逼近”的思路來分析非常好！如果函數(shù)f（x）在某一點可導(dǎo)，那么說明函數(shù)f（x）在該點附近的圖像與一次函數(shù)的圖像近似，也就是曲線在某一點附近的圖像可視為一條切線，這就是典型的“以直代曲”. 如果該點處的切線斜率是正的或負的，可從圖像變化趨勢上發(fā)現(xiàn)什么嗎？

組6：可看到函數(shù)f（x）在該點處是上升還是下降的變化趨勢.

師：若函數(shù)f（x）在區(qū)間A內(nèi)的任何點都具備相同的變化趨勢，則函數(shù)f（x）在區(qū)間A上的整體變化趨勢與單調(diào)性是怎樣的？

如圖1—4所示，在學(xué)生思考的同時，教師借助幾何畫板，結(jié)合學(xué)生舉例進行展示，要求學(xué)生說出自己的發(fā)現(xiàn).

組7：如果函數(shù)f（x）在區(qū)間A內(nèi)的任意點處都呈一種趨勢（上升或下降），那么說明函數(shù)f（x）的圖像也呈一種趨勢（上升或下降），函數(shù)f（x）單調(diào)遞增或單調(diào)遞減. 因此，區(qū)間A內(nèi)函數(shù)切線的斜率對判斷函數(shù)圖像的變化趨勢有直接影響，即對判斷函數(shù)的單調(diào)性有直接影響. 也就是說切線斜率大于0，說明函數(shù)單調(diào)遞增;切線斜率小于0，說明函數(shù)單調(diào)遞減.

師：這是一個看似很有道理的猜想，現(xiàn)在我們一起驗證一下這個猜想. 請各位同學(xué)填寫表1，并舉例驗證.

學(xué)生經(jīng)過自主驗證與合作釋疑后，各組展示相關(guān)結(jié)論. 教師從中選擇有代表性的結(jié)論進行展示、交流.

問題4 通過以上探究，我們得到了怎樣的結(jié)論？

生5：通過探究，我們猜想如下：函數(shù)f（x），若在某區(qū)間上f′（x）>0，則f（x）是該區(qū)間上的增函數(shù);若在某區(qū)間上f′（x）<0，則f（x）是該區(qū)間上的減函數(shù).

設(shè)計意圖：通過結(jié)論間的內(nèi)在聯(lián)系來看，探究過程并不簡單，以學(xué)生認知的最近發(fā)展區(qū)為起點，引導(dǎo)學(xué)生將所學(xué)知識聯(lián)系到一起，從不同角度去分析，讓學(xué)生在自主探究、合作交流中，從“數(shù)”的角度轉(zhuǎn)化函數(shù)的單調(diào)性定義，探尋出>0成立的條件;再從“形”的視角，動態(tài)演示函數(shù)切線的變化情況，鼓勵學(xué)生在觀察、比較中分析導(dǎo)數(shù)正負和函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，以發(fā)現(xiàn)規(guī)律.

史寧中教授認為，數(shù)學(xué)結(jié)論的探尋常常是“看”出來的[2]. 此教學(xué)過程中獲得的所有結(jié)論，都是學(xué)生經(jīng)過自主分析、探索而非教師“灌輸”而來的，這種模式與史教授提出的“數(shù)形結(jié)合思想”相契合. 學(xué)生在探究過程中，親歷問題的發(fā)生過程，“看”到結(jié)論的形成與發(fā)展情況，有效提升了數(shù)學(xué)抽象能力，培養(yǎng)了轉(zhuǎn)化與化歸以及數(shù)形結(jié)合思想，為核心素的形成奠定了基礎(chǔ).

3. 驗證猜想，建構(gòu)新知

探究活動的開展，學(xué)生獲得了一定的猜想，而這些猜想是否合理呢？這就需要用一定的手段進行驗證. 猜想的證明過程能啟發(fā)學(xué)生的思維，讓學(xué)生在新的感悟中建構(gòu)新知.

問題5 如圖5所示，觀察函數(shù)f（x）在區(qū)間A內(nèi)的圖像，若x，x（x，x∈A）為兩個確定的值，P（x，y），Q（x，y）為兩個定點，割線PQ的斜率是否為>0？

生6：單從圖像來看，這個說法是成立的.

師：有沒有辦法來確定？

生7：如圖6所示，平移割線PQ，使它與曲線在點S處相切，可得k==f′（x），由于區(qū)間A內(nèi)f′（x）>0，x∈A，因此可得f′（x）>0.

問題6 若P，Q為區(qū)間A內(nèi)曲線上的任意兩點，還能確保f′（x）>0成立嗎？

生8：若P，Q為區(qū)間A內(nèi)曲線上的任意兩點，因為區(qū)間A內(nèi)f′（x）>0，可確定f′（x）=>0恒成立. 雖然點S會隨著點P，Q的變化而改變，無法確定點S的具體位置，但它一直存在.

師：太精辟了！的確，雖然不知道點S的位置具體在哪里，但它確實存在. 現(xiàn)在請大家根據(jù)以上驗證情況，說說你們的結(jié)論.

生9：對于函數(shù)f（x），在某個區(qū)間上若f′（x）大于零，則f（x）是這個區(qū)間上的增函數(shù);在某個區(qū)間上若f′（x）小于零，則f（x）是這個區(qū)間上的減函數(shù);若f′（x）恰巧為零，則f（x）是這個區(qū)間上的常數(shù)函數(shù).

設(shè)計意圖：證明猜想的結(jié)論有一定難度，有些教師怕麻煩，就讓學(xué)生直接記住結(jié)論，而后引導(dǎo)學(xué)生實際應(yīng)用結(jié)論. 如此，或許課堂氛圍也和諧，學(xué)生的正確率也不錯，但學(xué)生對結(jié)論的理解會永遠停留在表淺階段，對導(dǎo)數(shù)正負和函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系一知半解，這為后期解決綜合性問題埋下了隱患.

缺乏驗證的結(jié)論，用起來就像無源之水. 而循循善誘、由淺入深地引導(dǎo)學(xué)生驗證猜想，不僅能突破教學(xué)難點，也能啟發(fā)思維，挖掘出該結(jié)論真正意義上的教學(xué)價值，為后期微積分的學(xué)習(xí)夯實了基礎(chǔ).

4. 拓展延伸，深化理解

問題7 同學(xué)們總結(jié)得很到位，那么該結(jié)論的逆命題是否成立呢？即若f（x）在某個區(qū)間上是增函數(shù)，則在此區(qū)間上f′（x）>0是否成立？

生10：不成立，借助幾何畫板能夠發(fā)現(xiàn)f（x）=x3在R內(nèi)是增函數(shù)，但是f′（0）=0.

師：也就是說，若f（x）在某個區(qū)間上是增函數(shù)，則在此區(qū)間上f′（x）≥0. 反之，若在某個區(qū)間上，已知f′（x）≥0，則f（x）在該區(qū)間上是增函數(shù). 這種說法合理嗎？

生11：這種說法不合理，f′（x）≥0存在f′（x）>0和f′（x）=0兩種情況，而f′（x）=0說明f（x）為常數(shù)函數(shù)，并不具備單調(diào)性特征.

問題8 我們應(yīng)該怎么表述，才能讓命題成立？

生12：在某個區(qū)間上，如果f′（x）≥0，同時此區(qū)間的任何一個子區(qū)間上的f′（x）≠0，那么f（x）在這個區(qū)間上是增函數(shù). 其中有一個特殊情況，即若干個不連續(xù)的點處的導(dǎo)數(shù)是可以為零的.

設(shè)計意圖：引領(lǐng)學(xué)生在親自觀察、交流與體驗中參與問題的設(shè)計，在對逆命題的研究中，促進學(xué)生逆向思維的發(fā)展，從而使其有效地深入理解問題的本質(zhì)，提升思辨能力.

5. 實際應(yīng)用，鞏固提升

練習(xí)1：函數(shù)f（x）=2x3-5x2+7位于哪些區(qū)間上是增函數(shù)？

練習(xí)2：怎么確定函數(shù)f（x）=sinx（x∈（0，3π））的單調(diào)遞減區(qū)間？

練習(xí)3：思考函數(shù)f（x）=（x∈[2，5]）具備怎樣的單調(diào)性.

設(shè)計意圖：課堂練習(xí)是深化學(xué)生對知識理解與應(yīng)用的過程，讓學(xué)生在練習(xí)中通過模仿、辨識建構(gòu)認知. 練習(xí)逐層深入，由淺入深，使學(xué)生深切體會在問題驅(qū)動下，探究的實際價值.

6. 及時反思，總結(jié)提煉

師：通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，大家有什么收獲？

生13：本節(jié)課中，我們應(yīng)用了以直代曲、轉(zhuǎn)化與化歸以及數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想方法，這幾個數(shù)學(xué)思想方法能簡化問題，為后繼的解題服務(wù).

[?]教學(xué)思考

1. 將教學(xué)目標作為問題的出發(fā)點

教學(xué)活動都是圍繞教學(xué)目標而開展的，教學(xué)目標是一節(jié)課的方向目標，它決定著本節(jié)課教師該教些什么，學(xué)生要學(xué)些什么，對知識的理解應(yīng)達到怎樣的程度，獲得怎樣的能力，等等. 只有深刻理解教學(xué)目標，才能精準設(shè)計問題，讓學(xué)生明確探究方向.

本節(jié)課揭示的導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的概念比較抽象，而且是教學(xué)重點之一. 因此，教師首先引導(dǎo)學(xué)生回顧原有的知識，然后結(jié)合學(xué)生的實際情況，引導(dǎo)學(xué)生開展深入、有效的探究活動，為知識的建構(gòu)奠定基礎(chǔ).

2. 將最近發(fā)展區(qū)作為問題的著力點

最近發(fā)展區(qū)是維果斯基的經(jīng)典理論之一，對教師的教學(xué)設(shè)計具有指導(dǎo)意義. 以學(xué)生認知的最近發(fā)展區(qū)作為問題的著力點，既讓學(xué)生感知問題的挑戰(zhàn)性，又能有效激發(fā)學(xué)生思考. 學(xué)生在自主探究中，抽絲剝繭，獲得探究的成就感，從而形成良性循環(huán).

比如本節(jié)課中證明猜想的結(jié)論時，教師先降低難度，以推動所有學(xué)生參與探究，讓學(xué)生以“P，Q為區(qū)間A內(nèi)曲線上的定點”為探究起點，隨著探究的深入，思維拾級而上，新的結(jié)論隨著P，Q在曲線上的變化而誕生.

3. 將數(shù)學(xué)思想方法作為問題的落腳點

數(shù)學(xué)教學(xué)不僅是知識與技能的教學(xué)，更是數(shù)學(xué)思想方法的滲透過程[3]. 數(shù)學(xué)思想方法是從數(shù)學(xué)認識中概括、提煉出來的精華，對學(xué)習(xí)具有重要的幫助. 鑒于此，教師設(shè)計問題時，應(yīng)想方設(shè)法挖掘知識背后蘊含的思想方法，并將它們巧妙地融合到學(xué)生的探究活動中，引導(dǎo)學(xué)生自主體驗、感悟.

總之，以問題驅(qū)動探究，促進學(xué)生自主建構(gòu)的教學(xué)模式，能有效地彌補傳統(tǒng)教學(xué)模式的缺陷，為課堂帶來新的生命力. 但這種教學(xué)模式有它自身的特點與應(yīng)用范圍，并非時時處處可用，不能將這種教學(xué)模式代替所有的教學(xué)模式. 教學(xué)中，教師應(yīng)根據(jù)教學(xué)內(nèi)容與學(xué)生的實際情況，選擇搭配教學(xué)模式，從真正意義上優(yōu)化課堂教學(xué)，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

參考文獻：

[1] ?龐維國.論學(xué)生的自主學(xué)習(xí)[J]. 華東師范大學(xué)學(xué)報（教育科學(xué)版），2001（02）：78-83.

[2] ?史寧中. 數(shù)學(xué)基本思想18講[M]. 北京：北京師范大學(xué)出版社，2016.

[3] ?戴銅. 促進自主學(xué)習(xí)，體驗成長快樂——基于學(xué)生個性化學(xué)習(xí)的學(xué)校文化生態(tài)建設(shè)[J]. 江蘇教育，2010（32）：51-52.