APOS理論視角下數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)概念教學(xué)的探析

蔡璐 韓祥臨

［摘? 要］ 基于APOS理論的四個教學(xué)階段探尋初中生數(shù)學(xué)知識建構(gòu)的心理過程，以“平方差公式”教學(xué)為例，先依據(jù)史料適切性原則合理選取歷史素材，再采用多元化方式巧妙融入教學(xué)活動，以問題為主軸、思維為主攻、體驗為主線設(shè)計教學(xué)活動，使學(xué)生明確平方差公式學(xué)習(xí)的必要性，同時彰顯數(shù)學(xué)史的育人價值.

［關(guān)鍵詞］ APOS理論；HPM；初中數(shù)學(xué)教學(xué)；平方差公式

引言

APOS理論是美國學(xué)者杜賓斯基等人提出的一種基于建構(gòu)主義學(xué)說的數(shù)學(xué)概念教學(xué)理論，深入探討了學(xué)生對于數(shù)學(xué)知識的解構(gòu)與建構(gòu)過程，并將數(shù)學(xué)概念的獲得劃分為“操作（Action）、過程（Process）、對象（Object）、圖式（Schema）”四個相互銜接、層層遞進的階段，彰顯了以生為本的教育理念. 立足初中數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容，落實APOS教學(xué)理論，踐行HPM（數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育）教學(xué)方法，以數(shù)學(xué)史和相關(guān)典故為載體，引經(jīng)據(jù)典、以文載道，可以將枯燥的數(shù)學(xué)概念、抽象的數(shù)學(xué)思想、刻板的數(shù)學(xué)內(nèi)容變得生動形象. 因此，教師應(yīng)充分考慮初中生的最近發(fā)展區(qū)，選取適切的歷史素材，以問題為主軸、思維為主攻、體驗為主線設(shè)計教學(xué)活動，自然地融入數(shù)學(xué)史料，使學(xué)生感悟不同時代、不同背景下數(shù)學(xué)文化的無限魅力，領(lǐng)會其中所蘊含的人文精神，發(fā)揮數(shù)學(xué)史獨特的育人價值.

史料的選取與融入

（一）遵循史料適切性原則選取教學(xué)素材

在史料選取方面，應(yīng)該嚴格遵循史料適切性原則，依據(jù)汪曉勤教授提倡的“趣味性、科學(xué)性、有效性、可學(xué)性和新穎性”等五項原則［1］，貼合教材內(nèi)容和課標要求選取適宜初中生知識建構(gòu)的歷史素材.

操作階段強調(diào)創(chuàng)設(shè)合理的問題情境，讓學(xué)生親身體驗，感悟數(shù)學(xué)史中平方差公式的巧妙應(yīng)用，形成初步認知.據(jù)古希臘評注家普羅克洛斯（Proclus，410—485）記載，由于農(nóng)民的知識和經(jīng)驗有限，在分配土地時經(jīng)常受到土地主的欺騙，將周長相等面積更小的土地租給農(nóng)民，從中牟利. 著名數(shù)學(xué)家歐拉（Euler，1707—1783）小時候利用等周知識“智改羊圈”，幫父親解決了在周長100米不變情況下所得羊圈面積最大的問題. 與芝諾多羅斯（Zenodorous，約公元前2世紀）在《論等周圖形》中證明的“在邊數(shù)相同的等周多邊形中，等邊且等角的多邊形面積最大”這一命題有著異曲同工之妙［2］. 因此，該階段選用能夠引起學(xué)生認知沖突的等周問題，可以激發(fā)學(xué)生的探索欲望.

過程階段在學(xué)生對平方差公式的概念有初步認知的基礎(chǔ)上，不斷加強對公式的內(nèi)化理解，了解其幾何背景，明確其幾何表達. 公元3世紀，中國古代數(shù)學(xué)家趙爽就利用“面積割補法”證明了平方差公式（c+b）（c-b）=c2-b2，揭示了其幾何意義（如圖1），并在《周髀算經(jīng)》中將其注釋為“勾股圓方圖”：“勾實之矩以股弦差為廣，股弦并為袤，而股實方其里. 股實之矩以勾弦差為廣，勾弦并為袤，而勾實方其里.”［3］劉徽所注釋的《九章算術(shù)》也有類似論述. 因此，該階段引導(dǎo)學(xué)生利用“面積割補法”得到更加豐富的面積表達形式，不僅可以提高學(xué)生的動手操作能力，還能培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想.

對象階段注重揭示概念本質(zhì)，結(jié)合教材和史料逐步把平方差公式的表達轉(zhuǎn)化為符號語言，賦予其形式化的定義，形成具體數(shù)學(xué)對象. 例題采用古希臘數(shù)學(xué)家丟番圖（Diophantus，公元3世紀）所著《算術(shù)》第1卷第27題：“已知兩個正數(shù)和與積，求這兩個數(shù).”解法與古巴比倫泥板記載的“和差術(shù)”一致［4］，其實質(zhì)在于將二元問題轉(zhuǎn)化為一元問題. 該階段重在利用經(jīng)典例題辨析平方差公式的本質(zhì)，使學(xué)生明確可以應(yīng)用公式的具體情形，引導(dǎo)學(xué)生依據(jù)公式繪制圖形，提升直觀想象素養(yǎng)，實現(xiàn)符號、圖形和文字語言的自如轉(zhuǎn)換.

圖式階段的關(guān)鍵在于將所學(xué)概念納入知識體系，能與舊知建立內(nèi)在聯(lián)系，也能為新知學(xué)習(xí)提供生長點.平方差公式既鞏固了多項式乘法法則，又為完全平方公式、因式分解的學(xué)習(xí)奠定了基礎(chǔ).因此，該階段應(yīng)注重知識系統(tǒng)性，適當(dāng)融入歐幾里得（Euclid，公元前3世紀）《幾何原本》第Ⅱ卷命題5的幾何圖形（如圖2），其中C為AB中點，將圖形轉(zhuǎn)化為現(xiàn)代符號語言ab=

-

，這是有關(guān)平方差公式的精彩變形，體現(xiàn)字母表示數(shù)的整體性，豐富學(xué)生對平方差公式的認識.

（二）落實多元化方式融入教學(xué)素材

“平方差公式”是人教版八年級上冊第14章第二節(jié)的內(nèi)容，是在學(xué)生掌握多項式乘法的基礎(chǔ)上展開學(xué)習(xí)的特殊形式的多項式乘法，體現(xiàn)了由一般到特殊的教學(xué)思路. 教材以3道運算探究題入手引導(dǎo)學(xué)生在計算過程中發(fā)掘運算規(guī)律，觀察算式共性特征，并用字母簡潔表示平方差公式，借助圖形面積展示平方差公式的幾何意義，最后以典型的計算例題作為本節(jié)的結(jié)尾. 教材中相關(guān)內(nèi)容的呈現(xiàn)主要集中于精練的文字語言和形象的符號語言，這得益于16世紀數(shù)學(xué)家韋達（Fran?ois Viète，1540—1603）創(chuàng)立的符號代數(shù)，使得平方差公式能夠由幾何形式發(fā)展為符號形式，但教材并未將這一發(fā)展過程體現(xiàn)出來，更未交代學(xué)習(xí)平方差公式的必要性. 作為初中階段學(xué)生接觸的第一個數(shù)學(xué)公式，教師應(yīng)該有意識地將相關(guān)數(shù)學(xué)史融入教學(xué)內(nèi)容，讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)知識和方法的產(chǎn)生、發(fā)展和應(yīng)用過程.

基于APOS理論的特點，梳理了與每一階段相對應(yīng)的平方差公式史料，但還需結(jié)合初中生的認知水平及生活經(jīng)驗設(shè)計史料的融入方式. 附加式、復(fù)制式、順應(yīng)式和重構(gòu)式是目前最為常見的數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)的方式［4］，在充分考慮每種方式的作用及特點后設(shè)計如下史料融入方式（見表1）.

結(jié)合以上思考與分析，從HPM視角擬定了以下三維教學(xué)目標：

知識與技能：

（1）經(jīng)歷平方差公式的探索及推導(dǎo)過程，掌握平方差公式的本質(zhì)，即結(jié)構(gòu)不變性和字母可變性；

（2）理解平方差公式的幾何意義，能進行符號、圖形及文字語言的轉(zhuǎn)換.

過程與方法：

（1）通過等周問題引入平方差公式，站在歷史的角度感悟公式的實際應(yīng)用，再采用面積割補法深入理解（a+b）（a-b）=a2-b2的幾何意義；

（2）在和差術(shù)背景下辨析公式應(yīng)用情況，能進行簡單的運算，培養(yǎng)運用平方差公式解決相應(yīng)問題的能力.

情感態(tài)度與價值觀：

（1）通過對幾何圖形的裁剪拼接，培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象核心素養(yǎng)，增強幾何圖形表達能力，提升數(shù)形結(jié)合思想；

（2）強調(diào)公式中a，b的整體性，讓學(xué)生樹立數(shù)學(xué)整體思想，加強符號意識，體會符號表達公式的簡潔美；

（3）通過融入數(shù)學(xué)史感知數(shù)學(xué)文化的魅力，增強學(xué)生的愛國情懷和民族自信，體驗數(shù)學(xué)背后的人文精神.

教學(xué)的設(shè)計與實施

（一）操作階段——等周情境，感悟公式

問題1：為防止草地退化，某部門規(guī)定每只羊平均占地面積不多于6平方米. 一牧民家中有羊100只，為響應(yīng)號召，牧民打算在羊圈周長不變的情況下，按照圖3將原先邊長為25米的正方形羊圈進行改造，即將其中一邊長削減的5米添加到鄰邊，請你幫牧民計算一下，改造后的羊圈滿足了這一規(guī)定嗎？你又是如何判斷的呢？

（252>（25+5）（25-5）=600）

揭示數(shù)學(xué)史：“智改羊圈”問題來自著名數(shù)學(xué)家歐拉小時候的故事. 小歐拉曾一邊牧羊，一邊讀書，運用數(shù)學(xué)知識幫父親解決了等周情況下所得正方形羊圈面積最大的問題. 你能運用代數(shù)或幾何的形式對其進行解釋嗎？

預(yù)設(shè)：代數(shù)，設(shè)正方形邊長為a，面積為a2. 將一邊長削減b（0≤b

設(shè)計意圖 操作階段為貼合學(xué)生的認知水平和當(dāng)前教學(xué)實際，采用順應(yīng)式合理改編小歐拉“智改羊圈”的等周問題. 首先，以草場退化為背景，滲透環(huán)保意識，以具體數(shù)字呈現(xiàn)牧民羊圈面積大小，降低學(xué)習(xí)難度，初步搭建幾何圖形與代數(shù)式之間的關(guān)系，探究出前后面積之差為陰影部分的小正方形面積，并列出等式252=（25+5）（25-5）+52，讓學(xué)生對平方差公式的幾何意義有所感知. 其次，揭示情境中蘊含的數(shù)學(xué)史，用字母表示數(shù)，將算式由特殊推廣到一般，再結(jié)合幾何圖形得出平方差公式為過程階段做好鋪墊，讓學(xué)生感悟數(shù)學(xué)知識的實際應(yīng)用.

（二）過程階段——面積割補，探究新知

問題2：如圖5，從邊長為a的大正方形紙片中減去一邊長為b的小正方形，剩余圖形面積為多少？除了列式計算，你能用幾何拼接的形式將其表示出來嗎？請小組利用課前準備的正方形紙片進行裁剪拼接，3分鐘后由同學(xué)來分享合作探究的成果.

預(yù)設(shè)：

①沿小正方形邊長作切割線（如圖6）；

②沿正方形對角線作切割線（如圖7）.

由以上兩種切割方式最終拼接圖形面積都可表示為：（a+b）（a-b）=a2-b2.

揭示數(shù)學(xué)史：①中所運用的切割方法是公元3世紀我國古代數(shù)學(xué)家趙爽“負薪余日，聊觀《周髀》”所發(fā)現(xiàn)的面積割補法（如圖1），用以證明平方差公式，在《周髀算經(jīng)》中注釋為“勾股圓方圖”. 面積割補法是一種常見的作圖解題的數(shù)學(xué)方法，在劉徽所注釋的《九章算術(shù)》中稱為出入相補原理（又稱以盈補虛），將一個圖形經(jīng)過分割、移補來計算面積，是數(shù)量中平均思想在幾何上的體現(xiàn).

設(shè)計意圖 過程階段通過小組合作的形式探究平方差公式的幾何意義，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合能力的同時，有益于提升學(xué)生的直觀想象核心素養(yǎng). 采用重構(gòu)式引導(dǎo)學(xué)生在剪拼正方形紙片的過程中，思路自然接軌中國古代數(shù)學(xué)家趙爽的“面積割補法”，將不規(guī)則陰影圖形轉(zhuǎn)化為學(xué)生熟知的四邊形，利用等積關(guān)系建立等式，讓學(xué)生領(lǐng)會數(shù)學(xué)家的深刻思想與巧妙方法，樹立學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心，增強愛國情懷和民族自豪感.

（三）對象階段——典例分析，揭示本質(zhì)

問題3：幾何視角下的面積探究得到了式子（a+b）（a-b）=a2-b2，你能發(fā)現(xiàn)該式子蘊含的結(jié)構(gòu)特征并用語言進行描述嗎？

預(yù)設(shè)：整個式子含有兩個數(shù)，前一個括號是兩數(shù)之和，后一個括號是這兩數(shù)之差，其中符號相同的a稱為相同項，符號相反的b稱為相反項，二者乘積等于這兩數(shù)平方差，故稱為平方差公式（如圖8）.

問題4：判斷下列各式計算是否正確？若錯誤請加以修改，并指出α，b分別表示什么.

判斷正誤：

（1）（a+b）（b-a）=a2-b2；

（2）（x+2）（x-2）=x2-2；

（3）（-3a-2）（3a-2）=9a2-4；

（4）

n+m

n-m

=n2-m2；

（5）（-x+2y）（-x-2y）=-x2-4y2；

（6）（x-2y+1）（x+2y-1）=x2-（2y+1）2.

問題5：公元3世紀，古希臘數(shù)學(xué)家丟番圖在其《算術(shù)》第1卷第27題中記載：已知兩數(shù)和為20，乘積為96，求這兩個數(shù).你能利用平方差公式解決這一問題嗎？

預(yù)設(shè)：兩個數(shù)不能同時大于10，也不能同時小于10，必定一個大于10，一個小于10.可設(shè)一個數(shù)為10+x，另一個數(shù)為10-x，二者乘積形式（10+x）（10-x）符合公式結(jié)構(gòu)，運用平方差公式（10+x）（10-x）=102-x2計算得x=2，兩個數(shù)分別為12和8.

揭示數(shù)學(xué)史：丟番圖“二元問題”的解法與古巴比倫數(shù)學(xué)泥板記載的“和差術(shù)”不謀而合，能讓學(xué)生從中體會到數(shù)學(xué)知識和數(shù)學(xué)文化的傳承及應(yīng)用. “YBC4663泥板”載有這樣一道二元問題

x+y=6，

xy=7.［5］你能用和差術(shù)進行求解嗎？

預(yù)設(shè)：設(shè)x=3+t，y=3-t，于是得xy=

3+t

3-t

=7，即

-t2=7，于是t=1，x=5，y=1.

設(shè)計意圖 操作和過程階段我們從“形”的視角探索了（a+b）（a-b）=a2-b2，對象階段我們選取“數(shù)”的視角對（a+b）（a-b）=a2-b2進行剖析，揭示本質(zhì). 問題4采用了教材例題，體現(xiàn)教材的示范性，其中a，b分別以數(shù)、單項式、多項式呈現(xiàn)，著重對公式中相同項和相反項進行辨析，加深學(xué)生對結(jié)構(gòu)不變性和字母可變性的理解. 問題5以數(shù)學(xué)史的方式融入平方差公式在解決二元一次方程組中的有效應(yīng)用，不同于先前直接呈現(xiàn)式子判斷正誤，此處滲透了方程和換元思想，豐富了公式的運用情形.

（四）圖式階段——拓展深化，豐富認知

問題6：公元前300年，古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得在《幾何原本》第Ⅱ卷命題5中，用巧妙的幾何圖形證明了平方差公式，但其形式與今天所學(xué)存在差異，你能依據(jù)圖2列出圖形所示公式嗎？

預(yù)設(shè)：由于AD=a，BD=b，C為AB中點，所以CB=，CD=，由S+S=S-S可得b

+

=

-

，化簡得ab=

-

.

由面積關(guān)系可發(fā)現(xiàn)S+S=S=S-S.

課堂小結(jié)：

（1）你能用圖形、符號和文字語言表達平方差公式嗎？

（2）平方差公式的本質(zhì)是什么？

（3）看似枯燥的平方差公式居然蘊藏了如此豐富的數(shù)學(xué)史，哪一個令你印象最深刻？

揭示數(shù)學(xué)史：歐幾里得用圖2巧妙證明的公式屬于平方差公式的精彩變形，其相同項為，相反項為. 歐幾里得的《幾何原本》建立了人類歷史上第一個公理體系（也稱演繹邏輯體系），它的邏輯演繹范式幾乎決定了自它之后整個西方數(shù)學(xué)和科學(xué)的表達方式.在這一部宏偉著作中還蘊含了許多以后我們要學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識，讓我們一起期待與它們的相遇.

設(shè)計意圖 在之前的學(xué)習(xí)中，我們已經(jīng)從代數(shù)和幾何兩個角度對平方差公式進行了探究，對其結(jié)構(gòu)不變性和字母可變性的特征已有所掌握. 引入歐幾里得幾何圖解所得的變形公式，能突破學(xué)生思維定式，豐富學(xué)生對平方差公式的認識. 簡述《幾何原本》的歷史地位使學(xué)生感悟所學(xué)知識的重要性，并為后續(xù)學(xué)習(xí)做好了鋪墊. 以提問反思形式進行的課堂小結(jié)有利于梳理學(xué)生的知識體系，搭建幾何、代數(shù)和文字相互轉(zhuǎn)譯的橋梁，為完全平方公式和因式分解的學(xué)習(xí)提供了思維方向.

結(jié)束語

APOS理論的本質(zhì)是用操作、過程、對象和圖式來表示數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)中的動態(tài)心理過程，為搭建結(jié)構(gòu)化的知識體系助力. 數(shù)學(xué)史的自然融入使原本單調(diào)的數(shù)學(xué)課堂變得有趣起來，能在不同階段的知識探索過程中選取典型素材推陳出新，感悟數(shù)學(xué)家的所思所想，體現(xiàn)了知識之諧、方法之美和探究之樂. 適切的歷史素材和多元的融入方式保障了教學(xué)活動的豐富性，古巴比倫、古希臘、古代中國以及近現(xiàn)代等諸多數(shù)學(xué)著作上記載著平方差公式的探究與應(yīng)用，不僅能使學(xué)生體會數(shù)學(xué)知識在傳承與發(fā)展中展現(xiàn)的文化魅力，還能體現(xiàn)數(shù)學(xué)史料在課堂教學(xué)運用中彰顯的德育功效.

參考文獻：

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