重視設(shè)計(jì) 引領(lǐng)探究

陳帥

［摘? 要］ 高三數(shù)學(xué)課堂時(shí)間有限，而復(fù)習(xí)面廣量大，因此提高教學(xué)效率自然成了高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課堂的首要任務(wù). 為了提高復(fù)習(xí)課教學(xué)效率，教師要根據(jù)不同階段的教學(xué)目標(biāo)精心設(shè)計(jì)課堂教學(xué)，通過(guò)精講精練、多解拓展、變式強(qiáng)化等方式提高學(xué)生綜合分析、綜合應(yīng)用等能力，提高學(xué)生的解題效率以及數(shù)學(xué)素養(yǎng).

［關(guān)鍵詞］ 教學(xué)效率；精心設(shè)計(jì)；數(shù)學(xué)素養(yǎng)

提高高三復(fù)習(xí)課教學(xué)效率，提升學(xué)生數(shù)學(xué)能力和數(shù)學(xué)思維品質(zhì)，是高三數(shù)學(xué)教師的共同追求. 為了實(shí)現(xiàn)這一追求，教師要在不同階段制定不同的教學(xué)目標(biāo). 第一階段側(cè)重“雙基”，通過(guò)系統(tǒng)梳理幫助學(xué)生完善知識(shí)體系，便于學(xué)生更加系統(tǒng)、更加全面地掌握基礎(chǔ)知識(shí)，促進(jìn)知識(shí)遷移. 然在此階段，部分教師常用畫(huà)圖標(biāo)、總結(jié)概況等方式來(lái)幫助學(xué)生完成知識(shí)梳理，教師獨(dú)占課堂，課堂上缺乏學(xué)生獨(dú)立思考和主動(dòng)探究，教師講得斗志昂揚(yáng)，而學(xué)生卻聽(tīng)得無(wú)精打采，學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性難以激發(fā). 第二階段側(cè)重專項(xiàng)復(fù)習(xí)，注重?cái)?shù)學(xué)思想方法的提煉和技能的提升. 但是在此階段，部分教師常選取一個(gè)典型例題揭示數(shù)學(xué)思想方法后，立即給出一個(gè)相應(yīng)的習(xí)題讓學(xué)生進(jìn)行練習(xí)，其目的雖然是幫助學(xué)生進(jìn)行知識(shí)強(qiáng)化，然因缺乏自主探究過(guò)程，使得學(xué)生對(duì)知識(shí)點(diǎn)的理解不夠深入，因此解題時(shí)常模仿和套用，出現(xiàn)了“會(huì)而不懂”的現(xiàn)象. 第三階段側(cè)重通過(guò)模擬考試的方式提升學(xué)生的應(yīng)試能力，同時(shí)通過(guò)習(xí)題的測(cè)試反饋及時(shí)進(jìn)行查漏補(bǔ)缺. 然在此階段，部分教師在試卷評(píng)講時(shí)不重視試卷分析，對(duì)涉及相同知識(shí)點(diǎn)的內(nèi)容也不進(jìn)行分類(lèi)，只是就題論題、逐一講解. 這樣的試卷評(píng)講單一、低效，不僅浪費(fèi)寶貴的高三復(fù)習(xí)時(shí)間，而且容易讓學(xué)生產(chǎn)生厭煩情緒，教師的主導(dǎo)和學(xué)生的主體地位都難以得到有效發(fā)揮.

如何提高高三復(fù)習(xí)有效性一直是高三數(shù)學(xué)教學(xué)的熱點(diǎn)話題，筆者結(jié)合“函數(shù)性質(zhì)”的復(fù)習(xí)，談幾點(diǎn)自己在教學(xué)中的心得體會(huì)，僅供參考！

[?]提出問(wèn)題

高三可謂是數(shù)學(xué)成績(jī)提升的關(guān)鍵期. 為了能夠快速提高成績(jī)，大多數(shù)師生習(xí)慣應(yīng)用“題海戰(zhàn)術(shù)”，然高三數(shù)學(xué)涉及的知識(shí)面廣，題型多變，學(xué)生即使刷了很多題，收益也甚微. 其實(shí)在復(fù)習(xí)教學(xué)中，教師應(yīng)該認(rèn)真研究教學(xué)、研究考綱、研究學(xué)生，堅(jiān)持“以生為主”，鼓勵(lì)學(xué)生積極思考、自主反思，并在教學(xué)過(guò)程中充分展示學(xué)生的思維過(guò)程，這樣既能調(diào)動(dòng)學(xué)生參與學(xué)習(xí)的積極性，又能充分暴露學(xué)生存在的問(wèn)題，為復(fù)習(xí)教學(xué)提供有效的課堂資源，從而提升教學(xué)的有效性.

例1 已知函數(shù)f（x）=x2+4x，x≥0，

4x-x2，x<0， 若f（2-a2）>f（a），則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________.

生1：例1可以采用分類(lèi)討論的方法求解，當(dāng)x∈［0，+∞）時(shí)，函數(shù)f（x）為單調(diào)增函數(shù)；當(dāng)x∈（-∞，0）時(shí)，函數(shù)f（x）也為單調(diào)增函數(shù). 所以函數(shù)f（x）在R上為增函數(shù)，所以f（2-a2）>f（a）?2-a2>a，這樣實(shí)數(shù)a的取值范圍可以輕松求得了.

師：對(duì)于生1的解題過(guò)程，大家有不同的意見(jiàn)嗎？

生2：根據(jù)函數(shù)f（x）在相應(yīng)區(qū)間內(nèi)遞增就認(rèn)為其在R上是增函數(shù)顯然是存在問(wèn)題的，還應(yīng)滿足第一段上的f（0）不小于第二段上的f（0）.

師：補(bǔ)充得很好，這樣既揭示了分段函數(shù)單調(diào)性的判斷方法，又給出了注意事項(xiàng)，思維嚴(yán)謹(jǐn)，思路清晰. 不過(guò)在解決這類(lèi)問(wèn)題時(shí)，一定要分類(lèi)討論嗎？

生3：本題可以直接畫(huà)出函數(shù)圖像，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思路求解.

師：說(shuō)一說(shuō)你的解題過(guò)程.

生3：由函數(shù)的圖像可知，f（x）在R上為增函數(shù)，同時(shí)函數(shù)f（x）也是奇函數(shù)，所以f（2-a2）>f（a）?2-a2>a.

師：很好. 在解決此類(lèi)問(wèn)題時(shí)，運(yùn)用圖像的直觀性更易于理解，因此解題時(shí)要習(xí)慣應(yīng)用數(shù)形結(jié)合法求解. 不過(guò)繪制圖像可能需要較長(zhǎng)的時(shí)間，因此解題方法要根據(jù)實(shí)際情況進(jìn)行分析和選擇. 但無(wú)論應(yīng)用哪種解題方法，解決此類(lèi)問(wèn)題時(shí)一定要抓住函數(shù)的單調(diào)性這一核心要素.

教師充分展示了學(xué)生的思維過(guò)程，發(fā)現(xiàn)學(xué)生利用函數(shù)單調(diào)性解決問(wèn)題時(shí)還存在一些不足，思維存在一定的局限性，因此教師引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用不同方法進(jìn)行探究，以此豐富學(xué)生的解題經(jīng)驗(yàn)，提高學(xué)生的解題效率.

[?]解決問(wèn)題

基于上面存在的問(wèn)題，教師沒(méi)有急于講解，而是通過(guò)相似練習(xí)引導(dǎo)學(xué)生繼續(xù)探究，在檢測(cè)學(xué)生能力的同時(shí)，幫助學(xué)生將“函數(shù)單調(diào)性”這一知識(shí)點(diǎn)學(xué)懂吃透.

師：通過(guò)例1的探究，我們知道借助數(shù)形結(jié)合法可以更加直觀地解決函數(shù)單調(diào)性問(wèn)題，那么請(qǐng)大家思考一下，下面這個(gè)問(wèn)題該如何求解？（教師用PPT展示例2）

例2 已知函數(shù)f（x）=-x2+2x，x≤1，

2ax-5，x>1， 若存在x，x∈R，且x≠x，使得f（x）=f（x）成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______.

問(wèn)題給出后學(xué)生積極探究，經(jīng)過(guò)一番爭(zhēng)論，給出了兩種解題方法：

方法1：數(shù)形結(jié)合法. 如圖1所示，當(dāng)x≤1時(shí)，f（x）=-x2+2x是單調(diào)增函數(shù)，最大值為1. 當(dāng)a≤0時(shí)，滿足條件；當(dāng)a>0時(shí)，要使x，x∈R，且x≠x，f（x）=f（x）成立，則點(diǎn)B必須在點(diǎn)A的下面，則2a-5<1，即a<3.

方法2：補(bǔ)集思想. 由題意可知，在定義域內(nèi)f（x）不是單調(diào)函數(shù)，當(dāng)x≤1時(shí)，f（x）=-x2+2x是單調(diào)增函數(shù)；若f（x）在R上是單調(diào)增函數(shù)，則2a-5≥1，即a≥3. 因?yàn)閒（x）不是單調(diào)函數(shù)，所以a<3.

通過(guò)對(duì)比發(fā)現(xiàn)，在解決此類(lèi)問(wèn)題時(shí)，應(yīng)用數(shù)形結(jié)合法更為高效，借助“形”的直觀性，有利于學(xué)生快速做出判斷，準(zhǔn)確解題.

為了引導(dǎo)學(xué)生多角度分析，教師給出了變式題目和模擬題讓學(xué)生繼續(xù)探究：

變式1：已知函數(shù)f（x）=-x2+ax，x≤1，

2ax-5，x>1，若存在x，x∈R，且x≠x，使得f（x）=f（x）成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_____.

變式2：已知函數(shù)f（x）=-x2+ax，x≤1，

2ax-5，x>1，若對(duì)任意非零實(shí)數(shù)x，存在唯一的非零實(shí)數(shù)x（x≠x），使得f（x）=f（x）成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

模擬題：

已知函數(shù)f（x）=k2x+k（1-a2），x≥0，

x2+（a2-4a）x+（3-a）2，x<0，且a∈R，若對(duì)任意非零實(shí)數(shù)x，存在唯一的非零實(shí)數(shù)x（x≠x），使得f（x）=f（x）成立，求實(shí)數(shù)k的最小值.

高考題看似復(fù)雜多變，新穎別致，然仔細(xì)分析后容易發(fā)現(xiàn)其重點(diǎn)考查的知識(shí)點(diǎn)和數(shù)學(xué)思想方法往往相同，因此在復(fù)習(xí)教學(xué)中教師要善于將多題歸一，即將涉及同一知識(shí)點(diǎn)或同一方法的問(wèn)題以題組的方式呈現(xiàn)給學(xué)生，這樣通過(guò)多角度分析和強(qiáng)化有助于揭示問(wèn)題的本質(zhì)屬性，有助于學(xué)生掌握解決此類(lèi)問(wèn)題的通法，有助于實(shí)現(xiàn)知識(shí)和方法的遷移，實(shí)現(xiàn)知識(shí)的融會(huì)貫通.

這樣在教師的精心預(yù)設(shè)下，打造了一節(jié)生動(dòng)的復(fù)習(xí)探究課. 在本課教學(xué)中以探究為主線，將課堂還給學(xué)生，充分展示了學(xué)生的思維過(guò)程，使學(xué)生的“學(xué)”變得更加主動(dòng)積極. 教學(xué)中，教師不要急于求成將結(jié)果展示給學(xué)生，那樣容易出現(xiàn)思維定式的情形，不利于學(xué)生解題能力的提升. 同時(shí)，在實(shí)際教學(xué)中，師生不要滿足于現(xiàn)成的結(jié)論和解題方法，而應(yīng)給學(xué)生充分的時(shí)間和空間去反思、去展示，讓學(xué)生從不同角度、不同側(cè)面去思考和解決問(wèn)題，以便學(xué)生能在探究和解決問(wèn)題的過(guò)程中挖掘出問(wèn)題的實(shí)質(zhì)，從而在提高學(xué)生解題能力的同時(shí)，鍛煉學(xué)生的創(chuàng)新能力.

[?]幾點(diǎn)認(rèn)識(shí)

高三復(fù)習(xí)階段復(fù)習(xí)的內(nèi)容和側(cè)重點(diǎn)有所不同，因此其課型也有所不同，第一階段為習(xí)題課，側(cè)重于提高學(xué)生的“雙基”；第二階段為專題課，側(cè)重于提升學(xué)生的解題技能；第三階段為套卷評(píng)講課，側(cè)重于對(duì)知識(shí)的總體把握和有針對(duì)性地查漏補(bǔ)缺.

1. 關(guān)于習(xí)題課

習(xí)題課并不是簡(jiǎn)單問(wèn)題的羅列，也不是機(jī)械的、重復(fù)的練習(xí)，而是需要教師結(jié)合教學(xué)實(shí)際，將問(wèn)題進(jìn)行改編，將知識(shí)與技能通過(guò)串聯(lián)，疊合成更加系統(tǒng)、更加全面的問(wèn)題，從而便于“雙基”的鞏固和知識(shí)的系統(tǒng)化建構(gòu).

例3 已知關(guān)于x的二次方程x2-kx+k+1=0，

（1）若方程有根，求k的取值范圍；

（2）若方程有兩個(gè)正根，求k的取值范圍；

（3）若方程有兩個(gè)大于1的根，求k的取值范圍；

（4）若方程的兩根一正一負(fù)，求k的取值范圍；

（5）若方程有兩根，一根小于1，另一根大于1，求k的取值范圍；

（6）若方程一根屬于（0，1），另一根屬于（2，3），求k的取值范圍.

對(duì)于問(wèn)題（1），學(xué)生利用根的判別式便可輕松求解. 對(duì)于問(wèn)題（2），大多數(shù)學(xué)生利用方程的根與系數(shù)的關(guān)系得到了關(guān)于k的不等式組，進(jìn)而求出了k的取值范圍. 雖然利用這種方法可以求解，但是面對(duì)接下來(lái)的幾個(gè)問(wèn)題時(shí)，顯然該解題方法行不通，因此其并非最優(yōu)解題方法，此時(shí)教師可以誘導(dǎo)學(xué)生聯(lián)想函數(shù)，進(jìn)而將方程的根和二次函數(shù)圖像與x軸的交點(diǎn)關(guān)聯(lián)起來(lái)，運(yùn)用函數(shù)與方程的思想將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為交點(diǎn)的分布，這樣借助二次函數(shù)圖像求k的取值范圍更具普適性.

解題時(shí)教師要引導(dǎo)學(xué)生不要局限于一種方法，應(yīng)多觀察、多分析，注重挖掘問(wèn)題間的內(nèi)在聯(lián)系，善于跳出原有思維的束縛，尋找更為廣闊的解題方法. 解題后教師要繼續(xù)追問(wèn)，引導(dǎo)學(xué)生將特殊問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一般問(wèn)題，便于學(xué)生認(rèn)清問(wèn)題的本質(zhì). 如順利求解問(wèn)題（3）后，可以將問(wèn)題推廣至“若方程的兩根均大于（或小于）m，求k的取值范圍”；又如順利求解問(wèn)題（4）后，繼續(xù)追問(wèn)“若方程的兩根分布在m的兩側(cè)，求此時(shí)k的取值范圍”. 這樣不僅可以引導(dǎo)學(xué)生深化理解，而且可以拓寬學(xué)生的思維. 可見(jiàn)，在習(xí)題教學(xué)中，除了培養(yǎng)學(xué)生的“雙基”外，教師還應(yīng)有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生去拓展、去聯(lián)想、去發(fā)現(xiàn)，注重?cái)?shù)學(xué)思想方法的總結(jié)和提煉，逐步培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí).

2. 關(guān)于專題課

專題強(qiáng)化的目的就是將相關(guān)、相似的問(wèn)題進(jìn)行系統(tǒng)化、有序化的梳理、綜合和應(yīng)用，從而有效幫助學(xué)生完善知識(shí)網(wǎng)絡(luò). 專題訓(xùn)練時(shí)不要將目光著眼于解題，而應(yīng)該重視知識(shí)的梳理、歸納，重視數(shù)學(xué)思想方法的提煉，從而讓學(xué)生可以更深層地理解問(wèn)題、理解數(shù)學(xué).

例4 已知x，y≥0，且x+y=1，求x2+y2的取值范圍.

求解例4的方法有很多，教師鼓勵(lì)學(xué)生多角度觀察和探究，同時(shí)通過(guò)合作交流，盡量采用不同的解決方案來(lái)解決問(wèn)題，進(jìn)而充分調(diào)動(dòng)原有認(rèn)知，發(fā)散數(shù)學(xué)思維，培養(yǎng)思維的靈活性. 學(xué)生通過(guò)合作探究給出了以下幾種常用的解題方法.

方法1：函數(shù)思想. 由x+y=1得y=1-x，則x2+y2=x2+（1-x）2=2x2-2x+1=2

x-

+. 由于x∈［0，1］，根據(jù)二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)可知x2+y2的取值范圍為

，1.

方法2：三角換元法. 由于x，y≥0，且x+y=1，可設(shè)x=cos2θ，y=sin2θ，其中θ∈0

，，則x2+y2=cos4θ+sin4θ=+cos4θ，進(jìn)而求得x2+y2的取值范圍為

，1.

以上兩種方法看似并無(wú)關(guān)聯(lián)，然其本質(zhì)相同，都是通過(guò)函數(shù)思想的運(yùn)用來(lái)求最值的.

方法3：運(yùn)用基本不等式. 由于x，y≥0，且x+y=1，則xy≤=，從而0≤xy≤，于是x2+y2=（x+y）2-2xy=1-2xy，所以x2+y2的取值范圍為

，1.

方法4：數(shù)形結(jié)合法. 如圖2所示，設(shè)x2+y2=r2（r>0），此二元方程表示以原點(diǎn)O為圓心，半徑為r的動(dòng)圓. 問(wèn)題轉(zhuǎn)化為動(dòng)圓與線段x+y=1，

x≥0，y≥0有公共點(diǎn)，求r的取值范圍.

用幾何直觀來(lái)思考代數(shù)問(wèn)題，往往可以幫助學(xué)生更好地把握問(wèn)題的本質(zhì)，從而快速解決問(wèn)題. 在專項(xiàng)訓(xùn)練中既可以通過(guò)一題多解來(lái)發(fā)散學(xué)生的思維，提高學(xué)生思維的靈活性，也可以通過(guò)一題多變來(lái)強(qiáng)化解題方法和解題技巧. 本題順利求解后，教師又給出了以下變式和推廣：

變式1：已知x，y≥0，且x+y=1，求x4+y4的最值.

變式2：已知x，y≥0，且x+y=1，你能求x8+y8的最值嗎？

變式3：已知x，y≥0，且x+y=1，你能比較，xn+yn，1的大小嗎？

這樣從一個(gè)低起點(diǎn)的、特殊的問(wèn)題入手，有效消除了學(xué)生的畏難情緒，提升了學(xué)生解題的信心. 另外，通過(guò)多角度分析培養(yǎng)了學(xué)生數(shù)學(xué)綜合分析能力；同時(shí)，數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)思想、轉(zhuǎn)化思想等重要的數(shù)學(xué)思想方法的滲透，有效強(qiáng)化了學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，培養(yǎng)了學(xué)生的數(shù)學(xué)綜合運(yùn)用能力，提高了教學(xué)的有效性. 在高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)教學(xué)中，教師要充分挖掘這些典型的例習(xí)題，這樣不僅可以進(jìn)一步強(qiáng)化學(xué)生的“雙基”，而且能夠激發(fā)學(xué)生的探究欲；同時(shí)，典型的例習(xí)題更易于激發(fā)師生共鳴，更易于激發(fā)學(xué)生思維活力，從而提高高三復(fù)習(xí)的有效性.

3. 關(guān)于套卷評(píng)講課

模擬考試是高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)的重要一環(huán)，通過(guò)模擬考試可以更加全面地檢測(cè)學(xué)生的知識(shí)掌握水平和應(yīng)試能力. 考后教師不要急于評(píng)講，而是根據(jù)試卷反饋的解題思路、運(yùn)算過(guò)程、書(shū)寫(xiě)規(guī)范等問(wèn)題做好統(tǒng)計(jì)和分析，同時(shí)篩選出典型問(wèn)題進(jìn)行“精講”；另外，對(duì)一些典型問(wèn)題要進(jìn)行一定的拓展和延伸，幫助學(xué)生徹底掃除知識(shí)結(jié)構(gòu)中的盲點(diǎn)，將相關(guān)的知識(shí)點(diǎn)學(xué)懂吃透；不僅如此，教師還要引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行反思和總結(jié)，讓學(xué)生充分認(rèn)識(shí)到自己的不足，及時(shí)進(jìn)行查漏補(bǔ)缺.

例5 已知函數(shù)f（x）=是奇函數(shù)，則k=________.

因?yàn)槎x域是R，解得f（0）=0?k=-1.

變式：已知函數(shù)f（x）=是奇函數(shù)，則k=________.

因?yàn)槠婧瘮?shù)的定義f（x）+f（-x）=0，解得k=±1.

解題時(shí)發(fā)現(xiàn)，多數(shù)學(xué)生容易將問(wèn)題想得過(guò)于復(fù)雜，從而誤入歧途，因此在教學(xué)中，教師要選擇一些典型問(wèn)題，帶領(lǐng)學(xué)生回歸問(wèn)題的本源，總結(jié)歸納出解決問(wèn)題的一般方法.

總之，要提高高三復(fù)習(xí)教學(xué)的有效性，師生都要知道每節(jié)課要做什么、怎么做、為什么這么做、做到什么程度. 教師只有充分做好課前預(yù)設(shè)，并制定明確的教學(xué)目標(biāo)，才能讓學(xué)生每節(jié)課都有新的體會(huì)、新的收獲，才能不斷激發(fā)學(xué)生的潛力，獲得更好的教學(xué)效果.