任靜爾

摘? ? 要：數(shù)學(xué)拓展性課程是數(shù)學(xué)基礎(chǔ)性課程的延伸，在培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生思維能力中起到重要作用.教師在拓展性課程的教學(xué)中可參照SOLO分類層次，根據(jù)多元結(jié)構(gòu)水平、關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)水平、抽象拓展水平的相關(guān)層次要求設(shè)計教學(xué)目標(biāo)，以問題驅(qū)動學(xué)生積極、有效地參與課堂.教師應(yīng)在實驗操作、觀察歸納、數(shù)學(xué)說理、遷移應(yīng)用等環(huán)節(jié)精心設(shè)計教學(xué)，體現(xiàn)教學(xué)的趣味性、實踐性、層次性，并給予學(xué)生充分的動手操作空間，引導(dǎo)學(xué)生的思維水平逐層進(jìn)階.

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)拓展性課程;思維層級;教學(xué)目標(biāo);教學(xué)實施;等腰三角形分割

數(shù)學(xué)拓展性課程作為數(shù)學(xué)基礎(chǔ)性課程的延伸，在培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生思維能力中起到重要作用.三角形是初中數(shù)學(xué)幾何中的重要組成部分，也是第一個系統(tǒng)研究的幾何圖形，而等腰三角形是特殊的三角形，研究特例是數(shù)學(xué)研究中常用的方法，因此，筆者以《等腰三角形分割》的教學(xué)為例，談?wù)剶?shù)學(xué)拓展性課程中學(xué)生思維層級提升的教學(xué)目標(biāo)設(shè)計與課堂教學(xué)實施.

一、《等腰三角形分割》教學(xué)現(xiàn)狀分析

《等腰三角形分割》是浙教版義務(wù)教育教科書《數(shù)學(xué)》八年級上冊第二章的內(nèi)容，指向?qū)W生學(xué)習(xí)了等腰三角形性質(zhì)、判定之后的探究性活動，可為學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)四邊形、特殊四邊形的性質(zhì)打下基礎(chǔ).

具體教學(xué)中，有的教師引導(dǎo)學(xué)生直接從抽象的三角形出發(fā)，將其分成直角三角形、鈍角三角形、銳角三角形三種情況，再從三個內(nèi)角進(jìn)行分割.這樣一共要討論9種情況，學(xué)生的思維確實得到了鍛煉，并且能幫助學(xué)生學(xué)會如何進(jìn)行分類討論，但是思維難度比較大，需要教師手把手引導(dǎo)，且課堂中的生成性資源比較少.有的教師從一個給定內(nèi)角的三角形出發(fā)，讓學(xué)生自己動手分割，再結(jié)合閱讀材料總結(jié)，得到分割任意三角形的方法.學(xué)生通過觀察、嘗試、閱讀、梳理、分享，使思考變得具象化.這雖然滲透了從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想，但是給予學(xué)生的數(shù)學(xué)活動空間不夠豐富，學(xué)生在得到結(jié)論前的活動經(jīng)驗比較少.有的教師從一個比較特殊的等腰三角形（72°，72°，36°）出發(fā)，讓學(xué)生交流合作，再通過類比解決問題.這雖然提升了學(xué)生的思維水平，滲透了類比的數(shù)學(xué)思想，但是給的三角形太特殊，學(xué)生要由此聯(lián)想到任意的三角形分割是相當(dāng)困難的.

基于以上分析，筆者認(rèn)為該課在設(shè)計中可參照SOLO分類層次，體現(xiàn)趣味性、實踐性、層次性等特點，給予學(xué)生充分的動手操作空間，引導(dǎo)學(xué)生的思維水平從單一結(jié)構(gòu)水平走向多元結(jié)構(gòu)水平，再經(jīng)歷觀察分析、歸納猜想，提升到關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)水平，進(jìn)而通過數(shù)學(xué)說理、遷移應(yīng)用等教學(xué)環(huán)節(jié)，達(dá)到抽象拓展水平.

二、《等腰三角形分割》教學(xué)目標(biāo)層級分析及設(shè)計

SOLO分類層次反映的是學(xué)生學(xué)習(xí)由量變積累到質(zhì)變的過程.多元結(jié)構(gòu)水平重點在于學(xué)生對知識點的掌握，而后兩個結(jié)構(gòu)水平則主要考查學(xué)生思維能力和針對不同學(xué)習(xí)任務(wù)分析解決問題的能力[1].因此，筆者設(shè)計了如下的目標(biāo)層次.

（一）多元結(jié)構(gòu)水平

【目標(biāo)】理解等腰三角形的定義和判定，會對具體角度的三角形進(jìn)行分割.

【設(shè)計】4人小組動手操作，按要求將道具包里的10個標(biāo)有具體內(nèi)角度數(shù)的三角形進(jìn)行分割，最先分割好的小組到講臺上展示.

【設(shè)計意圖】課堂的藝術(shù)不在于“靜”，而在于“動”.教師要給予學(xué)生更多的活動體驗，引導(dǎo)他們在動手操作中回顧等腰三角形的定義和性質(zhì)，使其思維從單一結(jié)構(gòu)水平發(fā)展到多元結(jié)構(gòu)水平.學(xué)生通過小組合作，將10個不同的三角形進(jìn)行分割，并體會到同伴之間互相幫助、互相交流的快樂.

（二）關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)水平

【目標(biāo)】經(jīng)歷實驗操作、觀察分析、歸納猜想等活動過程，掌握從特殊到一般的數(shù)學(xué)研究方法，體會分類討論的思想.

達(dá)成標(biāo)志：（1）能將分割好的三角形按照內(nèi)角度數(shù)進(jìn)行分類;（2）能表述一個三角形分割成兩個等腰三角形時內(nèi)角需要滿足的條件.

【設(shè)計】問題鏈驅(qū)動

問題1：關(guān)注黑板上展示的分割出的三角形，你能否再從角度關(guān)系上對它們進(jìn)行分類？

問題2：如何將一個含有直角、2倍角、3倍角的三角形分割成兩個等腰三角形？

問題3：這三種情況下三角形是否一定能分？應(yīng)該怎么分？

問題4：是否滿足這三種情況就能被分？

追問1：30°，50°，100°滿足上述三種情況嗎？能分嗎？

追問2：反過來，是否只有這三種情況？

追問3：對于任意一個三角形，要將它分割成2個等腰三角形，應(yīng)滿足什么條件？我們可以如何探究？

【設(shè)計意圖】思維是由“一些困惑、混淆或懷疑”引發(fā)的，問題的本質(zhì)決定了思考的結(jié)果，思考的結(jié)果控制著思維的過程.追問1通過反例“30°，50°，100°”引導(dǎo)學(xué)生得出2倍角分割時角度需要滿足的條件.追問2能促進(jìn)學(xué)生進(jìn)行超出能力范圍的推理和思考.追問3允許學(xué)生使用廣泛的解決方法和策略.三次追問，滿足了開放式問題的要求，層層遞進(jìn)，突破孤立的問題呈現(xiàn)帶給學(xué)生的思維禁錮，引導(dǎo)學(xué)生關(guān)聯(lián)等腰三角形的相關(guān)知識，將問題轉(zhuǎn)化，再通過師生的不斷對話，將學(xué)生對問題的認(rèn)識和理解推向新高度.

（三）抽象拓展結(jié)構(gòu)水平

【目標(biāo)】證明任意三角形分割成兩個等腰三角形需要滿足的條件，并將結(jié)論遷移應(yīng)用，體會數(shù)學(xué)建模的思想.

達(dá)成標(biāo)志：（1）能根據(jù)分析畫出示意圖，并進(jìn)行幾何證明;（2）能將結(jié)論應(yīng)用到新的問題情境中解決問題.

【設(shè)計1】數(shù)學(xué)說理

畫一個△ABC，從頂點A出發(fā)沿著AD將三角形分割成兩個等腰三角形，在△ABD中，使得AD=BD，在△ADC中，則有三種情況，分別是DA=DC，AD=AC，CA=CD.

教師利用分析導(dǎo)圖幫助學(xué)生理清思路，第一種情況由教師板書，后兩種情況由學(xué)生自主完成.

【設(shè)計意圖】幫助學(xué)生發(fā)展邏輯思維，引導(dǎo)學(xué)生通過翻譯數(shù)學(xué)語言，分析已知條件，分類討論推進(jìn)問題求解的探索.對這一問題情境，筆者引導(dǎo)學(xué)生將其數(shù)學(xué)化，這是第一次運用抽象邏輯的過程;在此基礎(chǔ)上，進(jìn)一步帶領(lǐng)學(xué)生推理論證，進(jìn)行嚴(yán)格的證明，這是第二次運用抽象邏輯的過程，由此幫助學(xué)生實現(xiàn)抽象拓展結(jié)構(gòu)水平的提升.

【設(shè)計2】遷移應(yīng)用

在△ABC中，AB=AC，若過其中一個頂點的一條直線，將△ABC分成兩個等腰三角形，求△ABC各內(nèi)角的度數(shù).

【設(shè)計意圖】推理論證得到可以分割成兩個等腰三角形的條件后，適時設(shè)計變式，引導(dǎo)學(xué)生捕捉題干信息，應(yīng)用所學(xué)的結(jié)論，通過分類等手段解決問題，實現(xiàn)知識技能的遷移，同時滲透數(shù)學(xué)建模思想.

三、《等腰三角形分割》課堂教學(xué)實施

根據(jù)以上目標(biāo)層級的分析，滲透疑為主軸、動為主線，學(xué)生為主體、教師為主導(dǎo)的理念，筆者在課堂中實施了以下教學(xué)環(huán)節(jié).

（一）動手操作

將道具包里的10個三角形（20°，70°，90°;25°，65°，90°;40°，50°，90°;35°，70°，75°;40°，80°，60°; 30°，50°，100°;20°，60°，100°;25°，75°，80°;35°， 40°，105°;30°，40°，110°）從頂點處切一刀分割成兩個等腰三角形，最先分割好的小組在講臺上將相應(yīng)的三角形進(jìn)行展示.

【評析】傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)課堂中較少以數(shù)學(xué)活動展開，因此數(shù)學(xué)游戲可以彌補(bǔ)基礎(chǔ)性課程的欠缺，作為拓展性課程的一個實施策略[2].道具包的使用將抽象的問題變成了具體可操作的游戲活動，能激發(fā)學(xué)生的興趣，提高其課堂參與度.

（二）問題鏈驅(qū)動

先引導(dǎo)學(xué)生觀察黑板上展示的分割出的三角形，從角度關(guān)系上對它們進(jìn)行分類，即直角、2倍角和3倍角，并畫出示意圖.再通過問題鏈驅(qū)動，以層層遞進(jìn)的追問引導(dǎo)學(xué)生關(guān)聯(lián)等腰三角形的相關(guān)知識，發(fā)現(xiàn)原三角形需要滿足的條件.

【評析】問題驅(qū)動要以教學(xué)目標(biāo)為出發(fā)點，以情境創(chuàng)設(shè)為切入點，以最近發(fā)展區(qū)為著力點，以提高問題開放性為支撐點，以提升探究能力為落腳點，并通過追問、反問引發(fā)學(xué)生的思考.在之前活動的基礎(chǔ)上，筆者引導(dǎo)學(xué)生自主畫圖并證明.課堂中的學(xué)習(xí)過程，實際就是師生對話的過程.教師適當(dāng)?shù)靥岢鲑|(zhì)疑、反問，明確地呈現(xiàn)學(xué)習(xí)要求，可引導(dǎo)學(xué)生更加深入地加工和處理學(xué)習(xí)材料，而師生的不斷對話，則將學(xué)生對問題的認(rèn)識和理解推向新高度.

（三）數(shù)學(xué)說理

筆者將“設(shè)計1”中的問題圖形化，引導(dǎo)學(xué)生分類討論，利用分析導(dǎo)圖（如圖1），推進(jìn)問題的求解.

綜上所述，滿足三種情況時可以一刀將三角形分割成兩個等腰三角形：有一個是直角（分直角）;有一個角是另一個角的2倍（較小角小于45°，分第三個角）;有一個角是另一個角的3倍（分3倍角）.

【評析】例題講解時，筆者基于問題情境，利用分析導(dǎo)圖，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行邏輯推理。在2倍角限定條件的討論中，除了可以依據(jù)之前的特殊情況外，還可以利用圖形中分割出三角形的內(nèi)角和關(guān)系來說理，這滲透了思維品質(zhì)嚴(yán)謹(jǐn)性和廣闊性的培養(yǎng).在經(jīng)歷數(shù)學(xué)“再發(fā)現(xiàn)”的過程中，學(xué)生形成實事求是的態(tài)度，學(xué)會用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實世界.

（四）遷移應(yīng)用

針對“設(shè)計2”中的問題，學(xué)生將結(jié)論進(jìn)行遷移應(yīng)用，分成三種情況，分別是分直角、分2倍角、分3倍角.直角的情況就是45°，45°，90°;分2倍角，可以把三個角設(shè)為x，2x，2x和x，x，2x，算出來第一種情況為36°，72°，72°，第二種情況為較小角等于45°，舍去;分3倍角，可以把三個角設(shè)為x，3x，3x和x，x，3x，算出來分別是[（1807）°]，[（5407）°]，[（5407）°]和36°，36°，108°.

【評析】筆者融入辯證邏輯理念，對問題進(jìn)行了改編，引導(dǎo)學(xué)生用發(fā)展、變化的眼光對知識、題目進(jìn)行定性把握，這有利于學(xué)生形成模型觀念，發(fā)展應(yīng)用意識，逐步學(xué)會用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)世界.

四、對《等腰三角形分割》教學(xué)目標(biāo)設(shè)計和課堂教學(xué)實施的反思

整個課堂，學(xué)生由于受到未知領(lǐng)域的不斷挑戰(zhàn)，思維一直處于活躍狀態(tài)，并從最初對這一抽象問題無從著手，進(jìn)階到通過實驗操作能逐漸明了，再經(jīng)數(shù)學(xué)說理后豁然開朗，最后達(dá)到舉一反三、融會貫通.筆者根據(jù)目標(biāo)層級設(shè)計和課堂實施的情況，作了如下反思.

（一）多元結(jié)構(gòu)水平

課堂中教師的角色是引導(dǎo)、觀察、提問、組織、評價，學(xué)生則是討論、發(fā)現(xiàn)、思考、探究、積極參與.課前筆者設(shè)計了兩個問題：“什么是等腰三角形？我們是如何判定等腰三角形的？”這有效地幫助了學(xué)生回憶起等腰三角形的相關(guān)知識，因此在動手操作環(huán)節(jié)，每個學(xué)生都或多或少能分割出一些三角形.通過組內(nèi)的交流互助，每個小組基本上都能分出6～7個三角形，有3個小組把能分割成兩個等腰三角形的圖形全部找到.學(xué)生基本達(dá)成思維從單一結(jié)構(gòu)水平到多元結(jié)構(gòu)水平的過渡.

（二）關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)水平

在問題驅(qū)動環(huán)節(jié)，筆者引導(dǎo)學(xué)生通過觀察黑板上已經(jīng)分割好的三角形，將這些三角形進(jìn)行分類，在層層遞進(jìn)、螺旋式上升的問題鏈驅(qū)動下，學(xué)生發(fā)現(xiàn)要分割成兩個等腰三角形，原三角形需要滿足的條件.所有小組都能將分割好的三角形正確分類，將近五分之四的學(xué)生能夠逐漸理清思路，能表述一個三角形分割成兩個等腰三角形，其內(nèi)角需要滿足的條件.在筆者為學(xué)生構(gòu)建的活動情境中，學(xué)生充分利用已知的數(shù)學(xué)知識和活動經(jīng)驗來解決新的問題，達(dá)到關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)水平.

（三）抽象拓展結(jié)構(gòu)水平

數(shù)學(xué)說理這一環(huán)節(jié)蘊含了數(shù)學(xué)建模的思想，對于八年級的學(xué)生來說是有一定難度的，因此要引導(dǎo)學(xué)生將文字語言轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)語言，讓學(xué)生理清在固定△ABD中AD=BD這一條件的情況下，只需變換△ADC中三邊的等量關(guān)系，進(jìn)行分類討論，將問題轉(zhuǎn)化成三種情況進(jìn)行證明.當(dāng)然這一環(huán)節(jié)的設(shè)計也存在一定的爭議，有的教師提出，其實學(xué)生會更傾向于將三角形先分類，如分成銳角三角形、鈍角三角形、直角三角形三類，再進(jìn)行分割.在磨課和試講的過程中，筆者嘗試過一次先分類再進(jìn)行說理論證的教學(xué)，結(jié)果發(fā)現(xiàn)只有大約10%的學(xué)生可以跟上節(jié)奏并達(dá)成教學(xué)目標(biāo)，因此，后來就沒再按照這個思路進(jìn)行備課，但這其實是一種可以嘗試的課堂展現(xiàn)形式.最后一個遷移應(yīng)用環(huán)節(jié)的設(shè)計，學(xué)生將生成的一般性結(jié)論應(yīng)用到新的情境中，拓展了問題本身的意義，提升了抽象拓展結(jié)構(gòu)水平.

總之，一堂有深度的數(shù)學(xué)課，教師應(yīng)精心設(shè)計實驗操作、觀察歸納、數(shù)學(xué)說理、遷移應(yīng)用等環(huán)節(jié)，引導(dǎo)學(xué)生對知識的認(rèn)識逐漸從模糊走向清晰，從片面走向全面，從膚淺走向深刻，從而逐步實現(xiàn)思維從單一結(jié)構(gòu)水平向抽象拓展水平的提升.

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