淺語的藝術(shù)：啟動系統(tǒng)思維，透析數(shù)學(xué)本質(zhì)

樊無雙

[摘? 要] 小學(xué)數(shù)學(xué)教材是依據(jù)兒童的年齡特征，在量力性的原則基礎(chǔ)上進行編寫的，它取材于學(xué)生當前的生活實際，注重直觀，訴諸感性，由淺入深，難點分散。部分教師在解讀小學(xué)數(shù)學(xué)教材的核心概念時，存在含糊、片面和碎片化的問題，容易滿足于學(xué)生在具體直觀層面的理解，忽視教學(xué)內(nèi)容的整體性和系統(tǒng)性，忽視學(xué)生對概念本質(zhì)的理解，從而影響學(xué)生對概念價值的體會和數(shù)學(xué)素養(yǎng)的培養(yǎng)提升。因此，小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)堅持淺而不錯，分而不碎，從整體的角度進行設(shè)計和思考。

[關(guān)鍵詞] 小學(xué)數(shù)學(xué);數(shù)學(xué)概念;核心價值;生活;知識脈絡(luò)

小學(xué)數(shù)學(xué)姓“小”但不小。張奠宙教授的力作《小學(xué)數(shù)學(xué)教材中的大道理》，所給予我們的最大啟示就是不要“小看”了小學(xué)數(shù)學(xué)[1]。在面對小學(xué)數(shù)學(xué)教材時，在解讀教材的過程中，一線教師很容易出現(xiàn)含糊、片面甚至碎片化等諸多問題。我們需要警覺的是，小學(xué)數(shù)學(xué)教材中的核心概念絕不因?qū)W段低而小，教學(xué)概念時可以淺但絕不能錯，可以分但專業(yè)性和系統(tǒng)性不可或缺。

一、追溯“算理”：正本清源不含糊，厘清本質(zhì)來構(gòu)建

1. 質(zhì)疑運算的“結(jié)果論”

張奠宙教授在《小學(xué)數(shù)學(xué)教材中的大道理》一書中用淺顯的語言提醒我們：在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，只關(guān)注到運算的結(jié)果就行了嗎？運算過程的差異無關(guān)緊要嗎？在教學(xué)加法與乘法交換律時，筆者就有這樣的疑惑：交換律需要教嗎？用一些算式來驗證，利用不完全歸納法得出交換律，這樣教行嗎？在這個過程中，我們究竟教給了學(xué)生什么？

2. 清晰過程的“區(qū)別度”

我們只是在學(xué)生已知交換兩個加數(shù)（乘數(shù)）的位置，和（積）不變這一規(guī)律的情況下，再進行了一次毫無深度的總結(jié)罷了。正如張教授所說，“交換律只能說明交換兩個數(shù)的次序后結(jié)果相同，而過程是有區(qū)別的”，這過程中的區(qū)別恰恰就是我們需要深入挖掘的地方。從本源上說清為什么可以交換，比我們用很多例子來驗證交換律要有意義得多。

加法的本質(zhì)就是“數(shù)數(shù)”，在a的基礎(chǔ)上接著數(shù)b，和在b的基礎(chǔ)上接著數(shù)a，是兩個有區(qū)別的添加或合并活動。我們在教學(xué)加法時，是否注意并區(qū)別了呢？只有追溯加法的本質(zhì)，才能真正說清楚交換兩個加數(shù)的位置和不變的道理。

乘法是相同加數(shù)和的簡便計算。我們在一開始教學(xué)乘法時就直接告知學(xué)生：a個b相加可以用a×b或者b×a兩個算式來表示，并不利于學(xué)生對乘法意義的理解，甚至?xí)g接導(dǎo)致乘法交換律的說理也出現(xiàn)問題。因為這樣的教法在告訴學(xué)生：兩個算式都可以表達a個b相加的和。那交換兩個乘數(shù)的位置，積不變不就是很顯然的事情了嗎？此時再列舉諸多a×b=b×a的例子又是何意呢？追溯乘法的意義，我們應(yīng)當將a個b相加與b個a相加兩者區(qū)分開來，從而在兩種不同的數(shù)數(shù)方法中明確乘法交換律之所以成立的道理。這并不是因為a×b和b×a都可以表示a個b相加的和，所以a×b=b×a，而是因為a個b相加與b個a相加數(shù)數(shù)的方法不同，結(jié)果相同，所以a×b=b×a。

3. 追溯運算的“大道理”

正本清源，摒棄學(xué)生在算理不清的前提下進行猜想和驗證，利用“數(shù)數(shù)”活動讓學(xué)生從本源上理解交換律成立的道理，體驗數(shù)學(xué)方法，感悟數(shù)學(xué)思想，逐步構(gòu)建起數(shù)學(xué)知識體系。同樣，在教學(xué)其他運算律和性質(zhì)時，也應(yīng)當追本溯源，從加減乘除的運算本質(zhì)上展開探究，讓學(xué)生不僅知道規(guī)律，而且能從本源上理解之所以有此規(guī)律的原因。

在蘇教版教材中還有一些因?qū)W生群體理解能力和思維水平的限制，無法深入展開或直訴根本的問題，對此我們應(yīng)當結(jié)合學(xué)生的認知水平，利用基本的數(shù)學(xué)活動，在學(xué)生已有的知識基礎(chǔ)上，為他們講清他們能夠懂的道理，而不能含糊。

二、還原“概念”：意義建構(gòu)不片面，核心價值要凸顯

1. 關(guān)注姓小的“準概念”

張教授在書中提醒我們：小學(xué)數(shù)學(xué)姓小，許多概念都是臨時性的、準邏輯性的。事實上，考慮到小學(xué)生的認知發(fā)展規(guī)律，教材的編輯采用了簡化、兒童化的表達方式。那么，問題就來了：小學(xué)階段的一些概念嚴格來說并不具有嚴謹?shù)倪壿嫞襁@樣的階段性定義是否需要反復(fù)強調(diào)，甚至背誦以加強記憶呢？

2. 強化精準的“內(nèi)價值”

比如方程在教材中的定義是這樣的：“含有未知數(shù)的等式叫方程。”張教授指出應(yīng)該用這樣的定義來替換：“方程是為了尋求未知數(shù)，在未知數(shù)和已知數(shù)之間建立起來的等式關(guān)系。”兩相比較，我們發(fā)現(xiàn)，教材中的定義并不嚴謹，因為并不是所有含有未知數(shù)的等式都是方程，比如描述運算律的字母式，用字母表示的公式、函數(shù)等在意義上與方程是不相同的。更重要的是，對方程的理解，不能停留于它的外在表現(xiàn)形式，方程思想的本質(zhì)以及它的意義和價值才是我們需要把握的東西。的確，方程不是“花架子”，不是為了讓未知數(shù)華麗出場而產(chǎn)生的形式，是因為有時用算術(shù)方法求解未知數(shù)，該過程是逆向思考數(shù)量關(guān)系，理解起來較困難，此時可以先構(gòu)建出未知量和已知量之間的等量關(guān)系，從而將對數(shù)量關(guān)系的逆向分析轉(zhuǎn)化成順向分析，簡化分析過程，再求解未知數(shù)。這才是在教學(xué)中要讓學(xué)生體會到的方程的意義和價值。

因此在方程概念教學(xué)中，我們要避免形式化，不能僅僅抓住方程的外在形式做文章，而要緊緊抓住方程的實際意義，從厘清數(shù)量關(guān)系的核心價值方面進行探究，將方程思想的解題價值凸顯出來。

3. 打開后續(xù)的“校準器”

再如比的定義：“兩個數(shù)相除，又叫做兩個數(shù)的比。”其實，在剛開始學(xué)習(xí)比時，學(xué)生是比較模糊的，并不能對這一定義產(chǎn)生認同感。學(xué)生認為賽場比分也是比;幾比幾并沒有寫成幾除以幾的樣子，為什么要說是兩數(shù)相除呢？我們已經(jīng)學(xué)過兩數(shù)相除的運算，為什么還要用比號替代除號呢？比究竟有什么價值呢？

在后續(xù)的練習(xí)中學(xué)生積累了一定量的相關(guān)素材，慢慢體會到比的本質(zhì)意義不在于兩數(shù)相除的運算，而在于它能夠表示兩數(shù)間的份數(shù)關(guān)系。學(xué)生此時才真正理解和接受數(shù)學(xué)上的比和生活中的比大不相同，即賽場上的比分不是看倍比關(guān)系，而是看得分的分差，也能理解為什么要學(xué)習(xí)比：比并不僅僅是除法的另一種表示，它的內(nèi)涵價值并不是片面理解定義所能得到的。

總之，在理解數(shù)學(xué)概念時，不能止步于表面，滿足于當前的“準概念”，因為對這些數(shù)學(xué)概念進行生硬的解讀和形式上的辨析并不能讓學(xué)生得到真正意義上的理解和有意義的建構(gòu)。教師應(yīng)當追尋數(shù)學(xué)概念的核心價值，在理解概念本質(zhì)意義的基礎(chǔ)上實現(xiàn)對概念的意義建構(gòu)。

三、數(shù)化“抽象”：源于生活不止步，高于生活是數(shù)學(xué)

1. 區(qū)分“數(shù)·生活”

數(shù)學(xué)與生活有著緊密的聯(lián)系，學(xué)生的生活經(jīng)驗也是我們組織有效教學(xué)的重要考慮因素之一，然而數(shù)學(xué)絕不能與生活混為一談，必須加以區(qū)別和提升。

2. 提升“數(shù)·高度”

以用數(shù)對確定位置這一教學(xué)內(nèi)容為例，張教授希望教師能夠在教學(xué)中不局限于生活實際，提升數(shù)學(xué)的高度，在和直角坐標系的對照中走向數(shù)學(xué)化。的確，生活習(xí)慣和數(shù)學(xué)規(guī)范之間存在著差異，生活習(xí)慣無法則，難統(tǒng)一，但是數(shù)學(xué)規(guī)范、嚴謹并且系統(tǒng)。

用數(shù)對確定位置的教學(xué)，要有從生活直觀到數(shù)學(xué)抽象的過程，在抽象中體會數(shù)學(xué)表達的準確、簡潔。在教學(xué)確定位置前，有少部分學(xué)生直接使用第幾排第幾個這樣的說法來表達小軍在教材圖中的位置。大部分學(xué)生對此持懷疑態(tài)度，因為究竟先數(shù)橫排再數(shù)豎排還是先數(shù)豎排再數(shù)橫排，從哪個方向開始數(shù)，表達前并沒有加以說明，此時這樣的說法不便于與他人交流，或者可以說并不準確。于是學(xué)生對位置的表達進行了完善。然而想要準確表達位置，可以使用日常生活的不同說法：橫行、排、豎列……也可以選擇不同的方向：從左往右、從后往前……還可以選擇不同的順序：先說橫行再說豎列、先說豎列再說橫行……表達多樣不統(tǒng)一。最終統(tǒng)一規(guī)則，學(xué)生就能夠用第幾列第幾行準確表達小軍的位置。前后對比，說法差不多，為什么說一開始的第幾排第幾個不準確，而現(xiàn)在的第幾列第幾行是準確的呢？原來準確簡潔表達位置的前提是數(shù)學(xué)規(guī)則的統(tǒng)一。

用數(shù)對確定位置的教學(xué)，還要有數(shù)形結(jié)合的對照，在對照中體會點的位置規(guī)律，初步感知函數(shù)。當我們能夠用數(shù)對來確定位置時，那么位置的特殊性和規(guī)律性就從數(shù)對中體現(xiàn)了出來。在數(shù)對與位置規(guī)律的找尋中逐步滲透函數(shù)的思想，讓學(xué)生不再僅僅著眼于生活中具體的位置，而放眼于數(shù)學(xué)二維平面中抽象的位置。

用數(shù)對確定位置的教學(xué)，更要有數(shù)學(xué)規(guī)范和生活習(xí)慣的對比提升，在對比中明確數(shù)學(xué)規(guī)則的嚴謹性，從而構(gòu)成嚴密的位置系統(tǒng)。學(xué)習(xí)數(shù)對后，我們再回頭審視電影院座位、高鐵座位等生活中簡潔的位置表達，在對比中再次升華，感受數(shù)學(xué)表達在規(guī)則統(tǒng)一之下的簡潔性、統(tǒng)一性、唯一性和系統(tǒng)性。

數(shù)學(xué)源于生活，但高于生活。數(shù)學(xué)知識可以從生活中來，但更要走到數(shù)學(xué)中去，從學(xué)生熟悉的生活素材出發(fā)，將新知和學(xué)生的經(jīng)驗、已知對接，再逐漸抽象走向數(shù)學(xué)。在數(shù)學(xué)與生活的區(qū)別、對比、提煉中，學(xué)生真切感受數(shù)學(xué)的準確、簡潔、規(guī)范、系統(tǒng)……

四、編織“數(shù)網(wǎng)”：知識脈絡(luò)在心中，貫通融會知本源

1. 長線關(guān)聯(lián)，摸清“數(shù)脈”

張教授指出：“我們必須堅持淺而不錯、分而不碎，著眼于數(shù)學(xué)素養(yǎng)的養(yǎng)成。相應(yīng)的教材設(shè)計則要避免零敲碎打、隨意編排，忽視教學(xué)內(nèi)容的整體性與系統(tǒng)性?！盵2]是啊，如果教師只盯緊所教的一知識點、一課時、一單元、一學(xué)期、一學(xué)年、一學(xué)段，只看當下，不看長遠，那么何談提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)呢？

2. 頂層設(shè)計，繪制“數(shù)圖”

以圖形與幾何的維度概念為例，教師的教學(xué)設(shè)計應(yīng)當注重“頂層設(shè)計”，將圖形與幾何概念間的聯(lián)系有機地整合貫通。點動成線，線動成面，面動成體;體上有面，面上有線，線上有點;線是一維的，面是二維的，體是三維的;一維的長度單位相鄰進率為10，二維的面積單位相鄰進率為102，三維的體積單位相鄰進率為103;測量線段的長度是用短線段量有幾個長度單位，測量面積的大小是用小面量有幾個面積單位，測量體積的大小是用小物體量有幾個體積單位·····圖形與幾何的維度概念仿佛是一座金字塔，概念上下貫通，橫向間又衍生出其他幾何概念，形成了縱橫交錯的幾何概念體系。

當然幾何概念也不是獨立的，圖形與幾何、數(shù)與代數(shù)、統(tǒng)計與概率都是互融相通的。比如對等差數(shù)列計算方法的理解可以與梯形面積公式相結(jié)合;先求和再計算平均數(shù)的方法可以與移多補少相結(jié)合;對可能性相等的理解可以與統(tǒng)計圖折線的波動幅度相結(jié)合;對長度、面積、體積單位進率的理解可以借助一維的線、二維的正方形面，三維的正方體……

3. 系統(tǒng)思維，編織“數(shù)網(wǎng)”

數(shù)學(xué)概念絕不是孤立存在的單項知識，或是由單項知的簡單組合而成的高層次知識。教師只有將前后左右的相關(guān)概念了然于心，才能將分學(xué)段教學(xué)的知識點靈活地貫穿成線，交織成網(wǎng)，從而進行結(jié)構(gòu)化、系統(tǒng)化的教學(xué)，讓學(xué)生從局部認識整體，在整體中加深對局部的認識，真正做到融會貫通。

讀完《小學(xué)數(shù)學(xué)教材中的大道理》一書，筆者深刻體會到小學(xué)數(shù)學(xué)教材不容小覷，它其中隱藏著諸多大道理等待我們?nèi)ヌ剿魍诰颉τ诮滩?，我們不能低估其中的含金?對于概念，我們要厘清本質(zhì)不能含糊，關(guān)注其內(nèi)在意義和價值;對于數(shù)學(xué)，我們要用高于生活的眼光看待它，看到其中龐大的內(nèi)在系統(tǒng)。筆者深刻認識到自己對數(shù)學(xué)概念的認識有著很大的不足，張奠宙教授對小學(xué)數(shù)學(xué)教材的潛心研讀讓筆者深受感動與鼓舞。作為一線數(shù)學(xué)教師，筆者將響應(yīng)張奠宙教授的號召，關(guān)注對數(shù)學(xué)核心概念的理解和對數(shù)學(xué)概念本質(zhì)的研究，為提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)而努力。

參考文獻：

[1]? 馮桂群. 言語與符號：培育數(shù)學(xué)思維的重要表征[J].教學(xué)與管理，2019（20）：34-36.

[2]? 沈利玲. 數(shù)學(xué)思維可視化工具的類型及其應(yīng)用[J]. 教學(xué)與管理，2020（17）：48-51.