【摘要】本文針對(duì)高中生普遍存在數(shù)學(xué)語(yǔ)言學(xué)習(xí)障礙的現(xiàn)象，分析高中生數(shù)學(xué)語(yǔ)言學(xué)習(xí)障礙的主要表現(xiàn)和成因，提出做好初高中數(shù)學(xué)教學(xué)銜接，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng);創(chuàng)設(shè)學(xué)生熟悉的情境，讓感性認(rèn)識(shí)上升到理性思維;積累數(shù)學(xué)語(yǔ)言學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，提升學(xué)生的直觀想象、邏輯推理素養(yǎng);培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)思維分析世界、用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)世界的能力，以及提升教師數(shù)學(xué)語(yǔ)言素質(zhì)等問(wèn)題解決策略。

【關(guān)鍵詞】高中生 數(shù)學(xué)語(yǔ)言 學(xué)習(xí)障礙 研究與策略

【中圖分類號(hào)】G63 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A

【文章編號(hào)】0450-9889（2022）14-0115-05

數(shù)學(xué)語(yǔ)言是一種高度抽象的符號(hào)系統(tǒng)，其呈現(xiàn)形式非常豐富，有揭示概念本質(zhì)屬性的文字語(yǔ)言，有指意簡(jiǎn)明的符號(hào)語(yǔ)言，還有直觀形象的圖形語(yǔ)言。對(duì)學(xué)生而言，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過(guò)程，就是運(yùn)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言將數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)思維等內(nèi)化為自身認(rèn)知結(jié)構(gòu)的過(guò)程。因此，要想學(xué)好數(shù)學(xué)，學(xué)生必須具備較好的數(shù)學(xué)語(yǔ)言運(yùn)用能力?！镀胀ǜ咧袛?shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》（以下簡(jiǎn)稱數(shù)學(xué)課標(biāo)）將能否恰當(dāng)運(yùn)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言及自然語(yǔ)言進(jìn)行表達(dá)與交流，作為高中生評(píng)價(jià)的重要內(nèi)容，可見(jiàn)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)語(yǔ)言的重要性。

一、高中生數(shù)學(xué)語(yǔ)言學(xué)習(xí)障礙的主要表現(xiàn)和成因

數(shù)學(xué)語(yǔ)言是數(shù)學(xué)知識(shí)的重要載體，具有簡(jiǎn)練、嚴(yán)謹(jǐn)、精確等特點(diǎn)，是培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維的有力工具。靈活運(yùn)用各種形式的數(shù)學(xué)語(yǔ)言，有助于學(xué)生順利完成“機(jī)械認(rèn)識(shí)→歸納認(rèn)識(shí)→理性認(rèn)識(shí)”的認(rèn)知過(guò)程。然而，據(jù)筆者觀察發(fā)現(xiàn)，高中生普遍存在數(shù)學(xué)語(yǔ)言學(xué)習(xí)障礙，這不僅降低了學(xué)生的解題正確率，還影響了學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的發(fā)展。數(shù)學(xué)語(yǔ)言學(xué)習(xí)障礙，是指學(xué)習(xí)者在需要運(yùn)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言進(jìn)行學(xué)習(xí)時(shí)，不能順利地進(jìn)行數(shù)學(xué)語(yǔ)言的識(shí)別、理解、轉(zhuǎn)換、構(gòu)造、組織和表達(dá)等活動(dòng)的一種學(xué)習(xí)障礙。

（一）常見(jiàn)的數(shù)學(xué)語(yǔ)言學(xué)習(xí)障礙

在教學(xué)實(shí)踐中，筆者發(fā)現(xiàn)，高中生常出現(xiàn)的數(shù)學(xué)語(yǔ)言學(xué)習(xí)障礙有以下5種：一是數(shù)學(xué)語(yǔ)言識(shí)別障礙，主要是指學(xué)生無(wú)法從數(shù)學(xué)語(yǔ)言中識(shí)別相關(guān)知識(shí)的基本屬性及內(nèi)涵等信息，這一障礙在數(shù)學(xué)基礎(chǔ)較差的學(xué)生中表現(xiàn)得較為明顯，突出表現(xiàn)為在解題時(shí)無(wú)法讀懂題意;二是數(shù)學(xué)語(yǔ)言理解障礙，主要體現(xiàn)在學(xué)生難以理解數(shù)學(xué)概念、命題、表達(dá)式及各種數(shù)學(xué)關(guān)系，有相當(dāng)數(shù)量的學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念及其表現(xiàn)形式停留在機(jī)械記憶層面，無(wú)法深入理解概念的內(nèi)涵和外延;三是數(shù)學(xué)語(yǔ)言轉(zhuǎn)換障礙，是指在不改變數(shù)學(xué)對(duì)象、數(shù)學(xué)意義或本質(zhì)的前提下，改變其表征形式的一種轉(zhuǎn)換過(guò)程，突出表現(xiàn)為學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象進(jìn)行不同表征形式的轉(zhuǎn)換時(shí)，不能準(zhǔn)確進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)換;四是數(shù)學(xué)語(yǔ)言構(gòu)造障礙，其實(shí)質(zhì)就是學(xué)生缺乏邏輯推理素養(yǎng)和數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)，突出表現(xiàn)為學(xué)生難以將數(shù)學(xué)對(duì)象形式化、符號(hào)化，或難以從現(xiàn)實(shí)情境中抽象出數(shù)學(xué)問(wèn)題;五是數(shù)學(xué)語(yǔ)言組織和表達(dá)障礙，是指學(xué)生難以對(duì)數(shù)學(xué)語(yǔ)言信息進(jìn)行分析、篩選、加工，突出表現(xiàn)為大部分學(xué)生不能發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)語(yǔ)言中的隱含條件，無(wú)法分析數(shù)學(xué)語(yǔ)言之間的聯(lián)系，很難找出其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)關(guān)系式，不能闡述解決問(wèn)題的思路，無(wú)法與他人進(jìn)行有效交流。

（二）數(shù)學(xué)語(yǔ)言學(xué)習(xí)障礙的主要成因

1.數(shù)學(xué)學(xué)科的高度抽象性造成了數(shù)學(xué)語(yǔ)言理解障礙

數(shù)學(xué)是自然學(xué)科中最基礎(chǔ)的學(xué)科，主要是通過(guò)抽象的概念表達(dá)事物間的聯(lián)系。高中數(shù)學(xué)具有很強(qiáng)的抽象性，學(xué)習(xí)者需要從研究對(duì)象或問(wèn)題中發(fā)現(xiàn)一類事物中與數(shù)量關(guān)系、空間形式有關(guān)的一般規(guī)律，并通過(guò)適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)語(yǔ)言將這種規(guī)律表示出來(lái)，形成一般模型，養(yǎng)成數(shù)學(xué)方法和數(shù)學(xué)思維。這就需要學(xué)生具備較高的形象化素養(yǎng)和運(yùn)算能力，能夠準(zhǔn)確將抽象符號(hào)形象化，這對(duì)很多學(xué)生來(lái)說(shuō)是比較困難的。數(shù)學(xué)學(xué)科的高度抽象性是造成學(xué)生數(shù)學(xué)語(yǔ)言理解障礙的原因之一。

2.學(xué)生不良的學(xué)習(xí)習(xí)慣造成了數(shù)學(xué)語(yǔ)言學(xué)習(xí)障礙

英國(guó)著名數(shù)學(xué)家懷海特曾說(shuō)：“如果我們不了解符號(hào)的含義，那么我們什么都不知道，對(duì)于一個(gè)符號(hào)，我們只是一知半解地使用它，則無(wú)法掌握和運(yùn)用自如?！痹谌粘＝虒W(xué)觀察中，筆者發(fā)現(xiàn)，學(xué)生往往能準(zhǔn)確記憶數(shù)學(xué)概念，可是在實(shí)際應(yīng)用時(shí)卻往往不知從何處著手。究其原因，主要是因?yàn)閷W(xué)生只記住了概念的文字或符號(hào)表征，沒(méi)有理解概念背后的數(shù)學(xué)本質(zhì)，而且通常習(xí)慣于通過(guò)大量練習(xí)掌握解題方法，對(duì)數(shù)學(xué)思想往往是一知半解，在進(jìn)行文字、符號(hào)、圖形等三種數(shù)學(xué)語(yǔ)言的轉(zhuǎn)換時(shí)常常忽略關(guān)鍵信息，未能進(jìn)行正確的等價(jià)轉(zhuǎn)換，就會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)漏頻出、顧此失彼的窘境。這種不良的學(xué)習(xí)習(xí)慣，是造成學(xué)生數(shù)學(xué)語(yǔ)言學(xué)習(xí)障礙的另一個(gè)原因，最終會(huì)阻礙學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的發(fā)展。

3.教師不重視學(xué)生數(shù)學(xué)語(yǔ)言轉(zhuǎn)換能力的培養(yǎng)

受應(yīng)試教育觀念的影響，不少一線教師沒(méi)有樹(shù)立以發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)為導(dǎo)向的教學(xué)意識(shí)，課堂教學(xué)依然以知識(shí)灌輸為主，特別是在數(shù)學(xué)概念的教學(xué)中往往存在重結(jié)果而輕過(guò)程、重視解題技巧而輕視概念形成的現(xiàn)象，不重視引導(dǎo)學(xué)生將各種數(shù)學(xué)語(yǔ)言進(jìn)行有效轉(zhuǎn)換，致使學(xué)生不能深入理解數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)。如此教學(xué)數(shù)學(xué)概念，會(huì)導(dǎo)致學(xué)生對(duì)概念的理解一直處于表層狀態(tài)，無(wú)法深刻理解這些符號(hào)化概念的內(nèi)涵和外延，長(zhǎng)此以往就會(huì)影響學(xué)生數(shù)學(xué)語(yǔ)言轉(zhuǎn)換能力的培養(yǎng)，甚至影響數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的發(fā)展。另外，部分教師使用的教學(xué)語(yǔ)言不夠嚴(yán)謹(jǐn)、規(guī)范，有些教師在講解過(guò)程中則過(guò)于依賴書面語(yǔ)言，使數(shù)學(xué)概念的講解更加抽象、枯燥無(wú)味，這就會(huì)對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)語(yǔ)言轉(zhuǎn)換能力產(chǎn)生消極作用。數(shù)學(xué)語(yǔ)言的轉(zhuǎn)換可以幫助學(xué)生在不改變其本質(zhì)屬性的情況下，將抽象的數(shù)學(xué)定義和數(shù)學(xué)命題變?yōu)橥ㄋ滓锥?、直觀形象、易于接受的語(yǔ)言或圖象，這不僅能有效提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，樹(shù)立學(xué)好數(shù)學(xué)的信心，還能幫助學(xué)生快捷地從錯(cuò)綜復(fù)雜的條件中提取有效信息，形成良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)、數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)思維。

二、破解高中生數(shù)學(xué)語(yǔ)言學(xué)習(xí)障礙的策略

（一）做好初高中數(shù)學(xué)教學(xué)銜接，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)

初中階段的數(shù)學(xué)知識(shí)比較具象，對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)要求不高;高中階段的數(shù)學(xué)知識(shí)則相對(duì)抽象，需要學(xué)生具備較高的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)。數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)是指通過(guò)對(duì)數(shù)量關(guān)系與空間形式進(jìn)行抽象，從而得到數(shù)學(xué)研究對(duì)象的素養(yǎng)，其內(nèi)容主要包括從數(shù)量與數(shù)量關(guān)系、圖形與圖形關(guān)系中抽象出數(shù)學(xué)概念及概念間的聯(lián)系，從事物的具體背景中抽象出一般規(guī)律和結(jié)構(gòu)，并用數(shù)學(xué)語(yǔ)言予以表征。數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)是數(shù)學(xué)學(xué)科基本素養(yǎng)之一，是發(fā)展學(xué)生理性思維的重要基礎(chǔ)，反映了數(shù)學(xué)的本質(zhì)特征，貫穿于數(shù)學(xué)產(chǎn)生、發(fā)展、應(yīng)用的全過(guò)程。數(shù)學(xué)課標(biāo)要求發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)，具體而言就是：學(xué)生通過(guò)高中數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)，能夠抽象出數(shù)學(xué)概念、命題、方法和體系，積累從具體到抽象的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn);養(yǎng)成在日常生活和實(shí)踐中進(jìn)行一般性思考問(wèn)題的習(xí)慣，能夠把握事物的本質(zhì)，并運(yùn)用數(shù)學(xué)抽象思維方式思考、解決問(wèn)題。

培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)，高中教師一方面應(yīng)做好初高中數(shù)學(xué)教學(xué)的銜接，幫助學(xué)生完成從初中到高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過(guò)渡;另一方面要遵循語(yǔ)言學(xué)習(xí)規(guī)律，培養(yǎng)學(xué)生對(duì)文字、符號(hào)、圖形等三種數(shù)學(xué)語(yǔ)言進(jìn)行有效轉(zhuǎn)換的能力，提高學(xué)生從事物的具體背景中抽象出一般規(guī)律和結(jié)構(gòu)的能力，以及用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表征抽象概念和知識(shí)的能力。發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)，能夠進(jìn)一步發(fā)展高中生的“四基”（基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想、基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)）、提高“四能”（發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力）。

以人教A版高中數(shù)學(xué)必修1中“集合”“常用邏輯用語(yǔ)”的教學(xué)為例，數(shù)學(xué)課標(biāo)將集合與常用邏輯用語(yǔ)作為高中數(shù)學(xué)課程的預(yù)備知識(shí)，要求學(xué)生用集合的語(yǔ)言簡(jiǎn)潔、準(zhǔn)確地表述數(shù)學(xué)對(duì)象，實(shí)現(xiàn)從具體的初中數(shù)學(xué)知識(shí)向較為抽象的高中數(shù)學(xué)知識(shí)的過(guò)渡。集合是刻畫一類事物的語(yǔ)言和工具，描述其概念的數(shù)學(xué)語(yǔ)言簡(jiǎn)潔、抽象，只有通過(guò)系統(tǒng)學(xué)習(xí)這些抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言，才能提高學(xué)生抽象表達(dá)數(shù)學(xué)的能力，積累數(shù)學(xué)抽象的經(jīng)驗(yàn)。因此在教學(xué)中，教師可通過(guò)運(yùn)用生活實(shí)例，創(chuàng)設(shè)使用數(shù)學(xué)語(yǔ)言的情境，讓學(xué)生運(yùn)用集合語(yǔ)言進(jìn)行表述，并不斷嘗試進(jìn)行文字、符號(hào)、圖形等三種數(shù)學(xué)語(yǔ)言的相互轉(zhuǎn)換，從而提升學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)。

而常用邏輯用語(yǔ)是數(shù)學(xué)語(yǔ)言的重要組成部分，是數(shù)學(xué)表達(dá)和交流的工具，是邏輯思維的基本語(yǔ)言。常用邏輯用語(yǔ)這部分內(nèi)容對(duì)學(xué)生而言十分抽象，對(duì)邏輯推理、數(shù)學(xué)語(yǔ)言運(yùn)用等能力要求較高，但通過(guò)邏輯用語(yǔ)的學(xué)習(xí)，能夠讓學(xué)生使用常用邏輯用語(yǔ)表達(dá)數(shù)學(xué)對(duì)象、進(jìn)行數(shù)學(xué)推理，提高交流的嚴(yán)謹(jǐn)性與準(zhǔn)確性。教師在教學(xué)中可從實(shí)際生活出發(fā)，運(yùn)用生活案例讓學(xué)生直觀感知邏輯語(yǔ)言，通過(guò)現(xiàn)實(shí)情境或數(shù)學(xué)情境，對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象進(jìn)行準(zhǔn)確嚴(yán)謹(jǐn)?shù)谋硎?，提升學(xué)生的邏輯推理素養(yǎng)。

以下，筆者將通過(guò)兩道例題的講解，具體分析如何培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)。

【例1】在a克糖水中含有b克糖（a[>]b[>]0），現(xiàn)再加入m克糖，則糖水變得更甜了，這一實(shí)際問(wèn)題說(shuō)明了數(shù)學(xué)上的一個(gè)不等關(guān)系式，這個(gè)不等關(guān)系式為? 。

“在糖水中加入糖則糖水變得更甜”是一個(gè)生活常識(shí)，說(shuō)明這道例題與學(xué)生的實(shí)際生活密切相關(guān)，設(shè)計(jì)這道題的目的是讓學(xué)生從實(shí)際生活情境中抽象出數(shù)學(xué)問(wèn)題，并用數(shù)學(xué)語(yǔ)言予以表征。然而，要從這樣一個(gè)大家都熟悉的情境中抽象出一個(gè)數(shù)學(xué)不等式，卻讓很多學(xué)生感到無(wú)從入手。造成這一現(xiàn)象的原因是學(xué)生欠缺數(shù)學(xué)抽象能力，難以完成文字語(yǔ)言與符號(hào)語(yǔ)言的轉(zhuǎn)換。針對(duì)這道例題，用學(xué)科知識(shí)解釋糖水變甜了這一現(xiàn)象，就是加糖后的糖水濃度大于原有的糖水濃度（糖水的濃度=[糖的質(zhì)量糖水的質(zhì)量]），于是將兩次糖水濃度的大小關(guān)系用不等式表示出來(lái)，即可得到不等關(guān)系式為[ba][<][b+ma+m]（a[>]b[>]0，m[>]0）。在解決這一問(wèn)題過(guò)程中，教師除了引導(dǎo)學(xué)生將題中的各種數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)換為現(xiàn)實(shí)生活中易于認(rèn)識(shí)的事物，還列舉了在鹽水中加入更多鹽讓鹽水變咸等現(xiàn)實(shí)案例，引導(dǎo)學(xué)生抽象出一般的濃度變化的規(guī)律和概念，從而發(fā)展了學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)。

【例2】從區(qū)間[0，1]隨機(jī)抽取2n個(gè)數(shù)x1，x2，…和xn和y1，y2，…，yn，構(gòu)成n個(gè)數(shù)對(duì)（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn），其中兩數(shù)平方和小于1的數(shù)對(duì)共有m個(gè)，則用隨機(jī)模擬的方法得到的圓周率[π]的近似值為（? ）。

A.[4nm]? ?B.[2nm]? ?C.[4mn]? ?D.[2mn]

這是一道高考數(shù)學(xué)試題，其原型為人教A版高中數(shù)學(xué)必修3中圓周率的計(jì)算一課的例題3，通過(guò)比較分析可以看出兩道題的出題背景、解題思路基本相同，但是由于兩道題題干中的條件描述方式不同，結(jié)果就有很多學(xué)生不懂如何解決這道高考數(shù)學(xué)試題。究其原因，在于學(xué)生數(shù)學(xué)抽象能力弱，不能有效進(jìn)行數(shù)學(xué)語(yǔ)言的等價(jià)轉(zhuǎn)換，無(wú)法把所學(xué)知識(shí)遷移到新的解題情境。因此在講解例題時(shí)，筆者注重引導(dǎo)學(xué)生充分挖掘教材、例題的知識(shí)背景，通過(guò)運(yùn)用黃豆排列或有序數(shù)對(duì)的落點(diǎn)問(wèn)題，創(chuàng)設(shè)生活情境引導(dǎo)學(xué)生開(kāi)展隨機(jī)模擬實(shí)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)和提煉圓周率的估算問(wèn)題，強(qiáng)化學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)、數(shù)學(xué)建模意識(shí)，讓學(xué)生能夠從數(shù)量與數(shù)量關(guān)系、圖形與圖形關(guān)系中抽象出數(shù)學(xué)概念和概念間的關(guān)系，從事物的具體背景中抽象出一般規(guī)律和結(jié)構(gòu)。

通過(guò)以上兩道例題的講解可知，數(shù)學(xué)抽象過(guò)程也是數(shù)學(xué)建模過(guò)程，是通過(guò)對(duì)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題進(jìn)行抽象概括，用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表征和解決問(wèn)題的過(guò)程。當(dāng)教師通過(guò)現(xiàn)實(shí)情境引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)學(xué)的視角提煉不同計(jì)算角度下的概率數(shù)量關(guān)系（等式）時(shí)，也就是在引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，積累用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表征實(shí)際問(wèn)題的經(jīng)驗(yàn)，提高學(xué)生的應(yīng)用能力和創(chuàng)新意識(shí)，進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)。

（二）創(chuàng)設(shè)學(xué)生熟悉的情境，讓感性認(rèn)識(shí)上升到理性認(rèn)識(shí)

符號(hào)語(yǔ)言因具有高度的抽象性、嚴(yán)密的邏輯性等特性，而廣泛用于表征數(shù)學(xué)定義。正因?yàn)榉?hào)語(yǔ)言具有高度的抽象性，所以學(xué)生不易于理解和接受。因此，在教學(xué)中，教師應(yīng)從學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)出發(fā)，在引進(jìn)一個(gè)新的數(shù)學(xué)符號(hào)時(shí)，首先通過(guò)展示有代表性的具體模型，讓學(xué)生進(jìn)行觀察、分析和概括，形成感性認(rèn)識(shí)，然后離開(kāi)具體的模型結(jié)合定義對(duì)符號(hào)實(shí)質(zhì)進(jìn)行理性分析，形成理性思維，完成由特殊到一般、由具體到抽象的認(rèn)識(shí)過(guò)程。

以函數(shù)的單調(diào)性教學(xué)為例。在初中階段，學(xué)生通過(guò)圖象觀察可以直觀地認(rèn)識(shí)函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的單調(diào)性的相關(guān)定義表征還比較通俗易懂。到了高中階段，學(xué)生需要在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步用符號(hào)語(yǔ)言來(lái)表征函數(shù)的單調(diào)性。因此，高中教師在講解函數(shù)的單調(diào)性概念時(shí)，可以從學(xué)生熟悉的函數(shù)圖象入手，讓學(xué)生觀察圖象的變與不變，認(rèn)識(shí)“變化中的不變性就是性質(zhì)，變化中的規(guī)律性也是性質(zhì)”這一道理。在具體教學(xué)中，筆者通過(guò)創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，引導(dǎo)學(xué)生完成從感性認(rèn)識(shí)上升到理性認(rèn)識(shí)的認(rèn)知過(guò)程。問(wèn)題如下：①在初中階段已經(jīng)學(xué)過(guò)一元一次函數(shù)、反比例函數(shù)、一元二次函數(shù)，請(qǐng)根據(jù)下頁(yè)圖1所示的函數(shù)圖象，分別述說(shuō)x在哪個(gè)范圍變化時(shí)，y隨著x的增大而增大或者隨著x的減小而減小？②如何用數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言準(zhǔn)確刻畫二次函數(shù)y=（x-1）2-1在區(qū)間[1，+∞）上y隨著x的增大而增大？③在區(qū)間[0，+∞）內(nèi)取x1，x2，當(dāng)x1[<]x2時(shí)都有f（x1）[<]f（x2），能不能反映出函數(shù)圖象在區(qū)間[0，+∞）內(nèi)一直呈上升趨勢(shì)呢？④要滿足怎樣的條件，才能保證函數(shù)圖象在給定的區(qū)間內(nèi)圖象一直呈上升趨勢(shì)呢？⑤你能試著用符號(hào)語(yǔ)言給單調(diào)遞增函數(shù)下定義嗎？⑥我們能否說(shuō)反比例函數(shù)y=[1x]（x≠0）是減函數(shù)？

通過(guò)以上6個(gè)問(wèn)題，讓學(xué)生經(jīng)歷由具體到抽象、由圖形語(yǔ)言和文字語(yǔ)言抽象出符號(hào)語(yǔ)言的認(rèn)知過(guò)程，從而抽象出函數(shù)的單調(diào)性的概念，體會(huì)用符號(hào)語(yǔ)言表征數(shù)學(xué)定義的必要性，理解符號(hào)化定義在討論函數(shù)的單調(diào)性中的作用，從而促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的發(fā)展。如在引導(dǎo)學(xué)生深入理解函數(shù)的單調(diào)性定義“當(dāng)x1，x2∈（a，b）時(shí)，對(duì)任意x1[<]x2，都有f（x1）[<]f（x2），則函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（a，b）上是單調(diào)遞增函數(shù)”時(shí)，其中“任意”兩字是學(xué)生理解的難點(diǎn)，因此筆者通過(guò)問(wèn)題③、問(wèn)題④，讓學(xué)生體會(huì)全稱量詞、存在量詞等邏輯用語(yǔ)的作用，然后不斷引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行文字語(yǔ)言和符號(hào)語(yǔ)言間的等價(jià)轉(zhuǎn)換，培養(yǎng)學(xué)生從具體問(wèn)題抽象出數(shù)量關(guān)系、尋找變化規(guī)律并用符號(hào)語(yǔ)言表達(dá)數(shù)學(xué)關(guān)系的良好習(xí)慣，真正理解符號(hào)語(yǔ)言的數(shù)學(xué)內(nèi)涵和本質(zhì)，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)。

（三）積累數(shù)學(xué)語(yǔ)言學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，提升學(xué)生的直觀想象、邏輯推理素養(yǎng)

數(shù)學(xué)課標(biāo)所提的“四基”，是在《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)版）》提出的“雙基”的基礎(chǔ)上，增加了“基本思想”“基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)”兩項(xiàng)內(nèi)容，這一變化能促使數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中結(jié)果與過(guò)程、客觀與主觀、靜態(tài)與動(dòng)態(tài)、外在與內(nèi)化的有機(jī)融合，這無(wú)疑有助于學(xué)生破解數(shù)學(xué)語(yǔ)言學(xué)習(xí)障礙，發(fā)展數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)。筆者認(rèn)為，開(kāi)展豐富的學(xué)習(xí)活動(dòng)，能夠幫助學(xué)生積累數(shù)學(xué)語(yǔ)言學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，提升學(xué)生的直觀想象、邏輯推理素養(yǎng)。

以誘導(dǎo)公式的教學(xué)為例，教師可引導(dǎo)學(xué)生利用單位圓的對(duì)稱性，探索三角函數(shù)在變化中的不變的性質(zhì)，從而歸納出符號(hào)化的誘導(dǎo)公式。在單位圓中（如圖2所示），角[α]的終邊與單位圓的交點(diǎn)記為P（x，y），角-[α]的終邊與單位圓的交點(diǎn)記為P′，根據(jù)點(diǎn)P與P′關(guān)于x軸對(duì)稱得到P′點(diǎn)的坐標(biāo)為P′（x，-y），然后由三角函數(shù)定義可知sin[α]=[yr]，sin（-[α]）=[yr]，發(fā)現(xiàn)角[α]與角-[α]的三角函數(shù)值間存在“sin（-[α]）=-sin[α]，同理可得到cos（-[α]）=cos[α]，tan（[-α]）=-tan[α]”的關(guān)系，由此學(xué)生探究得到了角-[α]的誘導(dǎo)公式。在此基礎(chǔ)上，教師引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用研究角-[α]誘導(dǎo)公式的方法，自主探究得到了角[π+α]的誘導(dǎo)公式（如圖3所示）。通過(guò)這樣兩個(gè)推導(dǎo)實(shí)踐活動(dòng)，一方面讓學(xué)生親身感受類比思維在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的重要性，另一方面讓學(xué)生積累了推導(dǎo)數(shù)學(xué)定義、公式的經(jīng)驗(yàn)，學(xué)會(huì)進(jìn)行文字、符號(hào)、圖形等三種語(yǔ)言的相互轉(zhuǎn)換，完成了由數(shù)解形、由形助數(shù)的學(xué)習(xí)過(guò)程，提升了學(xué)生的直觀想象和邏輯推理素養(yǎng)。

（四）培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)思維分析世界、用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表征世界的能力

數(shù)學(xué)課標(biāo)明確指出如下兩個(gè)學(xué)習(xí)目標(biāo)：一是通過(guò)高中數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)，學(xué)生能有意識(shí)地用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表征現(xiàn)實(shí)世界，發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題，感悟數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)之間的聯(lián)系;二是學(xué)生學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問(wèn)題，積累數(shù)學(xué)實(shí)踐的經(jīng)驗(yàn)。

如人教A版高中數(shù)學(xué)必修2中有這樣一道習(xí)題：已知0[<]x[<]1，0[<]y[<]1，求證：[x2+y2]+[x2+（1-y）? 2+][（1-x） 2+y2]+[（1-x） 2+（1-y） 2][≥]2[2]。對(duì)這道題大部分學(xué)生都會(huì)心生畏懼，因?yàn)椴坏忍?hào)左邊的式子很復(fù)雜，學(xué)生不知該如何化簡(jiǎn)。解決這道題，如果從函數(shù)或純證明不等式的角度去理解，確實(shí)會(huì)感覺(jué)無(wú)從入手。此時(shí)，數(shù)學(xué)語(yǔ)言的轉(zhuǎn)換對(duì)解決這道習(xí)題就起了關(guān)鍵性作用。因此，筆者在講解過(guò)程中將符號(hào)語(yǔ)言轉(zhuǎn)換為圖形語(yǔ)言（如圖4所示）：設(shè)有4個(gè)點(diǎn)，P（x，y），A（1，0），B（1，1），C（0，1），利用兩點(diǎn)間的距離公式可知[PO]=[x2+y2]，[PA]=[（1-x）? 2+y2]，[PB]=[（1-x） 2+（1-y） 2]，[PC]=[x2+（1-y） 2]，所以[PO] + [PB] [≥] [BO] =[2]，[PA] + [PC] [≥] [AC]? =[2]，所以[PO] + [PB] +[PA] + [PC] [≥] 2[2]（當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)P為正方形ABCO的對(duì)角線AC與OB的交點(diǎn)時(shí)取等號(hào)）。

在這道題中，筆者引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)形結(jié)合思想將復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，讓學(xué)生能更好地用數(shù)學(xué)語(yǔ)言分析、理解世界。數(shù)形結(jié)合是高中數(shù)學(xué)的重要思想方法之一，其實(shí)質(zhì)是把數(shù)量關(guān)系的精確刻畫與幾何圖形的直觀描述有機(jī)結(jié)合起來(lái)，直觀展現(xiàn)出問(wèn)題的條件與結(jié)論間的內(nèi)在聯(lián)系，借助圖形將復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)換為直觀的圖形關(guān)系，提高了學(xué)生的解題效率。由此可見(jiàn)，進(jìn)行文字、圖形、符號(hào)三種數(shù)學(xué)語(yǔ)言間的等價(jià)轉(zhuǎn)換，是數(shù)學(xué)語(yǔ)言學(xué)習(xí)的重中之重。

數(shù)學(xué)是一門基礎(chǔ)學(xué)科，為學(xué)生學(xué)習(xí)物理學(xué)、力學(xué)、天文學(xué)、化學(xué)、生物學(xué)等自然科學(xué)提供了基礎(chǔ)。從本質(zhì)上說(shuō)，數(shù)學(xué)作為一門描述、研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的學(xué)科，其作用不僅是通過(guò)學(xué)習(xí)完成學(xué)科知識(shí)的積累，更重要的是發(fā)展學(xué)生的邏輯思維能力、數(shù)學(xué)思想方法、創(chuàng)新精神、實(shí)踐能力和正確的價(jià)值觀。因此，在教學(xué)實(shí)踐過(guò)程中培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)思維分析世界、用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)世界的能力，不僅能培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，更有利于促進(jìn)學(xué)生的終身發(fā)展。

（五）提升教師的數(shù)學(xué)語(yǔ)言素質(zhì)

數(shù)學(xué)語(yǔ)言是數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)思想的載體，是進(jìn)行數(shù)學(xué)思維和數(shù)學(xué)交流的重要工具。高中數(shù)學(xué)教材中概念、公式、定理的呈現(xiàn)具有非常突出的抽象化、形式化特點(diǎn)，學(xué)生只有清楚理解每一個(gè)數(shù)學(xué)符號(hào)的內(nèi)涵，才能準(zhǔn)確理解和把握各種數(shù)學(xué)概念、公式。要完成這樣的教學(xué)，教師就要對(duì)相關(guān)概念、定理、公式的內(nèi)涵和實(shí)質(zhì)有深刻透徹的理解，并且能夠用準(zhǔn)確、科學(xué)的數(shù)學(xué)語(yǔ)言向?qū)W生表述，因此教師必須具備較高的數(shù)學(xué)語(yǔ)言素質(zhì)。教師要著力提升自身的數(shù)學(xué)語(yǔ)言駕馭能力，能夠用多種數(shù)學(xué)語(yǔ)言表征同一數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)現(xiàn)象、數(shù)學(xué)問(wèn)題，從而不斷提高學(xué)生的理解能力、知識(shí)應(yīng)用能力，破解學(xué)生的數(shù)學(xué)語(yǔ)言學(xué)習(xí)障礙。

總而言之，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)語(yǔ)言轉(zhuǎn)換和應(yīng)用能力，不僅能夠有效提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的效率，增強(qiáng)學(xué)生遷移應(yīng)用知識(shí)的能力，還能夠促使學(xué)生構(gòu)建起科學(xué)、完善的數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)體系，深入理解數(shù)學(xué)概念，以更好地揭示和表征數(shù)學(xué)實(shí)質(zhì)，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的全面發(fā)展。

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作者簡(jiǎn)介：李?。?973— ），湖南郴州人，高級(jí)教師，主要研究方向?yàn)榛A(chǔ)教育數(shù)學(xué)教學(xué)。