王瑞平

【摘 ?要】2014年教育部印發(fā)了《關(guān)于全面深化課程改革、落實(shí)立德樹人根本任務(wù)的意見》，明確給出了“核心素養(yǎng)”的概念，到今年《義務(wù)教育課程方案和課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》的提出，“數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)”走過(guò)了轟轟烈烈的八年時(shí)光。在這八年時(shí)光里，孩子們的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象和數(shù)據(jù)分析能力得到了不同程度的發(fā)展，在小學(xué)學(xué)會(huì)的這些能力會(huì)影響孩子的一生，并由數(shù)學(xué)的核心素養(yǎng)遷移到其他的學(xué)科。其中“數(shù)學(xué)建?！彼仞B(yǎng)對(duì)學(xué)生的影響更為深遠(yuǎn)。數(shù)學(xué)建模是數(shù)學(xué)的一個(gè)分支，最簡(jiǎn)單的理解就是從生活問(wèn)題中提煉出數(shù)學(xué)問(wèn)題，建立起數(shù)學(xué)模型，得到解決問(wèn)題的一般思路和方法，并廣泛應(yīng)用到解決這一類問(wèn)題中去。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)建模;游戲公平;圓的周長(zhǎng);課堂 預(yù)設(shè)

數(shù)學(xué)建模是需要人們對(duì)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題進(jìn)行細(xì)致入微的觀察和分析，運(yùn)用各種數(shù)學(xué)知識(shí)，從實(shí)際問(wèn)題中抽象、提煉出數(shù)學(xué)模型的過(guò)程。數(shù)學(xué)建模在整個(gè)小學(xué)高段占據(jù)著重要的作用，特別對(duì)孩子們以后深入學(xué)習(xí)中學(xué)知識(shí)打下了基礎(chǔ)。怎樣在教學(xué)中激發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)建模的欲望這一核心素養(yǎng)呢？下面以六年級(jí)上冊(cè)《圓的周長(zhǎng)》一課為例，闡述如何激發(fā)學(xué)生建模的欲望，培養(yǎng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng)的嘗試。

一、《圓的周長(zhǎng)》是典型的二維關(guān)系模型

本節(jié)課是在學(xué)生學(xué)習(xí)了長(zhǎng)方形、正方形、平行四邊形、三角形和梯形這些基本平面圖形的周長(zhǎng)之后進(jìn)行教學(xué)的。以前學(xué)習(xí)的平面圖形都是由直直的線段組成的，求它們的周長(zhǎng)只要把首尾相連的幾條線段相加求和即可。而圓的周長(zhǎng)卻是一條曲線，這是我們第一次接觸求一條曲線的長(zhǎng)度，這里面涉及到了化曲為直的轉(zhuǎn)化思想。如何把這條曲線轉(zhuǎn)化為直線段？怎樣激發(fā)學(xué)生建立求圓周長(zhǎng)計(jì)算公式的模型？我設(shè)計(jì)了以下幾個(gè)環(huán)環(huán)相扣的問(wèn)題來(lái)激發(fā)學(xué)生建模的欲望！

二、環(huán)環(huán)相扣的問(wèn)題，激發(fā)學(xué)生建模的欲望

（一）學(xué)習(xí)圓周長(zhǎng)的必要性——圓的周長(zhǎng)怎樣計(jì)算

上課伊始，我給學(xué)生們講了一個(gè)小故事。貪財(cái)?shù)陌鸵览蠣數(shù)挠?jì)謀屢屢被阿凡提識(shí)破，心里非常窩火。一天，仆人送給巴依老爺一頭強(qiáng)壯的小花驢，陰險(xiǎn)的巴依老爺心生一計(jì)。他叫來(lái)阿凡提，說(shuō)：“阿凡提，我得到了一頭小花驢，今天就讓我的小花驢和你的小黑驢比賽一場(chǎng)。規(guī)定小花驢沿著圓形路線跑，小黑驢沿著正方形路線跑。哪頭驢最先回到起點(diǎn)，那頭驢就獲勝。輸了的一方要給贏了的一方10個(gè)金幣?！边@個(gè)游戲規(guī)則公平嗎？（假設(shè)兩頭驢的奔跑速度相同）

師：怎么判斷這個(gè)游戲規(guī)則是否公平呢？

生：比較兩頭驢跑的長(zhǎng)度是否相同。小花驢跑的是一個(gè)圓的周長(zhǎng)，而小黑驢跑的是一個(gè)正方形的周長(zhǎng)。分別計(jì)算出圓的周長(zhǎng)和正方形的周長(zhǎng)，再比較這兩個(gè)周長(zhǎng)的大小即可，如果兩個(gè)周長(zhǎng)相等，則游戲規(guī)則公平，反之，游戲規(guī)則不公平。根據(jù)正方形的周長(zhǎng)=邊長(zhǎng)×4，很容易求出正方形的周長(zhǎng)，可是圓的周長(zhǎng)怎么計(jì)算呢？

討論到這里，學(xué)生的思路一下子被困住了。怎樣計(jì)算圓的周長(zhǎng)呢？全體學(xué)生陷入沉思。這時(shí)，我板書本節(jié)課的學(xué)習(xí)內(nèi)容——計(jì)算圓的周長(zhǎng)。以“游戲規(guī)則是否公平”引導(dǎo)學(xué)生思考，要解決“游戲規(guī)則是否公平”的問(wèn)題就必須知道怎樣計(jì)算圓的周長(zhǎng)，激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，促使學(xué)生初步萌生建模的欲望！

（二）什么是圓的周長(zhǎng)？怎么測(cè)量圓的周長(zhǎng)？感知測(cè)量有誤差

師：什么是圖形的周長(zhǎng)？圓的周長(zhǎng)指的是什么呢？

生：封閉圖形一周的長(zhǎng)度就是圖形的周長(zhǎng)。（學(xué)生用手指圍著圓片的外沿轉(zhuǎn)了一圈）圓的周長(zhǎng)就是圍繞著圓一周的那條曲線的長(zhǎng)度。

師：我們知道了圓的周長(zhǎng)，那么怎樣測(cè)量圓的周長(zhǎng)呢？

生：可以用“滾動(dòng)法”或者“繞線法”。

學(xué)生拿出學(xué)具，紛紛測(cè)量起圓的周長(zhǎng)。測(cè)量結(jié)束，學(xué)生發(fā)現(xiàn)同樣大小的一個(gè)圓片，測(cè)量出的周長(zhǎng)并不完全相同，總會(huì)存在一些誤差。

要測(cè)量圓的周長(zhǎng)，我們必須要想辦法把曲線轉(zhuǎn)化為我們會(huì)測(cè)量的直線段的長(zhǎng)。學(xué)生根據(jù)生活經(jīng)驗(yàn)知道，可以用“滾動(dòng)法”或者“繞線法”來(lái)把這條曲線轉(zhuǎn)化為線段。盡管采用“滾動(dòng)法”時(shí)我們把圓緊貼在直尺上，采用“繞線法”時(shí)我們盡量選擇沒(méi)有彈性的細(xì)線，可依然會(huì)有誤差。有時(shí)我們還會(huì)遇到求大圓的周長(zhǎng)，如圍繞圓形花壇的外沿走一圈走了多少米、高大的摩天輪轉(zhuǎn)動(dòng)一圈轎廂轉(zhuǎn)過(guò)了多少米，我們就無(wú)法再采用“滾動(dòng)法”或者“繞線法”來(lái)直接測(cè)量……那么，我們應(yīng)該怎樣盡可能地減少誤差，使結(jié)果更加精確？如何準(zhǔn)確地解決生活中關(guān)于圓的周長(zhǎng)的問(wèn)題呢？這一系列的問(wèn)題，再一次激發(fā)學(xué)生迫切想要知道如何計(jì)算圓的周長(zhǎng)的欲望。圓的周長(zhǎng)是不是也像以前學(xué)過(guò)的平面圖形那樣，有計(jì)算公式呢？圓的周長(zhǎng)到底應(yīng)該怎樣計(jì)算呢？

（三）計(jì)算圓的周長(zhǎng)需要抓住兩個(gè)關(guān)鍵：圓的周長(zhǎng)與什么有關(guān)？與這個(gè)相關(guān)量之間有什么倍數(shù)關(guān)系？

師：計(jì)算圓的周長(zhǎng)是本節(jié)課需要學(xué)習(xí)的內(nèi)容，那么圓的周長(zhǎng)與什么有關(guān)系呢？

學(xué)生通過(guò)聯(lián)系舊知，紛紛發(fā)表自己的見解。

生：正方形的周長(zhǎng)跟邊長(zhǎng)有關(guān)，增加（減小）邊長(zhǎng)的長(zhǎng)度，正方形的周長(zhǎng)也會(huì)增加（減?。ｉL(zhǎng)方形的周長(zhǎng)跟長(zhǎng)與寬的和有關(guān)，分別增加（減小）長(zhǎng)方形的長(zhǎng)與寬的長(zhǎng)度，長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)也會(huì)增加（減小）。在用圓規(guī)畫圓的過(guò)程中，我發(fā)現(xiàn)圓規(guī)兩腳尖的距離增加（減小），也就是半徑增加（減?。?，畫出的圓的周長(zhǎng)也會(huì)增加（減小），因此我猜測(cè)圓的周長(zhǎng)和直徑（或半徑）有關(guān)。

師：正方形的周長(zhǎng)=邊長(zhǎng)×4，長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)=（長(zhǎng)+寬）×2，圓的周長(zhǎng)與它的直徑之間是不是也存在著一個(gè)固定的倍數(shù)關(guān)系？我們需要驗(yàn)證一下。

學(xué)生動(dòng)手驗(yàn)證的時(shí)刻來(lái)了，大家拿出課前準(zhǔn)備好的大小不一的圓片，分別測(cè)量（盡可能地想辦法減少誤差，比如繩子需要越細(xì)越好，彈性越小越好，在測(cè)量的時(shí)候還得注意在圓片上做好開始的標(biāo)記，同時(shí)最好拿著圓片繞一段松開一段）出每個(gè)圓片的周長(zhǎng)和直徑，用它的周長(zhǎng)除以它的直徑之后，發(fā)現(xiàn)周長(zhǎng)是它的直徑的3倍多一點(diǎn)兒，雖然測(cè)量有誤差，但是周長(zhǎng)除以直徑的商都是3點(diǎn)幾。

我們找到了求圓的周長(zhǎng)的關(guān)鍵點(diǎn)：第一，圓的周長(zhǎng)和直徑（或半徑）有關(guān)系;第二，圓的周長(zhǎng)和直徑之間也存在著一個(gè)固定的倍數(shù)關(guān)系，只要找到這個(gè)固定的倍數(shù)，那么圓的周長(zhǎng)計(jì)算公式的模型就建立起來(lái)了。解決了這兩個(gè)問(wèn)題后，學(xué)生建模的欲望越來(lái)越強(qiáng)烈了。

那么圓的周長(zhǎng)到底是直徑的幾倍呢？

人類對(duì)圓周率的探索，經(jīng)歷了一個(gè)漫長(zhǎng)的過(guò)程。從公元前3世紀(jì)古希臘的數(shù)學(xué)家阿基米德，我國(guó)南北朝時(shí)期著名的數(shù)學(xué)家祖沖之，到現(xiàn)在人們用計(jì)算機(jī)算出圓周率小數(shù)點(diǎn)后62.8萬(wàn)億位，人類的腳步從未停歇，還將繼續(xù)研究下去。

問(wèn)題到這里已經(jīng)接近尾聲了，整個(gè)建模公式只差最后一步了。

三、突破關(guān)鍵問(wèn)題后激發(fā)學(xué)生建模欲望的嘗試

有了這個(gè)π，學(xué)生恍然大悟，找到了圓的周長(zhǎng)與直徑之間存在的固定的倍數(shù)π，也就是圓的周長(zhǎng)是直徑的π倍。得到圓的周長(zhǎng)計(jì)算公式——C圓=πd=2πr，就這樣建立了圓的周長(zhǎng)公式的計(jì)算模型！

得到了圓的周長(zhǎng)計(jì)算公式，就可以解決生活中的求圓的周長(zhǎng)的實(shí)際問(wèn)題。在兩頭毛驢奔跑速度相同的情況下，圓的周長(zhǎng)小于正方形的周長(zhǎng)，必然是圍繞著圓跑的小花驢最先回到起點(diǎn)，所以這個(gè)游戲規(guī)則是不公平的。

應(yīng)用圓的周長(zhǎng)計(jì)算公式可以求出圓形花壇最外沿一圈的長(zhǎng)度，也可以求出摩天輪轉(zhuǎn)一圈轎廂經(jīng)過(guò)的長(zhǎng)度。還可以解決如求半圓的周長(zhǎng)，已知周長(zhǎng)求直徑，已知周長(zhǎng)求半徑……的問(wèn)題。

有了這一次成功的數(shù)學(xué)建模，學(xué)生想要自己進(jìn)行數(shù)學(xué)建模的熱情空前高漲。從生活中的實(shí)際問(wèn)題出發(fā)，提煉出數(shù)學(xué)問(wèn)題，經(jīng)過(guò)一步步探索，找到了解決實(shí)際問(wèn)題的方法。通過(guò)聯(lián)系舊知，發(fā)展數(shù)感和量感，從而找到解決一類問(wèn)題的方法。課后我給學(xué)生布置了小組作業(yè)：回憶長(zhǎng)方體和正方體的體積公式的推演經(jīng)過(guò)，設(shè)計(jì)計(jì)算圓柱體積計(jì)算方法的數(shù)學(xué)模型。

四、我們的思考

回顧一下我們建模的過(guò)程，首先提出問(wèn)題：圓的周長(zhǎng)怎么計(jì)算？其次，要解決這個(gè)問(wèn)題的關(guān)鍵有兩個(gè)：第一，圓的周長(zhǎng)與什么有關(guān)系？第二，圓的周長(zhǎng)與這個(gè)相關(guān)量之間是否也存在著一個(gè)固定倍數(shù)關(guān)系？再次，找到圓的周長(zhǎng)與直徑有關(guān)，那么可以猜想圓的周長(zhǎng)與直徑之間存在著一個(gè)固定的倍數(shù)關(guān)系，驗(yàn)證圓的周長(zhǎng)與直徑之間存在著一個(gè)固定的倍數(shù)關(guān)系，得出結(jié)論：圓的周長(zhǎng)與直徑之間存在著一個(gè)固定的倍數(shù)——π，圓的周長(zhǎng)是直徑的π倍。最后建立圓的周長(zhǎng)計(jì)算公式模型C圓=πd或C圓=2πr（這里的π是一個(gè)固定的數(shù)）。

縱觀整節(jié)課，在建模的過(guò)程中，教師循循善誘、學(xué)生積極思考、師生默契互動(dòng)，使得課堂氛圍其樂(lè)融融。融洽寬松的課堂環(huán)境給了學(xué)生思維任意馳騁的空間，課堂上頻頻出現(xiàn)思維閃動(dòng)的火花，就連平時(shí)不愛(ài)說(shuō)話、不主動(dòng)舉手回答問(wèn)題的同學(xué)，都積極發(fā)言。這樣的課堂極大地開拓了學(xué)生的思維，使得老師預(yù)設(shè)的問(wèn)題順利地得到解決，建模的各個(gè)環(huán)節(jié)緊密地進(jìn)行推進(jìn)。最后成功地建模，學(xué)生們激動(dòng)萬(wàn)分。通過(guò)這樣的活動(dòng)，挖掘了學(xué)生的潛能，使得學(xué)生重新認(rèn)識(shí)了自己，也認(rèn)識(shí)了數(shù)學(xué)，增強(qiáng)了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、熱愛(ài)數(shù)學(xué)的信心。當(dāng)我布置了小組作業(yè)的時(shí)候，同學(xué)之間馬上積極交流起來(lái)，這樣的小組活動(dòng)既調(diào)動(dòng)了學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，同時(shí)也培養(yǎng)了學(xué)生的概括能力和總結(jié)能力。

整個(gè)建模的過(guò)程在未來(lái)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)上也是常常出現(xiàn)的，如以后初中學(xué)習(xí)一次函數(shù)，找函數(shù)的解析式時(shí)，學(xué)生只有先找到常數(shù)k，才能找到函數(shù)的解析式。

五、結(jié)束語(yǔ)

李大潛院士說(shuō)：“數(shù)學(xué)建模是開啟數(shù)學(xué)大門的金鑰匙?！笨梢姅?shù)學(xué)建模的重要性。在《義務(wù)教育課程方案和課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》中，關(guān)于數(shù)學(xué)建模只說(shuō)到了“模型意識(shí)”和“模型觀念”，怎樣有效地去設(shè)計(jì)一堂數(shù)學(xué)建模的課程，還處于摸索階段，沒(méi)有現(xiàn)成的路徑可以參考，本次課程也只是我的一種嘗試。也許本次嘗試還有很多不完善、不盡如人意的環(huán)節(jié)，還有待繼續(xù)磨合和提高。但是在整個(gè)建模的過(guò)程中，學(xué)生跟著我的設(shè)計(jì)思路一步一步往下進(jìn)行，推演得還算順利，基本完成了探索和建模的過(guò)程，達(dá)到了預(yù)期的目的。經(jīng)過(guò)課后反思，我發(fā)現(xiàn)在上建模課程的時(shí)候，可以給學(xué)生足夠多的時(shí)間去嘗試、去探索，哪怕最后會(huì)出現(xiàn)很多預(yù)設(shè)之外的問(wèn)題，但是這種嘗試的過(guò)程是學(xué)生需要的，也是學(xué)生該積累的，不管成功還是失敗，對(duì)學(xué)生和老師來(lái)說(shuō)都是一種積累，在積累中不斷進(jìn)步！

在數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)培養(yǎng)的道路上，我們的學(xué)習(xí)是永無(wú)止境的。多年后學(xué)生在生活中遇到一些困難，需要解決一些問(wèn)題時(shí)，他們?nèi)绻軌蛘业絾?wèn)題的關(guān)鍵，通過(guò)假設(shè)—驗(yàn)證—得出結(jié)論—解決問(wèn)題，就是我們所追求的核心素養(yǎng)！