高中數(shù)學(xué)函數(shù)與方程思想方法探究

黃福恒

摘要：數(shù)學(xué)思想方法是我們對數(shù)學(xué)知識的內(nèi)涵和方法的基本理解，它包含在具體的教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)方法中，通過提煉和歸納，形成學(xué)生的理性認(rèn)知，從而影響著我們的高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。掌握數(shù)學(xué)的基本原理，運(yùn)用解題方法，解決具體問題，都是數(shù)學(xué)思想方法的具體體現(xiàn)和運(yùn)用。這是一種只能理解和運(yùn)用的思維方式，用于理解、處理和解決數(shù)學(xué)問題，用于解決高中生的問題，是解決問題的一種重要思路。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué);函數(shù)與方程思想;應(yīng)用

一、數(shù)學(xué)函數(shù)及思想方法探究

在高中數(shù)學(xué)中，數(shù)學(xué)函數(shù)思維是比較實(shí)際的思維方式，例如一些方程題目、不等式題目可以轉(zhuǎn)化成函數(shù)思維，有些函數(shù)的解題思路可以作為解決問題的依據(jù)。數(shù)學(xué)解題思路是解決問題的標(biāo)準(zhǔn)，它具有易于掌握的特點(diǎn)，可以為數(shù)學(xué)教學(xué)提供支撐，而解決問題的思路是數(shù)學(xué)的中心，但必須以數(shù)學(xué)方式來體現(xiàn)它的本質(zhì)。

（一）函數(shù)模型的一般呈現(xiàn)模型

高中數(shù)學(xué)的函數(shù)模型是多種多樣的，最常用的是“對鉤函數(shù)”“二次函數(shù)”“分段函數(shù)”等。函數(shù)方程的實(shí)際操作可以逐步進(jìn)行：函數(shù)方程的求解、參數(shù)方程的求解、求解方程的探究、構(gòu)造方程的求解。

（二）數(shù)學(xué)方程的一般解題思想

在求解一個數(shù)學(xué)問題時(shí)，利用方程式的性質(zhì)來考慮問題，解題的方法就是利用公式思維。方程的思路是把它的運(yùn)動邏輯關(guān)系轉(zhuǎn)化成一種表達(dá)式。但是，它的本質(zhì)是把方程與函數(shù)聯(lián)系起來，把它們有機(jī)地結(jié)合起來，以求解一個真實(shí)的數(shù)學(xué)問題。數(shù)學(xué)函數(shù)和方程在解決問題時(shí)往往是相互聯(lián)系、相互貫通的，如果能找到聯(lián)系，學(xué)會使用，就能大大提升解題的效率。方程和函數(shù)的組合應(yīng)用通常是對一個函數(shù)問題進(jìn)行分析，并將其聯(lián)系起來，從而得到一個方程，這個問題就會得到解決。

二、函數(shù)與方程思想的意義

函數(shù)思想是對思想概念的基本理解，即運(yùn)用思想知識（視角）觀察問題，分析問題并解決問題。在初中數(shù)學(xué)中，函數(shù)的概念有兩個：一是利用初等函數(shù)的單一調(diào)性，解（證）不等式的解（證）以及參數(shù)的取值范圍的探討;二是通過建立幾個函數(shù)的解析式，或構(gòu)造一個中間函數(shù)，把所研究的問題化歸化為函數(shù)的相關(guān)屬性，使問題變得容易。

而方程式的思維，則是從根本上理解方程式的概念，即以方程式（組）的觀點(diǎn)來觀察、處理。

很多關(guān)于函數(shù)的問題都可以用公式來求解，反過來，很多關(guān)于方程的問題也可以用它來求解?？梢詫⑶蠼夥匠淌?f （x）= g（x）或求出的根數(shù)視為兩個函數(shù) Y= f （x）和 y= g （x）相交的橫軸或相交;參數(shù)方程和包含參數(shù)的方程 f （x， y， t）=0，不僅包含一個函數(shù)因子，而且它還是一個隨著參數(shù)變化的動力學(xué)方程。正是這種關(guān)系使得函數(shù)和方程式在解決問題時(shí)相互轉(zhuǎn)化、交換，從而極大地豐富了數(shù)學(xué)問題的思維寶庫。

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，探索數(shù)學(xué)思想與方法的相關(guān)問題，其終極目標(biāo)在于培養(yǎng)學(xué)生的思維品質(zhì)、解決問題的能力和個人綜合素質(zhì)。要達(dá)到這一目標(biāo)，必須在教學(xué)中運(yùn)用數(shù)學(xué)思想和方法，重視函數(shù)、方程式等概念，以激發(fā)學(xué)生對數(shù)學(xué)的興趣，強(qiáng)化對知識本質(zhì)的認(rèn)識，增強(qiáng)解題能力，促進(jìn)邏輯思考。

三、函數(shù)與方程思想的運(yùn)用

（一）函數(shù)與不等式之間的轉(zhuǎn)換，如果函數(shù) y= f （x）， y>0，則表示不等式 f （x）>0，學(xué)生可以通過函數(shù)的圖形和特性來求解這個問題。

（二）數(shù)列的通項(xiàng)公式或第一個 n項(xiàng)和公式都是由自變量與自然數(shù)的關(guān)系，用函數(shù)的角度來解決數(shù)列問題，這是我們在解決數(shù)列問題時(shí)，必須把問題變成一個未解的問題，然后再用方程式（組）來解決。

（三）解析幾何中的很多問題，比如二次曲線和二次曲線之間的關(guān)系，都是關(guān)于二次函數(shù)的相關(guān)理論，這些問題都是由學(xué)生來求解的。

（四）關(guān)于直線段的立體幾何;角度;在計(jì)算面積和體積時(shí)，往往要用列方程或函數(shù)表示法來求解，學(xué)生在學(xué)習(xí)了空間直角坐標(biāo)系后，就會發(fā)現(xiàn)它們之間的聯(lián)系變得更為緊密。

（五）一次函數(shù)和一次方程，用一次函數(shù)圖象求解二元一次方程的一般方法是：①把二元一次方程組的兩個等式轉(zhuǎn)換成一次函數(shù);②將兩個一次函數(shù)在相同的坐標(biāo)系統(tǒng)中得到圖像;③兩個圖象（兩條線）的交叉點(diǎn)是該方程組的解法。在此基礎(chǔ)上，學(xué)生根據(jù)函數(shù)圖形上的點(diǎn)坐標(biāo)，采用待定系數(shù)方法求出函數(shù)的解析表達(dá)式，并將兩個函數(shù)的關(guān)系式聯(lián)立為一個求解方程。

（六）二次函數(shù)和一元二次方程的圖象和x軸的交叉點(diǎn)，是由方程ax2十bx十c=0得到的結(jié)果。函數(shù)圖象與x軸相交及方程解的情形，其規(guī)則是：（1）若函數(shù) y=ax2+ bx+ c的圖象不與x軸相交，則等式ax2+ bx+ c=0的無實(shí)數(shù)根;（2）若函數(shù) y=ax2+ bx+ c=0的圖像與x軸有交點(diǎn)，則在方程式ax2+ bx+c=0中，存在兩個等效的實(shí)數(shù)根;（3）若函數(shù) y=ax2+ bx+ c的圖像與x軸有兩個交點(diǎn)，則在ax2+ bx+ c=0存在兩個非等實(shí)數(shù)根。

結(jié)束語

總之，函數(shù)和方程的概念是高中數(shù)學(xué)中最基礎(chǔ)的運(yùn)算方式，數(shù)學(xué)本身就是這樣，只不過這種方法并不局限于數(shù)學(xué)的范疇，它還包括了對空間的邏輯、對問題的認(rèn)知能力、對一個例子的多重應(yīng)用。

在高中數(shù)學(xué)中，函數(shù)和方程式的概念占據(jù)了很大的比重，成為了高考的重要內(nèi)容。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)該將多種方法引入到思想教學(xué)中，使學(xué)生能夠更好地理解函數(shù)、公式的具體運(yùn)用，并組織同學(xué)們進(jìn)行討論，交流解題思路，一起解決問題。此外，還應(yīng)培養(yǎng)學(xué)生的自主思維，增強(qiáng)他們的解題能力，增強(qiáng)他們的應(yīng)用能力，提高他們的解題效率和準(zhǔn)確性。

參考文獻(xiàn)：

[1]蔡玉鳳.高中數(shù)學(xué)中函數(shù)與方程思想應(yīng)用的研究[D].蘇州：蘇州大學(xué)，2014.

[2]崔錦.高中數(shù)列教學(xué)及解題研究[D].昆明：云南師范大學(xué)，2017.EF971067-C086-4D8A-8AE0-9F55387244FD