楊杰
摘要:逆向思維是創(chuàng)造性思維的一個組成部分,也是進行思維訓練的載體,培養(yǎng)學生逆向思維過程也是培養(yǎng)學生思維敏捷性、拓展學生思維視野的過程。本課例通過提公因式法分解因式教學過程,試圖培養(yǎng)學生的逆向思維。
關(guān)鍵詞:逆向思維;數(shù)學教學;數(shù)學思維;因式分解;提公因式法
一、設計背景及問題分析
因式分解需要把一個多項式化為幾個最簡整式的積的形式,如果從運算角度上考慮,實際上就是把一個表示和的形式,改變式子的結(jié)構(gòu),寫成乘積的形式,但要保持兩者仍相等,這樣的變形過程與整式乘法之間是互逆的關(guān)系.因此,分解因式的變形正是體現(xiàn)了逆向思維的過程,所以我以本節(jié)課為課例進行探索研究數(shù)學教學中逆向思維的培養(yǎng)過程。
二、培養(yǎng)逆向思維的教學設計
(一)理解公式的形成過程
因式分解的原理來自多項式乘法,比如(a+b)(a-b)=a2-b2 和a2-b2=(a+b)(a-b)是一種逆向變形的關(guān)系.教學過程中,既要引導學生借助正向思維去獲得公式,掌握其規(guī)律,也要讓學生通過“瓜”來找“藤”,做到來去自如.
對于提取公因式法的學習,我這樣操作:
1.讓學生寫出:a(m+n+q)=am+an+aq,然后利用等式的特征寫出am+an+aq=a(m+n+q).
2.我可以借助數(shù)形結(jié)合的方法展示如圖,從而很快讓學生理解:am+an+aq=a(m+n+q)
3.通過比喻的方式讓記住這兩個公式的表達形式:a(m+n+q)=am+an+aq——假如a前去某公司(括號正代表公司的房子)參觀,正好遇到了過去的朋友m,n,q三人都在這家公司工作,于是a分別與這三人握手示好;am+an+aq=a(m+n+q)——握手并在這家公司辦完事情后,a離開了這家公司,所以a已經(jīng)在括號(公司)的外面了,而原來與他握手的三人還在括號里面.
4.計算25×4+25×34+25×2,在實踐中理解這表示4個25相加,34個25相加,2個25相加,所以一共是40個25相加,與以原式等于40×25,這樣就促進了理解.
5.歸納提取公因式法.
6.加強實戰(zhàn)訓練,嘗試練習提取公因式法.
(二)利用等式性質(zhì),作出逆向思考
從命題的角度分析,一個原命題的命題可以是真命題也可以是假命題,比如對于平方差公式:(a+b)(a-b)=a2-b2來說,它只是一種整式乘法的形式,表述成語言就是兩數(shù)和與之兩數(shù)差的乘積等于這兩數(shù)的平方差,那么“如果兩數(shù)寫成平方差的形式,其結(jié)果是否等于兩數(shù)之和與兩數(shù)之差的積呢?”有的學生想當然地說這是成立的,理由呢,大家就會一籌莫展,而事實上,a=b成立,b=a就是成立的,用反證法也能證明它.學生就接觸過這樣的例子:因為|5|=5、|-5|=5,所以絕對值等于5的數(shù)有5與-5.但同樣5=|5|還是成立的,這里要防止是的把調(diào)換兩式位置兩種情況與原逆命題混為一談.比如對于平方差公式的思考方法:因為(a+b)(a-b)=a2-b2,所以等式a2-b2=(a+b)(a-b)右邊部分等于a2-b2,與左邊完全一樣,所以a2-b2=(a+b)(a-b)成立.也可以運用反證法思考(學生還沒有學習過,但其邏輯常識是早已被學生所接受的):如果a2-b2≠(a+b)(a-b),那么根據(jù)(a+b)(a-b)=a2-b2,替換上以后出現(xiàn)a2-b2≠a2-b2的情況,這說明前邊的假設是錯誤的,故a2-b2=(a+b)(a-b).
三、課堂實踐
【實踐過程】
2019年4月26日,八年級4班。
通過教室電子錄課設備錄下整節(jié)課的教學過程,課下與本組老師交流課堂中的關(guān)鍵環(huán)節(jié),如提取公因式法概念的獲取效果和運用逆向思維解題的正確率。
【片段描述】
師: 分解因式? 5a2x+10ay-25a3xy
生:先統(tǒng)觀全局,適當變化,發(fā)現(xiàn)可以逆用分配律,而“a2”與“a3”逆用同底數(shù)冪的乘法am·an=am+n,可變成“a·a”與“a·a2”,便于尋找公因式:
解:5a2x+10ay-25a3xy
=5a·ax+5a·2y-5a·5a2xy
=5a(ax+2y-5a2xy)
師:試說明993-99能被100整除
生:993可以逆用同底數(shù)冪的乘法法則變成99×992,然后逆用分配律將99×992-99進行分解。
解:993-99
=99×992-99×1
=99×(992-1)
=99×9800
=99×98×100
所以,993-99能被100整除
四、研究結(jié)論
在兩輪課堂實踐后,從課堂觀察員教師的觀察事實和微測評數(shù)據(jù),驗證了逆向思維對知識獲取的重要性,如果在學習分配律、乘法公式、冪的運算性質(zhì)時,多進行些逆向思維訓練,那么在學因式分解時,就顯得容易多了。
參考文獻:
[1]馬建林.新課標下初中數(shù)學教學逆向思維的開發(fā)與探索[J].數(shù)學學習與研究,2021(10):2.
[2]王國森.初中數(shù)學教學中學生逆向思維的培養(yǎng)策略[J].知識窗 2021(16):3.