巧構輔助圓：道是無“圓”卻有“圓”

張海營

2021年是廣東省中考改革的第二年，數(shù)學卷在考查學生靈活運用數(shù)學知識、解決實際問題等綜合能力的同時，更加注重考查初高中數(shù)學知識和解題思維的銜接. 如2021年廣東省中考數(shù)學第10題，若能深入思考這道“看似無圓卻有圓”的綜合題，挖掘出題中的隱含信息，巧妙地構造輔助圓，便能順利地建立起條件與結論之間的聯(lián)系，從而“圓”滿地解決問題.

一、等長構圓：根據(jù)圓的定義構造輔助圓

模型1：根據(jù)圓的定義“到定點距離等于定長的點的集合是圓”，如圖1所示，當出現(xiàn)有相同公共端點的三條相等線段OA = OB = OC時，可根據(jù)圓的定義來構造輔助圓，從而將一般幾何圖形的角度問題轉化為圓形的角度問題，即根據(jù)圓周角定理來進行角度的轉化.

1. 借助半徑構圓

例1（2008年廣東中考數(shù)學第21題節(jié)選）：如圖2，已知AO=DO，分別以AO和DO為邊在線段AD的同側作等邊三角形△OAB和等邊三角形△OCD，將△OCD繞著點O旋轉（△OAB和△OCD不能重疊），連接AC和BD，相交于點E，連結BC，求∠AEB的度數(shù).

解析：∵△OCD和△OAB都是等邊三角形，

∴OD=OC， OB=OA， ∠COD=∠AOB=60°.

又∵OD=OA，

∴OD=OB=OA=OC.

以O為圓心，OA為半徑作輔助圓，

∵ ∠COD=∠AOB=60°，

∴∠CBD=∠COD=×60°=30°，

∠BCA=∠BOA=×60°=30°，

∴ ∠AEB=∠CBD+∠BCA=60°.

點評：根據(jù)圓的定義，即到定點的距離等于定長的點的集合. 在本題中，旋轉只改變圖形的位置，不改變圖形的形狀，無論△OCD旋轉到什么位置，始終保持OA=OB=OC=OD不變，所以可以構造輔助圓來幫助解決問題.

2. 借助直徑構圓

例2（2021年廣東中考數(shù)學第24題節(jié)選）：如圖3，在四邊形ABCD中，AB∥CD，AB≠CD，∠ABC=90°，點E、F分別在線段 BC、AD上，且EF∥CD，AB=AF，CD=DF，求證：以AD為直徑的圓與BC相切.

解析：取AD中點O，以O為圓心，OA為半徑作輔助圓，

過點O作OM⊥BC，

∵AB∥CD，∠ABC=90°，

∴∠DCB=90°.

又∵OM⊥BC，

∴OM∥AB，M為BC中點，

∴OM=（AB+CD），

∵AD=AF+DF，

又∵AF=AB，DF=DC，

∴ AD=AB+CD=2OM，且OM⊥BC，

∴以AD為直徑的圓與BC相切.

點評：該圓屬“隱圓”，圖雖無圓，實則有圓，借助直徑AD構造圓，進而判斷該圓與BC的位置關系，達到“化隱為顯、變暗為明”的目的，再通過“作垂直，證半徑”的切線證明思路，結合AB+CD=2OM，即可證明結論.

二、等角構圓：根據(jù)圓的性質(zhì)構造輔助圓

模型2：圓的性質(zhì)主要集中在圓心（或圓周）角、弧、弦（或直徑）等對象之間的相互關系上，當出現(xiàn)如圖4在線段同側的兩個角相等，即∠C=∠D時，可借助定弦定角添加輔助圓，把問題轉化為圓的問題，從而借助圓的性質(zhì)來幫助解決問題.

例3（人教版數(shù)學八年級下冊第69頁第14題）： 如圖5，E是正方形ABCD邊AB上的一點，過點E作DE的垂線交∠ABC的外角平分線于點F，求證：FE=DE.

解析：在正方形ABCD中，連接DB、DF，

∵BF是∠CBA的外角平分線，

∴∠CBF=45°.

又∵∠DBC=45°，

∴∠DBF=90°.

又∵∠DEF=90°，

∴D、E、B、F四點共圓，其中邊DF為圓的直徑，

∴∠DFE=∠DBE=45°（同弧所對的圓周角相等），

∴△DEF是等腰直角三角形，

∴FE=DE.

點評：當角的度數(shù)確定，角所對的邊是一條定邊，根據(jù)“同弧所對的圓周角相等”，那么角的頂點的運動軌跡是圓. 此時角可以看成圓周角，定邊是圓的一條弦，先利用同弧所對的圓周角是其所對的圓心角的一半，最終構造出輔助圓解決問題.

三、互補構圓：根據(jù)圓內(nèi)接四邊形構造輔助圓

模型3：根據(jù)圓內(nèi)接四邊形對角互補，當出現(xiàn)如圖6所示，對角互補的凸四邊形時，即∠B +∠D=180°，可根據(jù)圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)，構造輔助圓.

例4（2014年廣東中考數(shù)學第24題改編）：如圖7，☉O是△ABC的外接圓，AC是直徑，點 P是☉O上的一點，過點P作PE⊥AC于點E，作PF⊥BF于點F，延長PO與AB相交于點D，若CE=CF，求證：PF是☉O的切線.

解析：連接PC，

∵PE⊥AC，PF⊥BF，

∴四邊形PECF對角互補，

過點P、F、C、E作輔助圓.

∵AC為☉O直徑，

∴∠B=90°.

又∵∠PFC=90°，

∴PF∥AB.

∵EC=CF，PC是直徑，

∴PC⊥EF，∠ECP=∠FCP.

又∵OP，OC為☉O半徑，

∴∠ECP=∠OPC=∠FCP，

即PD∥BF，

∴∠OPF=∠PFC=90°，且點P在☉O上，

∴PF是☉O的切線.

點評：借助對角互補的四邊形構造輔助圓，從而確定圓的直徑和同弧所對的圓周角，再結合垂徑定理得出∠ECP=∠OPC=∠FCP，進而證明PF是☉O的切線.

四、倍角構圓：根據(jù)圓心角與圓周角關系構造輔助圓

模型4：當出現(xiàn)凹四邊形的一個角是另一個角的2倍，且所對邊相等時，如圖8所示，∠AOB=2∠C，此時可根據(jù)同弧所對圓心角是圓周角的2倍，構造輔助圓.

例5（2021年成都市中考數(shù)學二模第24題）：如圖9，已知點 A（4，0）、B （-6，0），點C是y軸上的一個動點，當∠BCA=45°時，求此時點C坐標.

解析：作AB的垂直平分線，并在垂直平分線上取點P，使得EP =AB.

連接PB，PA，以P為圓心，PA為半徑作☉P與y軸正半軸交于點C，

過點P作PF⊥y軸于點F，

∵∠BCA=45°，

∴∠BPA=90°，BP=AP，

則PF=1，OF=PE=5，

∴PC=AP==5，

CF==7.

（1）當點C在y軸正半軸時，

5+7=12，此時C坐標為 （0，12）;

（2）當點C在y軸負半軸時，-5+ （-7） = -12，點C坐標為 （0，-12）;

因此，點C的坐標為（0，12）或 （0，-12）.

點評：當出現(xiàn)45°或60°這類特殊角時，可考慮把它看成圓周角，然后構造出此角2倍的圓心角，此時構造出圓心角與圓周角關系模型，結合圓的性質(zhì)得出結論.

近年來廣東省中考數(shù)學加強了對圓及相關知識點的考查，且現(xiàn)在更加注重對初高中數(shù)學思維和解題方式銜接的考查，因此題型也趨于更加創(chuàng)新和靈活，構建輔助圓模型是其中一種能快速且靈活解決問題的方法. 教師在教學過程中應注重培養(yǎng)學生的建模意識，提高幾何直觀能力，深入挖掘題目中的隱含條件，再利用圓的定義和性質(zhì)解決問題，從而有效提升學生的數(shù)學素養(yǎng).

注：本文系東莞市教育科研“十四五”規(guī)劃2021年度課題“精準評價導向下初中生數(shù)學學業(yè)質(zhì)量診斷的實踐研究”（項目編號：2021GH318）的階段性成果.