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      利用定積分求平面曲線弧長的極坐標公式探討

      2022-06-07 16:15:00楊梅王澤軍楊立敏高潔
      數(shù)學學習與研究 2022年6期
      關鍵詞:微元法定積分極坐標

      楊梅 王澤軍 楊立敏 高潔

      【摘要】用定積分求平面曲線的弧長是定積分在幾何上的一個典型應用.在用微元法推導極坐標下平面圖形面積公式過程中,用小扇形面積近似代替小曲邊扇形面積,受此啟發(fā),本文先提出猜想:極坐標下弧長的計算公式是否可由s=∫βαr(θ)dθ給出?接著用例題及嚴格的證明指出極坐標下弧長公式一般只能是s=∫βαr2(θ)+r′2(θ)dθ,而不能為s=∫βαr(θ)dθ.但在特殊情形下,即當r′(θ)=0時,s=∫βαr(θ)dθ與s=∫βαr2(θ)+r′2(θ)dθ兩公式都適用.

      【關鍵詞】微元法;極坐標;定積分;平面曲線弧長

      【基金項目】中國石油大學(北京)克拉瑪依校區(qū)教學改革項目(JG2020042)

      一、基本概念

      1.光滑曲線:若x′(t),y′(t)在[a,b]上連續(xù),且[x′(t)]2+[y′(t)]2≠0,則由參數(shù)方程x=x(t),y=y(t)t∈[a,b]確定的曲線稱為光滑曲線.

      2.極坐標形式下的弧長定義:設平面曲線弧C的極坐標方程為r=r(θ),θ∈[α,β],則由直角坐標與極坐標關系可得

      x(θ)=r(θ)cos θ,y(θ)=r(θ)sin θ θ∈[α,β].

      設P={θ0,θ1,…,θn}是[α,β]的一個劃分,即

      α=θ0<θ1<…<θn=β,

      它們在曲線弧C上對應的點為

      M0=(x(θ0),y(θ0)),

      M1=(x(θ1),y(θ1)),…,

      Mn=(x(θn),y(θn)).

      從端點M0開始用線段依次連接分點M0,M1,…,Mn,得到曲線的一條內(nèi)接折線,用|Mi-1Mi|(i=1,2,…,n)來表示折線Mi-1Mi的長度,則內(nèi)接折線總長度為

      Ln=∑ni=1Mi-1Mi

      =∑ni=1[x(θi)-x(θi-1)]2+[y(θi)-y(θi-1)]2.

      令λ=max{Δθi}(i=1,2,…,n),若極限

      limλ→0∑ni=1Mi-1Mi=

      limλ→0∑ni=1[x(θi)-x(θi-1)]2+[y(θi)-y(θi-1)]2

      存在,那么稱此極限為曲線弧C的弧長,并稱此曲線弧C是可求長的.

      3.極坐標形式下的弧長公式:設平面曲線弧由極坐標方程r=r(θ),θ∈[α,β]給出,r(θ)在[α,β]上具有連續(xù)導數(shù),則弧長元素為

      ds=r2(θ)+r′2(θ)dθ,

      從而所求弧長為

      s=∫βαr2(θ)+r′2(θ)dθ .(1-1)

      4.利用微元法求分布在區(qū)間[a,b]上不均勻的量Q總量的步驟:

      (1)在區(qū)間[a,b]中任取小區(qū)間[x,x+dx],將[x,x+dx]上分布的量ΔQ用f(x)dx近似表達;

      (2)檢驗f(x)dx是否滿足f(x)∈C[a,b]且

      ΔQ-f(x)dx=ο(dx),(dx→0);

      (3)若ΔQ-f(x)dx=ο(dx),(dx→0)成立,則

      Q=∫baf(x)dx.

      上述步驟中,最為關鍵的是第二步.對于實際應用中的大部分問題,我們都容易找到滿足條件的f(x)dx,比如:在直角坐標形式下計算平面圖形的面積時,可用小矩形的面積近似代替小曲邊圖形的面積;在極坐標形式下計算平面圖形的面積時,可用小扇形的面積近似代替小曲邊扇形的面積.但在與曲線弧長有關的計算中,如在極坐標形式下計算平面曲線的弧長時,則不可用小扇形的弧長近似代替小曲邊扇形的弧長.

      二、關于極坐標形式下弧長公式的一點疑問

      設有極坐標方程r=r(θ),θ∈[α,β]所確定的一段光滑曲線?。ㄒ妶D3).現(xiàn)任取一小區(qū)間[θ,θ+dθ][α,β],若有圓弧MM″近似MM′,則弧長元素ds=r(θ)dθ,于是得弧長公式

      s=∫βαr(θ)dθ .(2-1)

      這個公式形式更簡單,但是否正確呢?接下來先舉例說明.

      這里嘗試用兩種弧長公式計算弧長,以下將公式(1-1)求出的弧長記為s1,將公式(2-1)求出的弧長記為s2.

      例1 求曲線弧r(θ)=c0≤θ≤π2的長度(見圖1).其中c為正常數(shù).

      解 s1=∫π20r2(θ)+r′2(θ)dθ

      =∫π20cdθ=c·π2,

      s2=∫π20r(θ)dθ=∫π20cdθ=c·π2.

      顯然有s1=s2.

      例2 求曲線弧r(θ)=csin θ+cos θ0≤θ≤π2的長度(見圖2).其中c為正常數(shù).

      解 s1=c·∫π20r2(θ)+r′2(θ)dθ

      =2c·∫π201(sin θ+cos θ)2dθ

      =2c·∫π201(1+tan θ)2d(tan θ) =2c.

      s2=∫π20csin θ+cos θdθ,

      令u=tan θ2,

      則s2=c·∫1012u1+u2+1-u21+u2·21+u2du

      =2c·∫1012-(u-1)2du=2ln(2+1)c,

      顯然s1

      由上述兩個例題可知,用公式(2-1)計算弧長有時會得出錯誤結(jié)論.下面給出嚴格的推導,說明公式(2-1)的局限性.

      三、極坐標下弧長公式的證明

      定理 設光滑曲線弧MM′(見圖3):r=r(θ),θ∈[α,β],其中MM′為連接M,M′的弦,MM″是圓心角為Δθ,半徑為r(α)的圓弧,則有:3486C4F9-FC4A-40A5-B87A-AA7203FFB045

      limΔθ→0MM′MM″2=r′(θ)r(θ)2+1;

      limΔθ→0MM′-MM″Δθ·(r′(θ)+r(θ))=r′2(θ).

      證明 limΔθ→0MM′MM″2

      =limΔθ→0MM′MM′·MM′MM″2 =limΔθ→0MM′MM″2

      =limΔθ→0r2(θ+Δθ)+r2(θ)-2r(θ+Δθ)·r(θ)·cos Δθ(r(θ)·Δθ)2

      =[CBC1]limΔθ→0r(θ+Δθ)-r(θ)2+2r(θ+Δθ)·r(θ)·1-cos Δθr(θ)·Δθ2

      =limΔθ→01r2(θ)·r(θ+Δθ)-r(θ)Δθ2+

      limΔθ→02r(θ+Δθ)·12(Δθ)2r(θ)·(Δθ)2

      =r′(θ)r(θ)2+1.

      另外,limΔθ→0MM′-MM″Δθ·MM′+MM″Δθ

      =limΔθ→0MM′2-MM″2(Δθ)2

      =limΔθ→0MM″2·MM′MM″2-1(Δθ)2

      =limΔθ→0r(θ)·Δθ2·MM′MM″2-1(Δθ)2,

      則limΔθ→0MM′-MM″Δθ·MM′+MM″Δθ

      =limΔθ→0r2(θ)·MM′MM″2-1

      =limΔθ→0r2(θ)·limΔθ→0MM′MM″2-1=r′2(θ).

      又limΔθ→0MM′+MM″Δθ

      =limΔθ→0MM′Δθ+limΔθ→0MM″Δθ=r′(θ)+r(θ),

      limΔθ→0MM′-MM″Δθ·(r′(θ)+r(θ))=r′2(θ).

      因此,(1)當r′(θ)=0時,limΔθ→0MM′-MM″Δθ=0;

      (2)當r′(θ)≠0時,

      limΔθ→0MM′-MM″Δθ=limΔθ→0r′2(θ)r′(θ)+r(θ)≠0.

      結(jié)合以上證明過程可知,若計算一般曲線弧的弧長,只能采用公式(1-1),而不能用公式(2-1),因為公式(2-1)不滿足微元法的使用條件.

      但當曲線弧的極坐標方程是r(θ)=c(其中c為正常數(shù))時,兩公式都適用.

      下面再從誤差和的角度說明公式s=∫βαr(θ)dθ,s=∫βαr2(θ)+r′2(θ)dθ的適用性.

      設P=θ0,θ1,…,θn是[α,β]的一個劃分,即

      α=θ0<θ1<…<θn=β,

      任取小區(qū)間θi-1,θi(i=1,2,…,n),記λ=max{Δθi}(i=1,2,…,n).

      考慮小區(qū)間[θi-1,θi]上兩種算法的微元誤差Δri:

      Δri=r2(θi)+r′2(θi)Δθi-r(θi)Δθi

      =r′2(θi)r2(θi)+r′2(θi)+r(θi)Δθi.

      則區(qū)間[α,β]上的誤差和Δr為:

      Δr=limλ→0∑ni=1r′2(θi)r2(θi)+r′2(θi)+r(θi)Δθi

      =∫βαr′2(θi)r2(θi)+r′2(θi)+r(θi)dθ.

      注意:(1)當r′(θ)=0,即曲線弧為圓弧時,Δr=0;

      (2)當r′(θ)≠0時,有

      r′2(θi)r2(θi)+r′2(θi)+r(θi)>0.

      根據(jù)定積分的性質(zhì)可知:

      ∫βαr′2(θi)r2(θi)+r′2(θi)+r(θi)dθ>0,

      即誤差和Δr>0.

      從誤差和的角度分析可知,公式(2-1)依然不能用于計算一般曲線弧的弧長.

      最后,我們利用公式s=∫βαr2(θ)+r′2(θ)dθ求心臟線的全長.

      例3 求心臟線r(θ)=2a(1+cos θ)的全長.其中a為正常數(shù).

      解 s=2∫π0r2(θ)+r′2(θ)dθ

      =2∫π04a2(1+cos θ)2+4a2sin 2θdθ

      =2·2a∫π02(1+cos θ)dθ

      =8a∫π0cos θ2dθ

      =16asin θ2π0=16a.

      四、結(jié)束語

      利用微元法求解問題的關鍵步驟是選取適當?shù)奈⒃磉_式.驗證微元是否符合要求的關鍵在于近似代替所產(chǎn)生的誤差是不是自變量改變量的高階無窮小.本文利用高階無窮小的定義及誤差和來分析微元是否滿足條件,嚴格論證了兩種計算弧長的公式的適用范圍.

      【參考文獻】

      [1]華東師范大學數(shù)學系.數(shù)學分析[M].北京:高等教育出版社,2004.

      [2]楊小遠,孫玉泉,薛玉梅,等.工科數(shù)學分析教程(上冊)[M].北京:科學出版社,2011.

      [3]常庚哲,史濟懷.數(shù)學分析教程(上冊)[M].北京:高等教育出版社,2003.

      [4]同濟大學數(shù)學系.高等數(shù)學:第7版[M].北京:高等教育出版社, 2014.

      [5]張新建,朱健民.關于“高等數(shù)學”教材對定積分元素法處理的幾點注記[J].大學數(shù)學,2008(2):163-166.

      [6]上海交通大學數(shù)學科學學院微積分課程組.大學數(shù)學微積分:第2版[M].北京:高等教育出版社, 2016.3486C4F9-FC4A-40A5-B87A-AA7203FFB045

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