楊梅 王澤軍 楊立敏 高潔
【摘要】用定積分求平面曲線的弧長是定積分在幾何上的一個典型應用.在用微元法推導極坐標下平面圖形面積公式過程中,用小扇形面積近似代替小曲邊扇形面積,受此啟發(fā),本文先提出猜想:極坐標下弧長的計算公式是否可由s=∫βαr(θ)dθ給出?接著用例題及嚴格的證明指出極坐標下弧長公式一般只能是s=∫βαr2(θ)+r′2(θ)dθ,而不能為s=∫βαr(θ)dθ.但在特殊情形下,即當r′(θ)=0時,s=∫βαr(θ)dθ與s=∫βαr2(θ)+r′2(θ)dθ兩公式都適用.
【關鍵詞】微元法;極坐標;定積分;平面曲線弧長
【基金項目】中國石油大學(北京)克拉瑪依校區(qū)教學改革項目(JG2020042)
一、基本概念
1.光滑曲線:若x′(t),y′(t)在[a,b]上連續(xù),且[x′(t)]2+[y′(t)]2≠0,則由參數(shù)方程x=x(t),y=y(t)t∈[a,b]確定的曲線稱為光滑曲線.
2.極坐標形式下的弧長定義:設平面曲線弧C的極坐標方程為r=r(θ),θ∈[α,β],則由直角坐標與極坐標關系可得
x(θ)=r(θ)cos θ,y(θ)=r(θ)sin θ θ∈[α,β].
設P={θ0,θ1,…,θn}是[α,β]的一個劃分,即
α=θ0<θ1<…<θn=β,
它們在曲線弧C上對應的點為
M0=(x(θ0),y(θ0)),
M1=(x(θ1),y(θ1)),…,
Mn=(x(θn),y(θn)).
從端點M0開始用線段依次連接分點M0,M1,…,Mn,得到曲線的一條內(nèi)接折線,用|Mi-1Mi|(i=1,2,…,n)來表示折線Mi-1Mi的長度,則內(nèi)接折線總長度為
Ln=∑ni=1Mi-1Mi
=∑ni=1[x(θi)-x(θi-1)]2+[y(θi)-y(θi-1)]2.
令λ=max{Δθi}(i=1,2,…,n),若極限
limλ→0∑ni=1Mi-1Mi=
limλ→0∑ni=1[x(θi)-x(θi-1)]2+[y(θi)-y(θi-1)]2
存在,那么稱此極限為曲線弧C的弧長,并稱此曲線弧C是可求長的.
3.極坐標形式下的弧長公式:設平面曲線弧由極坐標方程r=r(θ),θ∈[α,β]給出,r(θ)在[α,β]上具有連續(xù)導數(shù),則弧長元素為
ds=r2(θ)+r′2(θ)dθ,
從而所求弧長為
s=∫βαr2(θ)+r′2(θ)dθ .(1-1)
4.利用微元法求分布在區(qū)間[a,b]上不均勻的量Q總量的步驟:
(1)在區(qū)間[a,b]中任取小區(qū)間[x,x+dx],將[x,x+dx]上分布的量ΔQ用f(x)dx近似表達;
(2)檢驗f(x)dx是否滿足f(x)∈C[a,b]且
ΔQ-f(x)dx=ο(dx),(dx→0);
(3)若ΔQ-f(x)dx=ο(dx),(dx→0)成立,則
Q=∫baf(x)dx.
上述步驟中,最為關鍵的是第二步.對于實際應用中的大部分問題,我們都容易找到滿足條件的f(x)dx,比如:在直角坐標形式下計算平面圖形的面積時,可用小矩形的面積近似代替小曲邊圖形的面積;在極坐標形式下計算平面圖形的面積時,可用小扇形的面積近似代替小曲邊扇形的面積.但在與曲線弧長有關的計算中,如在極坐標形式下計算平面曲線的弧長時,則不可用小扇形的弧長近似代替小曲邊扇形的弧長.
二、關于極坐標形式下弧長公式的一點疑問
設有極坐標方程r=r(θ),θ∈[α,β]所確定的一段光滑曲線?。ㄒ妶D3).現(xiàn)任取一小區(qū)間[θ,θ+dθ][α,β],若有圓弧MM″近似MM′,則弧長元素ds=r(θ)dθ,于是得弧長公式
s=∫βαr(θ)dθ .(2-1)
這個公式形式更簡單,但是否正確呢?接下來先舉例說明.
這里嘗試用兩種弧長公式計算弧長,以下將公式(1-1)求出的弧長記為s1,將公式(2-1)求出的弧長記為s2.
例1 求曲線弧r(θ)=c0≤θ≤π2的長度(見圖1).其中c為正常數(shù).
解 s1=∫π20r2(θ)+r′2(θ)dθ
=∫π20cdθ=c·π2,
s2=∫π20r(θ)dθ=∫π20cdθ=c·π2.
顯然有s1=s2.
例2 求曲線弧r(θ)=csin θ+cos θ0≤θ≤π2的長度(見圖2).其中c為正常數(shù).
解 s1=c·∫π20r2(θ)+r′2(θ)dθ
=2c·∫π201(sin θ+cos θ)2dθ
=2c·∫π201(1+tan θ)2d(tan θ) =2c.
s2=∫π20csin θ+cos θdθ,
令u=tan θ2,
則s2=c·∫1012u1+u2+1-u21+u2·21+u2du
=2c·∫1012-(u-1)2du=2ln(2+1)c,
顯然s1 由上述兩個例題可知,用公式(2-1)計算弧長有時會得出錯誤結(jié)論.下面給出嚴格的推導,說明公式(2-1)的局限性. 三、極坐標下弧長公式的證明 定理 設光滑曲線弧MM′(見圖3):r=r(θ),θ∈[α,β],其中MM′為連接M,M′的弦,MM″是圓心角為Δθ,半徑為r(α)的圓弧,則有:3486C4F9-FC4A-40A5-B87A-AA7203FFB045 limΔθ→0MM′MM″2=r′(θ)r(θ)2+1; limΔθ→0MM′-MM″Δθ·(r′(θ)+r(θ))=r′2(θ). 證明 limΔθ→0MM′MM″2 =limΔθ→0MM′MM′·MM′MM″2 =limΔθ→0MM′MM″2 =limΔθ→0r2(θ+Δθ)+r2(θ)-2r(θ+Δθ)·r(θ)·cos Δθ(r(θ)·Δθ)2 =[CBC1]limΔθ→0r(θ+Δθ)-r(θ)2+2r(θ+Δθ)·r(θ)·1-cos Δθr(θ)·Δθ2 =limΔθ→01r2(θ)·r(θ+Δθ)-r(θ)Δθ2+ limΔθ→02r(θ+Δθ)·12(Δθ)2r(θ)·(Δθ)2 =r′(θ)r(θ)2+1. 另外,limΔθ→0MM′-MM″Δθ·MM′+MM″Δθ =limΔθ→0MM′2-MM″2(Δθ)2 =limΔθ→0MM″2·MM′MM″2-1(Δθ)2 =limΔθ→0r(θ)·Δθ2·MM′MM″2-1(Δθ)2, 則limΔθ→0MM′-MM″Δθ·MM′+MM″Δθ =limΔθ→0r2(θ)·MM′MM″2-1 =limΔθ→0r2(θ)·limΔθ→0MM′MM″2-1=r′2(θ). 又limΔθ→0MM′+MM″Δθ =limΔθ→0MM′Δθ+limΔθ→0MM″Δθ=r′(θ)+r(θ), 即 limΔθ→0MM′-MM″Δθ·(r′(θ)+r(θ))=r′2(θ). 因此,(1)當r′(θ)=0時,limΔθ→0MM′-MM″Δθ=0; (2)當r′(θ)≠0時, limΔθ→0MM′-MM″Δθ=limΔθ→0r′2(θ)r′(θ)+r(θ)≠0. 結(jié)合以上證明過程可知,若計算一般曲線弧的弧長,只能采用公式(1-1),而不能用公式(2-1),因為公式(2-1)不滿足微元法的使用條件. 但當曲線弧的極坐標方程是r(θ)=c(其中c為正常數(shù))時,兩公式都適用. 下面再從誤差和的角度說明公式s=∫βαr(θ)dθ,s=∫βαr2(θ)+r′2(θ)dθ的適用性. 設P=θ0,θ1,…,θn是[α,β]的一個劃分,即 α=θ0<θ1<…<θn=β, 任取小區(qū)間θi-1,θi(i=1,2,…,n),記λ=max{Δθi}(i=1,2,…,n). 考慮小區(qū)間[θi-1,θi]上兩種算法的微元誤差Δri: Δri=r2(θi)+r′2(θi)Δθi-r(θi)Δθi =r′2(θi)r2(θi)+r′2(θi)+r(θi)Δθi. 則區(qū)間[α,β]上的誤差和Δr為: Δr=limλ→0∑ni=1r′2(θi)r2(θi)+r′2(θi)+r(θi)Δθi =∫βαr′2(θi)r2(θi)+r′2(θi)+r(θi)dθ. 注意:(1)當r′(θ)=0,即曲線弧為圓弧時,Δr=0; (2)當r′(θ)≠0時,有 r′2(θi)r2(θi)+r′2(θi)+r(θi)>0. 根據(jù)定積分的性質(zhì)可知: ∫βαr′2(θi)r2(θi)+r′2(θi)+r(θi)dθ>0, 即誤差和Δr>0. 從誤差和的角度分析可知,公式(2-1)依然不能用于計算一般曲線弧的弧長. 最后,我們利用公式s=∫βαr2(θ)+r′2(θ)dθ求心臟線的全長. 例3 求心臟線r(θ)=2a(1+cos θ)的全長.其中a為正常數(shù). 解 s=2∫π0r2(θ)+r′2(θ)dθ =2∫π04a2(1+cos θ)2+4a2sin 2θdθ =2·2a∫π02(1+cos θ)dθ =8a∫π0cos θ2dθ =16asin θ2π0=16a. 四、結(jié)束語 利用微元法求解問題的關鍵步驟是選取適當?shù)奈⒃磉_式.驗證微元是否符合要求的關鍵在于近似代替所產(chǎn)生的誤差是不是自變量改變量的高階無窮小.本文利用高階無窮小的定義及誤差和來分析微元是否滿足條件,嚴格論證了兩種計算弧長的公式的適用范圍. 【參考文獻】 [1]華東師范大學數(shù)學系.數(shù)學分析[M].北京:高等教育出版社,2004. [2]楊小遠,孫玉泉,薛玉梅,等.工科數(shù)學分析教程(上冊)[M].北京:科學出版社,2011. [3]常庚哲,史濟懷.數(shù)學分析教程(上冊)[M].北京:高等教育出版社,2003. [4]同濟大學數(shù)學系.高等數(shù)學:第7版[M].北京:高等教育出版社, 2014. [5]張新建,朱健民.關于“高等數(shù)學”教材對定積分元素法處理的幾點注記[J].大學數(shù)學,2008(2):163-166. [6]上海交通大學數(shù)學科學學院微積分課程組.大學數(shù)學微積分:第2版[M].北京:高等教育出版社, 2016.3486C4F9-FC4A-40A5-B87A-AA7203FFB045