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      一類不定積分的兩種解法

      2022-06-07 03:04:33胡夢薇
      數(shù)學學習與研究 2022年6期
      關(guān)鍵詞:不定積分三角函數(shù)指數(shù)函數(shù)

      胡夢薇

      【摘要】本文研究了一類不定積分的兩種解法:一種是教材常用的分部積分循環(huán)解出的方法,另一種是借助于歐拉公式構(gòu)造復變函數(shù)積分的新解法,并且給出了此類不定積分的計算結(jié)果.其中第二種方法具有計算簡潔的優(yōu)點.

      【關(guān)鍵詞】不定積分;指數(shù)函數(shù);三角函數(shù);歐拉公式

      一、引言

      在高等數(shù)學教學中,我們經(jīng)常會遇到計算有關(guān)指數(shù)函數(shù)與三角函數(shù)乘積形式

      ∫eaxsin bxdx,ab≠0(1.1)

      的不定積分,此類不定積分計算過程比較復雜,也是教學中的難點問題.鑒于此,本文給出了兩種求解方法:一種是教材中常用的分部積分循環(huán)解出的方法,另一種是利用復變函數(shù)知識,借助于歐拉公式的推廣形式,構(gòu)造一個復變函數(shù)積分進行求解.

      二、準備知識

      定義2.1 如果自變量從初值x0變到終值x,對應的函數(shù)值由f(x0)變化到f(x),則稱x-x0為自變量的增量,f(x)-f(x0)為函數(shù)的增量,分別記作Δx,Δy,即

      Δx=x-x0,或x=x0+Δx.

      Δy=f(x)-f(x0).

      函數(shù)增量又可表示為

      Δy=f(x0+Δx)-f(x0).

      定義2.2 設函數(shù)y=f(x)在點x0及其領(lǐng)域內(nèi)有定義,當自變量x在x0處有增量Δx時,函數(shù)有相應的增量

      Δy=f(x0+Δx)-f(x0).

      如果當Δx→0時,ΔyΔx的極限存在,則稱f(x)在點x0處的導數(shù)存在或者可導,這個極限值就稱為函數(shù)y=f(x)在點x0處的導數(shù),記為y′x=x0,即

      y′x=x0=limΔx→0ΔyΔx=limΔx→0f(x0+Δx)-f(x0)Δx.(2.1)

      也可以記為f ′(x0),dydxx=x0,df(x)dxx=x0.

      如果(2.1)式的極限不存在,則稱函數(shù)y=f(x)在點x0處導數(shù)不存在或者不可導.如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)每一點都可導,則稱函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)可導.這時,對于(a,b)內(nèi)的每一個確定的x,都有唯一的導數(shù)值f ′(x)與之對應,所以f ′(x)也是x的函數(shù),稱它為y=f(x)的導函數(shù),記為

      y′,f ′(x),dydx,df(x)dx.

      區(qū)間(a,b)稱為函數(shù)y=f(x)的可導區(qū)間,于是導函數(shù)的定義為

      f ′(x)=limΔx→0f(x+Δx)-f(x)Δx.

      下面給出文章中用到的幾個基本初等函數(shù)的求導公式:

      (1)C′=0;

      (2)(ex)′=ex;

      (3)(sin x)′=cos x;

      (4)(cos x)′=-sin x.

      定義2.3 ?設函數(shù)y=f(u)和u=φ(x),u=φ(x)的值域或部分值域包含在f(u)的定義域中,則通過u,y與x建立了對應關(guān)系,記為y=f[φ(x)],稱此函數(shù)是由函數(shù)y=f(u)和u=φ(x)復合而成的復合函數(shù),其中u稱為中間變量.

      定義2.4 ?設函數(shù)y=f(x)在點x0處可導,則稱f ′(x0)Δx為函數(shù)f(x)在點x0處的微分,記作dy或df(x),即

      dy=f ′(x0)Δx,

      并且說函數(shù)f(x)在點x0處可微.

      通常把自變量x的增量Δx稱為自變量的微分,記作dx,即

      dx=Δx.

      于是函數(shù)y=f(x)的微分又可記作

      dy=f ′(x0)dx.

      根據(jù)微分的定義dy=f ′(x0)dx,再由導數(shù)公式,就得到相應的微分公式,這里給出本文用到的幾個基本初等函數(shù)的微分公式:

      (1)d(C)=0;

      (2)d(ex)=exdx;

      (3)d(sin x)=cos xdx;

      (4)d(cos x)=-sin xdx.

      定義2.5 設函數(shù)f(x)在某區(qū)間上有定義,如果存在一個函數(shù)F(x),使得在該區(qū)間內(nèi)任意一點都有

      f ′(x)=f(x)或dF(x)=f(x)dx,

      則稱F(x)是f(x)在該區(qū)間內(nèi)的一個原函數(shù).

      定義2.6 在區(qū)間I內(nèi),如果F(x)是f(x)的一個原函數(shù),那么函數(shù)族F(x)+C(C為任意常數(shù))稱為f(x)在I內(nèi)的不定積分,記作

      ∫f(x)dx,

      即∫f(x)dx=F(x)+C.

      其中記號“∫”稱為積分號,f(x)稱為被積函數(shù),f(x)dx稱為被積表達式,x稱為積分變量,C稱為積分常數(shù).

      下面給出本文需要用到的有關(guān)復數(shù)域上的三個定義.

      定義2.7 形如z=x+iy或z=x-iy的數(shù),稱為復數(shù),其中x和y是任意的實數(shù).i滿足i2=-1,i稱為虛數(shù)單位.

      定義2.8 歐拉公式

      eiθ=cos θ+isin θ,

      這里e是自然對數(shù)的底,i是虛數(shù)單位,它將函數(shù)的定義域擴大到復數(shù),建立了三角函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系.

      定義2.9 對于任何復數(shù)z=x+iy,我們用關(guān)系式

      ez=ex+iy=e(cos y+isin y)(2.2)

      來定義指數(shù)函數(shù)ez.

      當z的實部x=0時,就是定義2.8的歐拉公式,所以(2.2)是歐拉公式的推廣.

      根據(jù)不定積分的定義和求導數(shù)的運算法則,可以得到如下不定積分的性質(zhì)(假設所討論的不定積分均存在):

      性質(zhì)2.1 被積函數(shù)中不為零的常數(shù)因子可提到積分號之外,即

      ∫kf(x)dx=k∫f(x)dxk≠0.212EC8D5-9D81-4019-B1A6-BCA6F5BCA0BE

      性質(zhì)2.2 兩個函數(shù)代數(shù)和的不定積分等于各個函數(shù)不定積分的代數(shù)和,即∫[f(x)±g(x)]dx=∫f(x)dx±∫g(x)dx.

      下面給出文章中用到的不定積分的幾個基本公式:

      (1)∫sin xdx=-cos x+C;

      (2)∫cos xdx=sin x+C;

      (3)∫exdx=ex+C.

      (4)∫kdx=kx+C.

      定理2.1 設函數(shù)u(x),v(x)在點x處可導,則函數(shù)u(x)v(x)在點x處可導,且

      (u(x)v(x))′=u′(x)v(x)+u(x)v′(x).

      簡記為

      (uv)′=u′v+uv′.

      定理2.2 (復合函數(shù)的微分法) 若y=f(u),u=φ(x),且φ(x)在點x處可導,f(u)在對應點u處可導,則f(φ(x))在點x處可導,且[f(φ(x))]′=f ′(u)φ′(x).

      簡記為

      y′x=y′uu′x.

      例如,下面兩個復合函數(shù)求導:

      (eax)′=aeax; (sin bx)′=bcos bx.

      計算不定積分的常用方法:

      定理2.3 第一類換元積分(湊微分法):

      設∫f(u)du=F(u)+C,且u=φ(x)可微,則

      ∫f[φ(x)]φ′(x)dx=∫f(u)du=F(u)+C=F[φ(x)]+C.

      定理2.4 (分部積分法)設函數(shù)u=u(x),v=v(x)具有連續(xù)的導數(shù),由函數(shù)乘積的導數(shù)公式有

      (uv)′=uv′+u′v.

      兩邊取不定積分得∫(uv)′dx=∫uv′dx+∫u′vdx.

      移項得∫uv′dx=uv-∫u′vdx,

      ∫udv=uv-∫vdu.

      上述公式叫作分部積分公式.

      三、問題解決的兩種方法

      方法一:使用分部積分循環(huán)解出法.

      ∫eaxsin bxdx,ab≠0

      =1a∫sin bxdeax

      =1aeaxsin bx-ba∫eaxcos bxdx

      =1aeaxsin bx-ba2∫cos bxd(eax)

      =1aeaxsin bx-ba2eaxcos bx-b2a2∫eaxsin bxdx,

      移項,得

      1+b2a2∫eaxsin bxdx=1aeaxsin bx-ba2eaxcos bx,

      則有

      ∫eaxsin bxdx=aa2+b2eaxsin bx-ba2+b2eaxcos bx+C.

      因為不定積分代表全體原函數(shù),循環(huán)解出時,特別注意要加上任意常數(shù)C. 可以看出,此法比較煩瑣,并且容易出現(xiàn)計算錯誤,需要尋找更簡潔的方法.由于受到相關(guān)文章的構(gòu)造復變函數(shù)思想的啟發(fā),給出下面的第二種解法.

      方法二:構(gòu)造復變函數(shù)積分

      ∫eaxcos bxdx+i∫eaxsin bxdx

      =∫eax(cos bx+isin bx)dx

      =∫eax+bixdx

      =1a+bie(a+bi)x+C

      =a-bia2+b2eaxcos bx+isin bx+C

      =1a2+b2eax[(acos bx+bsin bx)+(asin bx-bcos bx)i]+C.

      等號兩端比較虛部得

      ∫eaxsin bxdx

      =aa2+b2eaxsin bx-ba2+b2eaxcos bx+C.

      此方法的解題步驟總結(jié)如下:

      (1)構(gòu)造一個復變函數(shù)積分;

      (2)使用不定積分的性質(zhì)和定義2.7的有關(guān)公式,解出不定積分;

      (3)比較式子等號兩端的虛部,得到所求的結(jié)果.

      下面舉例說明.

      例如 求∫e-3xsin 6xdx.

      方法一:分部積分循環(huán)解出法

      解 ∫e-3xsin 6xdx.

      =1-3∫sin 6xd(e-3x)

      =1-3e-3xsin 6x+2∫e-3xcos 6xdx

      =1-3e-3xsin 6x-23∫cos 6xd(e-3x)

      =1-3e-3xsin 6x-23e-3xcos 6x-4∫e-3xsin 6xdx,

      移項,得

      5∫e-3xsin 6xdx=1-3e-3xsin 6x-23e-3xcos 6x,

      則有

      ∫e-3xsin 6xdx

      =1-15e-3xsin 6x-215e-3xcos 6x+C

      =-e-3x15(sin 6x+2cos 6x)+C.

      方法二:構(gòu)造復變函數(shù)積分

      ∫e-3xcos 6xdx+i∫e-3xsin 6xdx

      =∫e-3x(cos 6x+isin 6x)dx

      =∫e-3x+6ixdx

      =1-3+6ie(-3+6i)x+C

      =-1-2i15e-3x(cos 6x+isin 6x)+C

      =115e-3x[(-3cos 6x+6sin 6x)-2(3sin 6x+6cos 6x)i]+C.

      等號兩端比較虛部得

      ∫e-3xsin 6xdx

      =-e-3x15sin 6x-215e-3xcos 6x+C

      =-e-3x15(sin 6x+2cos 6x)+C.

      比較上面兩種做法,可以得到:第一種方法,使用分部積分法來循環(huán)解題,在選擇被積函數(shù)的部分形式湊微分以及使用分部積分公式時,計算過程比較煩瑣,容易出錯;第二種使用構(gòu)造復變函數(shù)進行求不定積分的方法思路簡單清晰,只須構(gòu)造復變函數(shù),分解得出其實部和虛部,然后即能比較虛部得出結(jié)果.

      四、結(jié)束語

      本文完整、詳細地研究了不定積分(1.1)式的兩種計算形式,通過對比可以看出,使用復變函數(shù)方法計算更為簡潔,避免了多次使用分部積分法的煩瑣過程.另外,此題的結(jié)果可以作為一個通項公式來用,能夠提高此類題目的解題效率.

      【參考文獻】

      [1]盛祥耀.高等數(shù)學:第4版[M].北京:高等教育出版社,2008.

      [2]陶煌.高等數(shù)學[M].北京:北京師范大學出版社,2011.

      [3]鐘玉泉.復變函數(shù)論:第4版[M].北京:高等教育出版社,2013.

      [4]余家榮.復變函數(shù):第5版[M].北京:高等教育出版社,2014.

      [5]陸光洲.一類函數(shù)不定積分的另一種求法[J]. 高等數(shù)學研究,2014(6):36-37,40.

      [6]郭國安,宋洪雪.一類不定積分的復變函數(shù)解法[J]. 高等數(shù)學研究,2017,20(3):51-54.

      [7]郭鵬云,云文在,田強,等.不定積分解法研究[J].大學數(shù)學,2012(3):149-153.212EC8D5-9D81-4019-B1A6-BCA6F5BCA0BE

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